江蘇專(zhuān)用2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題四立體幾何第1講空間幾何體學(xué)案文蘇教版

PAGE1-第1講空間幾何體[2024考向?qū)Ш絔考點(diǎn)掃描三年考情考向預(yù)料2024202420241．空間幾何體的體積與表面積第9題第10題第6題江蘇高考對(duì)空間幾何體的考查，一般是填空題，屬中檔題．試題主要來(lái)源于課本，或略高于課本．命題的重點(diǎn)是體積計(jì)算．預(yù)料2024年命題仍會(huì)堅(jiān)持這一方向．多面體與球，折疊與綻開(kāi)問(wèn)題是江蘇高考的冷點(diǎn)，但復(fù)習(xí)時(shí)仍要關(guān)注．2．多面體與球3．折疊與綻開(kāi)1．必記的概念與定理(1)棱柱的性質(zhì)；(2)正棱錐的性質(zhì)；(3)正棱臺(tái)的性質(zhì)；(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體之間的關(guān)系．(5)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)；(6)球的截面性質(zhì)．2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式：①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；②S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)；③S臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)；④S球表＝4πR2(R為球的半徑)．(2)柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V臺(tái)＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S′，S分別為上下底面面積，h為高)；④V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．(3)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a．(4)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．(5)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1．3．須要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn)(1)側(cè)面積與全面積的區(qū)分．(2)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．(3)折疊與綻開(kāi)的體積問(wèn)題留意幾何體還原的精確性及數(shù)據(jù)的精確性．(4)求組合體的表面積時(shí)留意幾何體的連接部分的處理．空間幾何體的體積與表面積[典型例題](1)(2024·高考江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是________．(2)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個(gè)，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為_(kāi)_______．【解析】(1)因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，所以CC1·S四邊形ABCD＝120，又E是CC1的中點(diǎn)，所以三棱錐E-BCD的體積VE-BCD＝eq\f(1,3)EC·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)S四邊形ABCD＝eq\f(1,12)×120＝10．(2)設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，所以r2＝7，所以r＝eq\r(7)．【答案】(1)10(2)eq\r(7)eq\a\vs4\al()涉及柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔幾何體(組合體)的側(cè)面積(全面積)和體積的計(jì)算問(wèn)題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫(huà)出符合題意的圖形或協(xié)助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進(jìn)行計(jì)算．另外要重視空間問(wèn)題平面化的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．(2024·高考江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)_______．[解析]正方體的棱長(zhǎng)為2，以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面體的全部棱長(zhǎng)都是eq\r(2)，則該正八面體的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3)．[答案]eq\f(4,3)2．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調(diào)研)設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，則eq\f(S1,S2)的值為_(kāi)_______．[解析]由題意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝eq\f(1,3)πr3，S2＝eq\r(2)πr2，由eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)得，eq\f(a3,\f(1,3)πr3)＝eq\f(3,π)，得a＝r，從而eq\f(S1,S2)＝eq\f(6,\r(2)π)＝eq\f(3\r(2),π)．[答案]eq\f(3\r(2),π)3．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考(八))在一次模具制作大賽中，小明制作了一個(gè)母線長(zhǎng)和底面直徑相等的圓錐，而小強(qiáng)制作了一個(gè)球，經(jīng)測(cè)量得圓錐的側(cè)面積恰好等于球的表面積，則圓錐和球的體積的比值等于________．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，則圓錐的母線長(zhǎng)為2r，高為eq\r(3)r．由題意可知πr×2r＝4πR2，即r＝eq\r(2)R．所以eq\f(V圓錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)πr2×\r(3)r,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))3＝eq\f(\r(6),2)．[答案]eq\f(\r(6),2)多面體與球[典型例題]已知四棱錐S-ABCD的全部頂點(diǎn)在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于16＋16eq\r(3)，則球O的體積等于________．【解析】由題意得，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，該四棱錐為正四棱錐．因?yàn)樵撍睦忮F的表面積等于16＋16eq\r(3)，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，如圖，所以該四棱錐的底面邊長(zhǎng)AB＝eq\r(2)R，則有(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(（\r(2)R）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq\r(3)，解得R＝2eq\r(2)，所以球O的體積是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2),3)π．【答案】eq\f(64\r(2),3)πeq\a\vs4\al()求解球與多面體的組合問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以依據(jù)空間幾何體的對(duì)稱性推斷球心的位置，然后通過(guò)作出協(xié)助線或協(xié)助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題須要的幾何量的目的．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]4．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．[解析]設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)．[答案]eq\f(3,2)5．(2024·無(wú)錫模擬)已知正四棱柱的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且球的表面積為12π，當(dāng)正四棱柱的體積最大時(shí)，正四棱柱的高為_(kāi)_______．[解析]設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq\f(h2,2)，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(h2,2)))h，則V′＝6－eq\f(3,2)h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以當(dāng)h＝2時(shí)，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8．[答案]2折疊與綻開(kāi)[典型例題](2024·揚(yáng)州期末)如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)_______．【解析】如圖，取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O，連結(jié)AE，OD，EO，AO．由題意，知AB＝AD，所以AE⊥BD．由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD．因?yàn)锳B＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2)．所以O(shè)A＝eq\f(\r(3),2)．在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為eq\f(\r(3),2)．所以該球的體積V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π．【答案】eq\f(\r(3),2)πeq\a\vs4\al()解決折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清晰處在折線同一個(gè)半平面的量是不變的，然后依據(jù)翻折前后圖形及數(shù)量關(guān)系的改變，借助立體與平面幾何學(xué)問(wèn)，即可求解．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]6．如圖，把邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF沿對(duì)角線BE折起，使AC＝eq\r(6)，則五面體ABCDEF的體積為_(kāi)_______．[解析]由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，所以平面AOC∥平面FO′D，故AOC-FO′D是側(cè)棱長(zhǎng)(高)為2的直三棱柱，且三棱錐B-AOC和E-FO′D為大小相同的三棱錐，所以VABCDEF＝2VB-AOC＋VAOC-FO′D＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×1＋eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×2＝4．[答案]47．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積等于________．[解析]設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)度分別為a，b，則ab＝8，此時(shí)2a＋2b≥4eq\r(ab)＝8eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)四邊形ABCD為正方形，其中心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，均為2，無(wú)論怎樣折疊，其四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2的球面上，這個(gè)球的表面積是4π×22＝16π．[答案]16π1．(2024·南京、鹽城高三模擬)設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(10)的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．[解析]依據(jù)題意，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有a3＝eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×eq\r(（\r(10)）2－（\f(2\r(3)×\r(2),2)）2)，解得a＝2．[答案]22．(2024·蘇州期末)已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面綻開(kāi)是半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2π＝2πr，故r＝1，故h＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，故圓錐的體積為eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3)．[答案]eq\f(\r(3),3)π3．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)模擬)平面α截半徑為2的球O所得的截面圓的面積為π，則球心O到平面α的距離為_(kāi)_______．[解析]設(shè)截面圓的半徑為r，則πr2＝π，解得r＝1，故d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(3)．[答案]eq\r(3)4．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_______．[解析]設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr．解得r＝1，即直徑為2．[答案]25．(2024·南京、鹽城模擬)若一個(gè)圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則由側(cè)面積是底面積的2倍得πrl＝2πr2，故l＝2r＝2，因此高為h＝eq\r(3)，故圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π．[答案]eq\f(\r(3)π,3)6．(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，點(diǎn)E為棱CD上一點(diǎn)，則三棱錐E-PAB的體積為_(kāi)_______．[解析]因?yàn)閂E-PAB＝VP-ABE＝eq\f(1,3)S△ABE·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·AD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4．[答案]47．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為_(kāi)_________________________________________________________________cm3．[解析]連結(jié)AC交BD于O，在長(zhǎng)方體中，因?yàn)锳B＝AD＝3，所以BD＝3eq\r(2)且AC⊥BD．又因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC．又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，所以AO為四棱錐A-BB1D1D的高且AO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3\r(2),2)．因?yàn)镾矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，所以VA-BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩形BB1D1D·AO＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6(cm3)．[答案]68．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為3eq\r(2)，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．[解析]依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(（3\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))\s\up12(2))＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4π×32＝36π．[答案]36π9．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考信息卷(五))如圖是一個(gè)實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間為高是4的圓柱，上下兩端均是半徑為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過(guò)程中的原料損失)，熔成一個(gè)實(shí)心球，則該球的直徑為_(kāi)_____．[解析]設(shè)實(shí)心球的半徑為R，則由題意知該實(shí)心金屬幾何體的體積V＝eq\f(32,3)π＋16π＝eq\f(80,3)π＝eq\f(4,3)πR3，得R＝eq\r(3,20)，所以實(shí)心球的直徑為2R＝2eq\r(3,20)．[答案]2eq\r(3,20)10．(2024·江蘇省高考名校聯(lián)考(五))如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AA1＝2AB，若三棱錐P-BCD的體積與正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積的數(shù)值之比為1∶24，則VABCD-A1B1C1D1＝________．[解析]設(shè)AB＝a，則AA1＝2a，所以VP-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×2a＝eq\f(1,3)a3，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面積為S＝4×2a2＝8a2，所以eq\f(\f(1,3)a3,8a2)＝eq\f(a,24)＝eq\f(1,24)，即a＝1，所以VABCD-A1B1C1D1＝2a3＝2．[答案]211．(2024·蘇州市第一學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐所得的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面的大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐的體積為_(kāi)_____．[解析]如圖，記挖去的正三棱錐為正三棱錐P-ABC，則該正三棱錐的底面三角形ABC內(nèi)接于半球底面的大圓，頂點(diǎn)P在半球面上．設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連結(jié)AD，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC，交AD于點(diǎn)O，則AO＝PO＝2，AD＝3，AB＝BC＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，所以挖去的正三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC×PO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×2＝2eq\r(3)．[答案]2eq\r(3)12．(2024·南京模擬)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，斜邊BC上的中線AD＝2，將△ABC沿AD折成60°的二面角，連結(jié)BC，則三棱錐C-ABD的體積為_(kāi)_______．[解析]因?yàn)锽D⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即為二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC＝eq\f(π,3)．又因?yàn)锽D＝DC＝2，所以三角形BDC面積為eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)．又因?yàn)锳D⊥平面BDC，所以V＝eq\f(1,3)AD×S△DBC＝eq\f(2\r(3),3)．[答案]eq\f(2\r(3),3)13．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．[解析]如圖，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作AM，BN垂直于EF，垂足分別為M，N，連結(jié)DM，CN，可證得DM⊥EF，CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積為VABCDEF＝VAMD-BNC＋VE-AMD＋VF-BNC．因?yàn)镹F＝eq\f(1,2)，BF＝1，所以BN＝eq\f(\r(3),2)．作NH垂直BC于點(diǎn)H，則H為BC的中點(diǎn)，則NH＝eq\f(\r(2),2)．所以S△BNC＝eq