解直角三角形解直角三角形在方位角問(wèn)題中的應(yīng)用課件華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

24.4.2.2解直角三角形--解直角三角形在方位角問(wèn)題中的應(yīng)用第24章解直角三角形華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【公開(kāi)課精品課件】授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********給出解直角三角形的定義：在直角三角形中，除直角外，已知兩個(gè)元素（其中至少一個(gè)是邊），求其他元素的過(guò)程叫做解直角三角形。引導(dǎo)學(xué)生分析為什么已知的兩個(gè)元素中至少有一個(gè)是邊：如果已知的兩個(gè)元素都是角，由于三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)，直角三角形中直角是固定的\(90^{\circ}\)，那么僅知道兩個(gè)銳角，三角形的大小和形狀是不確定的，無(wú)法求出三邊的長(zhǎng)度。而當(dāng)已知至少一條邊和其他一個(gè)元素時(shí)，就可以利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)求出其他元素。分類討論解直角三角形的類型：類型一：已知斜邊和一直角邊例如，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=5\)，\(a=3\)，求\(b\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。先根據(jù)勾股定理\(b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。再根據(jù)\(\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}\)，利用計(jì)算器求出\(\angleA\approx36.9^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx53.1^{\circ}\)。類型二：已知斜邊和一銳角如在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(c=10\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(a\)，\(b\)，\(\angleB\)。因?yàn)閈(\sinA=\frac{a}{c}\)，所以\(a=c\sinA=10\times\sin30^{\circ}=5\)。又因?yàn)閈(\cosA=\frac{c}\)，所以\(b=c\cosA=10\times\cos30^{\circ}=5\sqrt{3}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。類型三：已知一直角邊和一銳角已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=6\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleA\)。因?yàn)閈(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\)，則\(\angleA=\angleB\)，所以\(a=b=6\)。再根據(jù)勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\)。類型四：已知兩直角邊若在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=4\)，\(b=3\)，求\(c\)，\(\angleA\)，\(\angleB\)。首先由勾股定理\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。然后\(\tanA=\frac{a}=\frac{4}{3}\)，利用計(jì)算器求出\(\angleA\approx53.1^{\circ}\)。最后由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\approx36.9^{\circ}\)。（三）例題解析（15分鐘）例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=\sqrt{3}\)，\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，解這個(gè)直角三角形。分析：已知\(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，因?yàn)閈(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。由\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，可得\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。又因?yàn)閈(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，解得\(AB=2\)。再根據(jù)勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。解答過(guò)程：解：因?yàn)閈(\sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\angleB=60^{\circ}\)。又\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，所以\(\angleA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\)。由\(\sinB=\frac{AC}{AB}\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{AB}\)，得\(AB=2\)。根據(jù)勾股定理\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)。綜上，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)。例2：在\(\triangleABC\)中，\(\angleC\)為直角，\(\angleA\)、\(\angleB\)、\(\angleC\)所對(duì)的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(b=20\)，\(\angleA=35^{\circ}\)，解這個(gè)三角形（精確到\(0.1\)）。分析：已知\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}\)。因?yàn)閈(\tanA=\frac{a}\)，所以\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\)，利用計(jì)算器求出\(a\approx20\times0.7002\approx14.0\)。又因?yàn)閈(\cosA=\frac{c}\)，所以\(c=\frac{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\)，利用計(jì)算器求出\(c\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。解答過(guò)程：解：因?yàn)閈(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=90^{\circ}-\angleA=55^{\circ}\)。由\(\tanA=\frac{a}\)，得\(a=b\tanA=20\times\tan35^{\circ}\approx20\times0.7002\approx14.0\)。由\(\cosA=\frac{c}\)，得\(c=\frac{\cosA}=\frac{20}{\cos35^{\circ}}\approx\frac{20}{0.8192}\approx24.4\)。綜上，\(\angleA=35^{\circ}\)，\(\angleB=55^{\circ}\)，\(a\approx14.0\)，\(c\approx24.4\)。（四）鞏固練習(xí)（10分鐘）在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=37^{\circ}\)，\(BC=32\)，（參考數(shù)據(jù)：\(\sin37^{\circ}\approx0.60\)，\(\cos37^{\circ}\approx0.80\)，\(\tan37^{\circ}\approx0.75\)），求\(AC\)的長(zhǎng)。解：因?yàn)閈(\tanB=\frac{AC}{BC}\)，所以\(AC=BC\tanB=32\times\tan37^{\circ}\approx32\times0.75=24\)。如圖，已知\(Rt\triangleABC\)中，斜邊\(BC\)上的高\(yùn)(AD=3\)，\(\cosB=\frac{3}{5}\)，求\(AC\)的長(zhǎng)。解：在\(Rt\triangleABD\)中，\(\cosB=\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}\)，設(shè)\(BD=3x\)，\(AB=5x\)。由勾股定理\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x\)，又\(AD=3\)，所以\(4x=3\)，\(x=\frac{3}{4}\)，則\(AB=\frac{15}{4}\)。因?yàn)閈(\angleB+\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleCAD+\angleC=90^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleCAD\)，則\(\cos\angleCAD=\cosB=\frac{3}{5}\)。在\(Rt\triangleACD\)中，\(\cos\angleCAD=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{5}\)，即\(\frac{3}{AC}=\frac{3}{5}\)，解得\(AC=5\)。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容：解直角三角形的定義。解直角三角形的依據(jù)，包括勾股定理、直角三角形兩銳角互余以及銳角三角函數(shù)。解直角三角形的類型和方法，已知兩個(gè)元素（至少一個(gè)是邊）求其他元素的過(guò)程。強(qiáng)調(diào)在解直角三角形時(shí)需要注意的問(wèn)題：選擇合適的三角函數(shù)關(guān)系式，盡量使用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，以減小誤差。注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和規(guī)范性，書寫過(guò)程要條理清晰。（六）布置作業(yè)（5分鐘）基礎(chǔ)作業(yè)：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(a=10\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，求\(b\)，\(c\)，\(\angleB\)。已知在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，\(b=4\)，解這個(gè)直角三角形。拓展作業(yè)：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(AB=6\)，求\(BC\)的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）。一個(gè)物體從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，沿坡度為\(1:2\)的斜坡向上移動(dòng)到點(diǎn)\(B\)，如果\(AB=5\sqrt{5}\)米，求物體升高了多少米？五、教學(xué)反思在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)復(fù)習(xí)舊知引入新課，讓學(xué)生對(duì)直角三角形的相關(guān)知識(shí)有了更清晰的認(rèn)識(shí)，為學(xué)習(xí)解直角三角形奠定了基礎(chǔ)。在探究新知環(huán)節(jié)，通過(guò)分類討論和例題解析，引導(dǎo)學(xué)生掌握解直角三角形的方法和步驟，培養(yǎng)了學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在練習(xí)環(huán)節(jié)，通過(guò)不同類型的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高了學(xué)生的解題能力。但在教學(xué)過(guò)程中，可能存在部分學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的運(yùn)用不夠熟練，在后續(xù)的教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)針對(duì)性的練習(xí)和輔導(dǎo)。同時(shí)，在教學(xué)方法上可以進(jìn)一步多樣化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解在解直角三角形的過(guò)程中，重要關(guān)系式：(2)兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°(3)邊角之間的關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系A(chǔ)BabcC（勾股定理）活動(dòng)一

方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方位角.30°45°BOA東西北南北偏東30°南偏西45°東西北南O(1)正東，正南，正西，正北(2)西北方向:_________西南方向:__________

東南方向:__________東北方向:__________射線OEABCDOFOGOH45°射線OE射線OF射線OG射線OHEGFH45°45°45°例1

如圖所示，一艘漁船以30海里/時(shí)的速度由西向東航線.在A處看見(jiàn)小島C在船北偏東60°方向上，40min后，漁船行駛到B處，此時(shí)小島C在船北偏東30°方向上.已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍是多暗礁的危險(xiǎn)區(qū).如果這艘漁船繼續(xù)向東航線，有沒(méi)有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能.BCA北30°60°BCA北30°60°分析：只需要計(jì)算垂線段CD的長(zhǎng)度即可.CD即漁船與小島的最近距離，當(dāng)CD≥10時(shí)，沒(méi)有危險(xiǎn)；當(dāng)CD＜10時(shí)，有危險(xiǎn).D20BCA北30°60°DEF方法一：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=60°,設(shè)BD=x在Rt△BCD中∴CD=BD·tan∠CBD=√3x在Rt△ACD中，解得，x=10∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).方法二：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=60°,設(shè)CD=x在Rt△BCD中在Rt△ACD中，∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).20BCA北30°60°DEF方法三：解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.則∠CBD=90°-30°=60°,∵∠1=90°-60°=30°∴∠2=∠1=30°∴BC=AB=20在Rt△BCD中∴漁船不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū).20BCA北30°60°DEF知識(shí)要點(diǎn)1用三角函數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)的注意事項(xiàng)1.當(dāng)給出的已知邊長(zhǎng)恰為直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，可直接計(jì)算；2.當(dāng)給出的已知邊長(zhǎng)不是直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，可設(shè)未知數(shù)；3.當(dāng)圖形中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形時(shí)，一般會(huì)用兩次三角函數(shù).1.[2023·廣西]如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約_______m.(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)21返回2.[2023·河南]綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M.如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面1.8m，到樹EG的距離AF＝11m，BH＝20cm，求樹EG的高度(結(jié)果精確到0.1m)．返回3.[2023·鞍山]某商店窗前計(jì)劃安裝如圖①所示的遮陽(yáng)棚，其截面圖如圖②所示，在截面圖中，墻面BC垂直于地面CE，遮陽(yáng)棚與墻面連接處點(diǎn)B距地面高3m，即BC＝

3m，遮陽(yáng)棚AB與窗戶所在墻面BC垂直，即∠ABC＝∠BCE＝90°，返回4.[2023·蘭州]如圖①是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下，如圖②，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD