2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)高考真題解析（參考版）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)II卷）數(shù)學(xué)本試卷共10頁，19小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.22.已知命題p：，；命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.14.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間5.已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A.（） B.（）C.（） D.（）6.設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.27.已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.38.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)和，下列正確的有（）A.與有相同零點(diǎn) B.與有相同最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖像有相同的對(duì)稱軸10.拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.13.已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.14.在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．17.如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對(duì)折至，使得．（1）證明：；（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)比賽成績不少于5分的概率．（2）假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？19.已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)，過作斜率為直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.（1）若，求；（2）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（3）設(shè)為面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，.

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課標(biāo)II卷）數(shù)學(xué)本試卷共10頁，19小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】若，則.故選：C2.已知命題p：，；命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.3.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，從?故選：B.4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對(duì)于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)為，所以平均值為，故D錯(cuò)誤.故選；C.5.已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A6.設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.7.已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于函數(shù)和，下列正確的有（）A.與有相同零點(diǎn) B.與有相同最大值C.與有相同的最小正周期 D.與的圖像有相同的對(duì)稱軸【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸滿足，的對(duì)稱軸滿足，顯然圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC10.拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項(xiàng)，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證是否成立；D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點(diǎn)的存在性問題，此時(shí)考察的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.【答案】95【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案：.13.已知為第一象限角，為第三象限角，，，則_______.【答案】【解析】【分析】法一：根據(jù)兩角和與差正切公式得，再縮小的范圍，最后結(jié)合同角的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【詳解】法一：由題意得，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)?，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，則,，，則故答案為：.14.在如圖的4×4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是________．【答案】①.24②.112【解析】【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對(duì)條件進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【小問1詳解】方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故【小問2詳解】由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導(dǎo)，分析和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知有零點(diǎn)，可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，分析可得，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.17.如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對(duì)折至，使得．（1）證明：；（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【小問1詳解】由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；【小問2詳解】連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．（2）假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【答案】（1）（2）（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計(jì)算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.【小問1詳解】甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.【小問2詳解】（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽