運(yùn)籌學(xué)作業(yè)線性規(guī)劃

運(yùn)籌學(xué)作業(yè)

王程

信管1302

130404026

目錄

運(yùn)籌學(xué)作業(yè)........................................1

第一章線性規(guī)劃及單純形法.........................3

第二章線性規(guī)劃的對偶理論與靈敏度分析............24

第三章運(yùn)輸問題.................................53

第四章目標(biāo)規(guī)劃..................................63

第五章整數(shù)規(guī)劃.................................73

第六章非線性規(guī)劃................................85

第七章動(dòng)態(tài)規(guī)劃.................................94

第八章圖與網(wǎng)絡(luò)分析..............................97

第九章網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃..................................99

第一章線性規(guī)劃及單純形法

1.1分別用圖解法和單純形法求下列線性規(guī)劃問題，⑴指出問題具有唯一最優(yōu)解、

無窮多最優(yōu)解、無界解還是無可行解；⑵當(dāng)具有限最優(yōu)解時(shí)，指出單純形表中

的各基可行解對應(yīng)圖解法中可行域的哪一頂點(diǎn)。

(1)minz=2x\+3狀(2)maxz=3工+2x2

4xi+6x2>62xi+Xi<2

s.t.<3%i+2%2>4s.t.<3xi+4JC2>12

Xl,%2>0Xt.Xi>0

(3)ma〉cz=1Oxi+5X2(4)ma?(z=5X1+6x2

3xi4-4x2<92xi—X222

s.t.<5xi+2x2<8s.t.<-2x1+3x2W2

Xl,%2>0

Xl5%2>0

解：⑴圖解法:

當(dāng)％2=

⑵圖解法:

該問題無可行解。

⑶圖解法：

單純形法:

在上述問題的約束條件中分別加入松弛變量為，須，化為標(biāo)準(zhǔn)型:

maxz=10^+5X2+0毛+0%

3司+49+&=9

s.t.<5X]+2X2+X4=8

>0

由線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型可列出單純初始形表逐步迭代，計(jì)算結(jié)果如下表所

示：

G10500

C?XF1bXlX2X37Oi

0X3934103

0X485201R/5

Cj-馬10500

0x321/5014/51-3/53/2

10X|8/512/501/54

Cj-25010-2

5XV2015/14-3/14

10X|110An2n

Cj-4

—0——0—身14-25/14

77

單純形表的計(jì)算結(jié)果表明：X*=(1,l,0,0)\Z*=10xj+5xl=20

單純形表迭代的第一步得X〈°)=(0,0,9,8)7,表示圖中原點(diǎn)0(0,0)

單純形表迭代的第二步得X⑴=(|,0,￡,0)7',表示圖中。點(diǎn)

單純形表迭代的第三步得X⑵=(1,g,0,0/，表示圖中8點(diǎn)

⑷圖解法：

當(dāng)々=2玉-」2經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí)，z取得唯一最優(yōu)解。

~66

1.2將下述線性規(guī)劃問題化成標(biāo)準(zhǔn)形式。

⑴minz=-3%+4%-2毛+5x4

4玉一%2+2/-%4=—2

玉+工2_%3+2*4-14

S.tJ

—2天+3%2+F—%422

%,%2,%32°，％4無約束

解：上述問題中令z=-Z,x4=其中⑷>0,%4">0,

則該問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

1

maxz=3%1-4x2+2x3-5x45x4"

—

-4%|+x22芻+x4x4"=2

玉+，2_%3+2%4t_2%4"+X—14

s.t.<5

—

-2X|+3x2+忍x4'+x4x6=2

,,

x1,x2,x3,x4,x4',x5,x6>0

(2)minz=2%-2x2+3x3

—X]+%2+￡=4

s.t.<-2%]+々一/46

%1<

0,x2>0,%3無約束

解：上述問題中令Z，二一Z,不=一不七二%/一毛”,其中天整0,%5"20,

則該問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

n

maxz'=2%+2x2-x3*+x3

玉'+x2+x3-X3"=4

s.tJ2玉+x2-x3*+X3"+x4=6

X]；x2,%3*,%3",x4>0

1.3對下述線性規(guī)劃問題找出所有基解,指出哪些是基可行解，并確定最優(yōu)解。

(1)maxz=3%+5x

2(2)minz=5%-2x2+3毛+2x4

/+七=4

jq+2X2+3七+4X4=7

2g+=12

s.tJs.t.<2%+2X2+毛+2X4=3

3%+29+/=18

xy>00=1,…,4)

Xj>0j=1,…，5

解：（1）該線性規(guī)劃問題的全部基解見下表中的①?⑧，打q者為基可行解，注

*者為最優(yōu)解，z*=36o

序號Z可行？

X1X2X3X4X5

2620036*

4306027

4600-642X

094-6045X

0640630

00412180

40012612

60-212018X

(2)該線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

maxz'=-5x,+2x2-3x3-2x4

+2X2+3X3+4乙=7

s.tJ2X]+2x2+x3+2X4=3

x.>0(j=l,…，4)

其全部基解見下表中的①?⑥，打"者為基可行解，注*者為最優(yōu)解，z*=5。

序號X|X2X-JX4Z，可行?

①0011-5*V

②0-1/202-5X

③0-1/220-5*V

④-1Z30011/6-2X

⑤2/5011/50-43/5V

-4IIZ200

1.4題1.1(3)中，若目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axz=c^+超，討論Gd的值如何變化，

使該問題可行域的每個(gè)頂點(diǎn)依次使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。

CZ.Z.C

解：由目標(biāo)函數(shù)maxz=0+%可得：%依+方，其中％=一力o

⑴當(dāng)一士WkWO時(shí)，可行域的頂點(diǎn)A使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)；

4

⑵當(dāng)時(shí)，可行域的頂點(diǎn)B使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)；

24

⑶當(dāng)-co(kw-*時(shí)，可行域的頂點(diǎn)c使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)；

2

(4)當(dāng)c=0,d<0或c40,d=0時(shí)，最優(yōu)解為0點(diǎn)。

1.6分別用單純形法中的大M法和兩階段法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出屬

哪一類解。

(2)maxz=1OXj+15x+12x

(1)minz=2%[+3x2+x323

再+4z+2七>85%+3/+x3<9

s.tJ3X1+lx>6-5%1+69+15&<15

2s.tJ

2x+x+x>5

x{,x2,x3>0]23

Xj,x2,x3>0

⑴解：九法：

在±述線的既J問題的約束弱牛中減去剩余變巔、與再分別加上2變*

天、工！，得

minz=2x1+3毛+&+0/+0x5+Mx6+Mxy

x[+4x2+2xi-x4+x(>=S

s.t.<3x}+2毛一毛+毛=6

%毛>0

其中M是一個(gè)任意大的正數(shù)，據(jù)此可列出初始單純形表如下:

23100MM

Cj0,

bXiXX

CBXBX23X4X5X67

MX681⑷2-10102

Mx763200-1013

c-Zj2-4M3-6M1-2MMM00

3

X221/411/2-1/401/408

MX72[5/2]0-11/2-1-1/214/5

31033

C「Zj---M0------MM-M——0

4224224

3X29/5013/5-3/101/103/10-1/10

2X14/510-2/51/5-2/5-1/52/5

Cj-Zj0001/21/2M-l/2M-l/2

T

由單純形表的計(jì)算結(jié)果得：最優(yōu)解X*=[*|,0,0,0,0,0

目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值Z*=2x^+3x2=7

55

X存在非基變量檢驗(yàn)數(shù)0=0,故該線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。

兩階段法：

先在上述線性規(guī)劃問題的約束條件中減去剩余變量X4，不，再分別加上人工變量

%6，%7,得第一階段的數(shù)學(xué)模型

minw=x6+$

玉+4%2+2%3—％4+%6=8

s.t.?3%1+2/一毛+毛=6

百,%2，%3，%4，%5，%6，％720

據(jù)此可列出單純初始形表如下:

Cj0000011a

品XBbXXX

Xi2X345X6X7

1x681[4]2-10102

1X-63200-1013

C-Zj-4-6-21100

0X221/411/2-1/401/408

1X72[5/2]0-11/2-1-1/214/5

53

c-z.i0110

-2~22

0X29/5013/5-3/101/103/10-1/10

0X14/510-2/51/5-2/5-1/52/5

0000011

第一階段求得的最優(yōu)解x*=G，■!，(),0,0,0,o],目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值w*=0,因人

工變量4=九7=0,所以弓，2,0,0,00o1是原線性規(guī)劃問題的基可行解。于是可

以進(jìn)行第二階段計(jì)算，將第一階段的最終表中的人工變量取消，并填入原問題的

目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)，如下表：

Cj23100

e,

BXiX

CBXb2X3X4X5

3X29/5013/5-3/101/10

2X14/510-2/51/5-2/5

C「Zj0001/21/2

<49V

由表中計(jì)算可知，原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解x*=o。ooo，目標(biāo)函數(shù)的

155J

最優(yōu)值z*=2x1+3x(=7,由于存在非基變量檢驗(yàn)數(shù)0=0,故該線性規(guī)劃問題

有無窮多最優(yōu)解。

(2)解：大M法:

在±述線性規(guī)珈句題的約束條件中力吐松隨最"5,減去剩余變最6,再加上

人工變孰，得

maxz=100+15叫+12玉+0/+0叫-Mx1

54+3毛+毛+/=9

-5%+6毛+15玉+x5=15

s.t.<

2%+毛+玉-x6+Xj=5

、西,玉,玉，內(nèi)，%,七2°

其中M是一個(gè)任意大的正數(shù)，據(jù)此可列出單純形表如下:

Cj101512000-M

Oi

BXBXiX

CbX2X3X4X5X67

0XI9[5]3110009/5

0X515-56150100

-Mx7521100-115/2

c-Zj10+2M15+M12+M00-M0

10Xi9/513/51/51/50009

0x52409[16]11003/2

-MX77/50-1/53/5-2/50-117/3

3

9-”10+-M

Cj-Zj05-2—M0-M0

55

10X13/2139/8003/16-1/8000

12X33/209/1611/161/1600

-MX71/20-43/800-7/16-3/80-11

2743217530

Cj-Zj0---------M0一一----M---------M-M0

880816880

由單純性表的最終表可以看出，所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)3<0,且存在人工變量

^4’故原線性規(guī)劃問題無可行解。

兩階段法:

在上述線性規(guī)劃問題的約束條件中加上松弛變量與毛，減去剩余變量X6,再

加上人工變量%7,得第一階段的數(shù)學(xué)模型

min

5%+3%+W+%4=9

一5%+6X+15%3+/=15

s.t.<2

2玉+%2+%3-%6+%7=5

,%3，，4，％5，*6，*7—

據(jù)此可列出單純初始形表如下:

Cj0000001

0i

BX1X

CBXbX2X34X5x6X7

0X49[5]3110009/5

-

0X515-56150100

1X7521100-115/2

Cj-Zj-2-1-10010

10X]9/513/51/51/50009

0x52409[16]11003/2

1x77/50-1/53/5-2/50-117/3

Cj-Zj0-1/53/5-2/5010

0X13/2139/8003/16-1/8000

0X33/209/1611/161/1600

1X71/20-43/800-7/16-3/80-11

43

C廠Zj007/163/8010

80

第一階段求得最優(yōu)解x*=(|,o,go,o,o,￡|,因人工變量光7=gwo，且非基變

量檢驗(yàn)數(shù)%<0,所以原線性規(guī)劃問題無可行解。

1.5考慮下述線性規(guī)劃問題：

maxz：=。1玉+c2x2

"1+風(fēng)2%244

。21%1+“22*2—

x},x2>0

式中<3,4<C2<6,-14為<3,2<^2<5,8<^<12,2<6^,<4,4<^2<6,

10</72<14,試確定目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的下界和上界。

解：（1）上界對應(yīng)的模型如下（c,b取大，a取?。?/p>

maxz=3%1+6%2

-1X1+2x2<12

s.t.<2x,+4x2<14

X],x2>0

最優(yōu)值（上界）為：21；

（2）下界對應(yīng)的模型如下（c,b取小，a取大）

maxz=X]+4]2

3X1+5x2<8

4X1+6x2<10

%1,x2>0

最優(yōu)值（下界）為：6.4o

1.7已知某線性規(guī)劃問題的初始單純形表和用單純形法迭代后得到表1-21,試

求括弧中未知數(shù)a□/的值。

表1-21

項(xiàng)目X|X2X3X4x5

X46(b)(c)(d)10

X5?-13(e)01

Ci-Zj(a)-1200

Xi(f)(g)2-11Z20

x<4(h)(i)11/21

Cj-馬0-7(j)(k)(1)

解：abcdcfghijk1

3■4-223105-5-3/20

1.8若X",X⑵均為某線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，證明在這兩點(diǎn)連線上的所有點(diǎn)也

是該問題的最優(yōu)解。

證明：設(shè)X⑴和X(2)滿足：maxz=

AX=b

<X>0

對于任何0<a<1,兩點(diǎn)連線上的點(diǎn)

X滿足：X=aX⑴+(1-a)X⑶也是可行解，且

CrX=CTaX(,)+Cr(1-a)X(2)

=CTaX⑴-aCTX⑶+c”⑶

=CrX(2)

所以X也是最優(yōu)解。

1.9考慮線性規(guī)劃問題

1113X2=601+2豆+^-氣

玉+為一玉=4+2/7(0

(ii)

s.t.<2%-%+3%-2X4=5+7/？

專為，玉，王20

模型中圓B為參數(shù),要求:

⑴組成兩個(gè)新的約束⑴J(i}+<ii),(ii)氣ii)-2①，根據(jù)式①'和式(ii)',以

M，可為基變量，列出初始單純形表;

(i)Aj+%—x^=3+2(3

解：(ii)出一石二1一用

a—71-4

基

CBbX|X2X3

aX|3+2p101-1

2X21-P01-10

C/Zj003-aa-4

⑵在表中，假定￡=0,則a為何值時(shí)，石,王為問題的最優(yōu)基；

解：如果夕=0,則當(dāng)時(shí)，％,々為問題的最優(yōu)基變量。

(3)在表中，假定a=3,則￡為何值時(shí)，不可為問題的最優(yōu)基。

解：如果a=3,則當(dāng)TW夕W1時(shí)，%％為問題的最優(yōu)基變量。

1.10試述線性規(guī)劃模型中“線性”二字的含義，并用實(shí)例說明什么情況下線性

的假設(shè)將被違背。

答：線性的含義：一是嚴(yán)格的比例性，如生產(chǎn)某產(chǎn)品對資源的消耗量和可獲取

的利潤，同其生產(chǎn)數(shù)量嚴(yán)格成比例；二是可疊加性，如生產(chǎn)多種產(chǎn)品時(shí)，可獲

取的總利潤使各項(xiàng)產(chǎn)品的利潤之和，對某項(xiàng)資源的消耗量應(yīng)等于各產(chǎn)品對該資

源的消耗量之和；三是可分性，即模型中的變量可以取值為小數(shù)、分?jǐn)?shù)或某一

實(shí)數(shù)；四是確定性，指模型中的參數(shù)5,a”,bi均為確定的常數(shù)。

很多實(shí)際問題往往不符合上述條件，例如每件產(chǎn)品售價(jià)3元，但成批購買

就可以得到折扣優(yōu)惠。

1.11判斷下列說法是否正確，為什么？

⑴含n個(gè)變量m個(gè)約束的標(biāo)準(zhǔn)型的線性規(guī)劃問題，基解數(shù)恰好為個(gè)；

答：錯(cuò)誤?；窘獾膫€(gè)數(shù)=基的個(gè)數(shù)

⑵線性規(guī)劃問題的可行解如為最優(yōu)解，則該可行解一定為基可行解；

答：錯(cuò)誤。當(dāng)有唯一最優(yōu)解時(shí)，最優(yōu)解是可行域頂點(diǎn)，對應(yīng)基本可行解；當(dāng)

有無窮多最優(yōu)解時(shí)，除了其中的可行域頂點(diǎn)對應(yīng)基本可行解外，其余最優(yōu)解不

是基本可行解。

⑶如線性規(guī)劃問題存在可行域，則可行域一定包含坐標(biāo)的原點(diǎn)；

答：錯(cuò)誤。如果約束條件中有一個(gè)約束所對應(yīng)的區(qū)域不包含坐標(biāo)的原點(diǎn)，則

即使有可行域，也不包含坐標(biāo)的原點(diǎn)。

⑷單純形法迭代計(jì)算中，必須選取同最大檢驗(yàn)數(shù)%>0對應(yīng)的變量作為換入

基的變量。

答：錯(cuò)誤。若此時(shí)最大檢驗(yàn)數(shù)%>0,可是P,W0,則問題是無界解，計(jì)算

結(jié)束。

1.12線性規(guī)劃問題maxz=C￥,"",X"，如X’是該問題的最優(yōu)解，又4>0

為某一常數(shù)，分別討論下列情況時(shí)最優(yōu)解的變化。

(1)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axz=KX；

(2)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axz=(C+4)X；

⑶目標(biāo)函數(shù)變?yōu)榧s束條件變?yōu)椤?/p>

解：⑴最優(yōu)解不變；

⑵C為常數(shù)時(shí)最優(yōu)解不變，否則可能發(fā)生變化；

⑶最優(yōu)解變?yōu)椋簒/xo

1.13某飼養(yǎng)場飼養(yǎng)動(dòng)物出售，設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需要700g蛋白質(zhì)、30g礦物

質(zhì)、100mg維生素。現(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每kg營養(yǎng)成分含量及單

價(jià)如表1-22所示。

表1-22

飼料蛋白質(zhì)/g礦物質(zhì)/g維生素/mg價(jià)格/(元/kg)

1310.50.2

220.51.00.7

310.20.20.4

46220.3

5180.50.80.8

要求確定既滿足動(dòng)物生長的營養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料的方案。

解：設(shè)七表示第i種飼料數(shù)量，i=l,2,3,4,5

minz=0.2x)+0.7x2+0.4x3+0.3x4+0.8x5

3%1+2x2+x3+6X4+18X5>700

x+0.5X+0.2X+2X+0.5X>30

s.t.<i2345

0.5匹+X2+0.2*3+21：4+0.8%>100

Xj>0,z=1,2,3,4,5

最優(yōu)解為內(nèi)=x2=Xj=0,x4=39.74,x5=25.64,z=32.44（兀）

1.14遼源街郵局從周一到周日每天所需的職員人數(shù)如下表1-23所示。職員分

別安排在周內(nèi)某一天開始上班，并連續(xù)工作5天，休息2天。

表1-23人

周—?—-=■四五口

所需人數(shù)17131519141611

要求確定：

⑴該郵局至少應(yīng)配備多少職員，才能滿足值班需要；

⑵因從周一開始上班的，雙休日都能休息；周二或周日開始上班的，雙休日

內(nèi)只能有一天得到休息；其他時(shí)間開始上班的，兩個(gè)雙休日都得不到休息，很

不合理。因此郵局準(zhǔn)備對每周上班的起始日進(jìn)行輪換（但從起始日開始連續(xù)上5

天班的規(guī)定不變），問如何安排輪換，才能做到在一個(gè)星期內(nèi)每名職工享受到同

等的雙休日的休假天數(shù)；

⑶該郵局職員中有一名領(lǐng)班，一名副領(lǐng)班。為便于領(lǐng)導(dǎo)，規(guī)定領(lǐng)班于每周一、

三、四、五、六上班，副領(lǐng)班于一、二、三、五、日這5天上班。據(jù)此試重新

對上述要求⑴和⑵建模和求解。

解：(1)設(shè)x,(i=1,2,…,7)表示星期一至星期天開始上班的人數(shù)，則建立如下

的數(shù)學(xué)模型。

目標(biāo)函數(shù):minz=玉+々+/+%4+/+*6

百+44+%5+%6+毛213

%2++%6+%7+百215

x3+x6+x7+X1+x2>19

x4+x7+X1+x2+x3>14

約束條件：st

x5+X1+x2+x3+x4>16

x6+x2+x3+x4+x5>11

x7+x3+x4+x5+x6>17

x,,x2,x3,x4,x5,x6,x7>0

解得最優(yōu)解為X*=(7,4,2,8,0,2,0),z*=23

則該郵局至少應(yīng)配備23名職員，才能滿足值班需要。

⑵對這23名職工分別編號①，②，…，D,以23周為一個(gè)周期，這23名

職工上班安排見下表。

每周上班起止周

時(shí)間IRX?職工②???職工?UC1；???職工

周一?周五1-72-K16-2217-2323.1-6

周二~周六8-119-1223g1-47-10

周三?周日12-131卜144^-5內(nèi)11-12

周四?下周一14-2115-226-137-I4120

周五~下周二22-2J2J.114-1515-162T2

⑶此時(shí)只需在每天人數(shù)中減去領(lǐng)班和副領(lǐng)班兩人即可，重現(xiàn)建模如下:

minZ=%+尢2+%3+%4+工5+工6+

X+x4+x5+x6+x7>15

X+x24-x54-x64-x7>12

X+x2+x3+x6+x7>13

X4-x24-x3+x4+x7>18

X4-x2+x3+x4+x5>12

x2+x3+x4+x5+x6>16

x3+x4+x54-x6+x7>10

為，々，龍3，工4，入5，4，工720

1.15一艘貨輪分前、中、后三個(gè)艙位，它們的容積與最大允許載重量如表「24

所示?，F(xiàn)有三種貨物待運(yùn)，已知有關(guān)數(shù)據(jù)列于表1-25。

又為了艙運(yùn)安全，前、中、后艙的實(shí)際載重量大體積保持各艙最大允許載

重量的比例關(guān)系。具體要求：前、后艙分別與中艙之間載重量比例的偏差不超

過15%,前、后艙之間不超過10%。問該貨輪應(yīng)裝載A、B、C各多少件運(yùn)費(fèi)收入

為最大？試建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。

表1-24

項(xiàng)目前艙中艙后艙

最大允許載重量/t200030001500

容積/nP400054001500

表1-25

商品數(shù)量/件每件體積/（m3/件）每件重量/（小牛）運(yùn)價(jià)/（元/件）

A6001081000

B100056700

C80075600

解：用i=l,2,3表示A、B、C三種貨物，j=l,2,3表示前、中、后三個(gè)艙，

用光(i,j)表示貨物i在艙j的裝載量。

maxz=1000(x(1,1)+x(l,2)+x(l,3))+700(x(2,l)+x(2,2)+x(2,3))+600(x(3,l)

+x(3,2)+x(3,3))

商品數(shù)量約束：

1)x(l,l)+x(l,2)+x(l,3)<600

2)x(2,l)+x(2,2)+x(2,3)W1000

3)x(3,l)+x(3,2)+x(3,3)<800

商品容積約束：

4)10x(1/)+5x(2/)+7x(3,1)<4000

5)10x(1,2)+5x(2,2)+7x(3,2)<5400

6)10x(1,3)+5x(2,3)+7x(3,3)<1500

最大載重量約束：

7)8x(l,l)+6x(2,1)+5x(3,1)<2000

8)8x(l,2)+6x(2,2)+5x(3,2)<3000

9)8x(l,3)+6x(2,3)+5x(3,3)<1500

重量比例偏差約束：

10)8x(l,l)+6x(2,l)+5x(3,l)<:(I+0.15)(8x(l,2)+6x(2,l)+5x(3,2))

2

11)8%(1,1)+6x(2,1)+5x(3,1)>y(l-0.15)(8x(l,2)+6x(2,l)+5x(3,2))

12)8x(l,3)+6x(2,3)+5x(3,3)<g(l+0.15)(8x(l,2)+6x(2,l)+5x(3,2))

13)8x(l,3)+6x(2,3)+5x(3,3)>y(l-0.15)(8x(l,2)+6x(2,l)+5x(3,2))

3

14)8x(l,3)+6x(2,3)+5x(3,3)<-(1+0.1)(8x(l,l)+6x(2,1)+5x(3,1))

4

3

15)8x(l,3)+6x(2,3)+5x(3,3)>-(1-0.1)(8x(l,l)+6x(2,1)+5x(3,1))

4

1.16長城通信公司擬對新推出的一款手機(jī)收費(fèi)套餐服務(wù)進(jìn)行調(diào)查，以便進(jìn)一步

設(shè)計(jì)改進(jìn)。調(diào)查對象設(shè)定為商界人士及大學(xué)生，要求：⑴總共調(diào)查600人，其

中大學(xué)生不少于250人；⑵方式分電話調(diào)查和問卷調(diào)查，其中問卷調(diào)查人數(shù)不

少于30%；⑶對大學(xué)生電話調(diào)查80%以上應(yīng)安排在周六或周日，對商界人士電話

調(diào)查80%以上應(yīng)安排在周一至周五；⑷問卷調(diào)查時(shí)間不限。已知有關(guān)調(diào)查費(fèi)用如

表1-26所示，問該公司應(yīng)如何安排調(diào)查，使總的費(fèi)用為最省。

枝1-26元/人次

電話調(diào)杳

調(diào)直對象問卷調(diào)杳

周一至周五周六、日

3.0235.0

商界人士3.53.0

解：設(shè)與為周一至周五對大學(xué)生和商界人士電話調(diào)查及，超，出為雙休日對上述

人員電話調(diào)查人數(shù)，鼻鼻分別為問卷調(diào)查人數(shù)，則數(shù)學(xué)模型為

minz=3.0X]+2.5%+5.0%+3.5超+3.0^2+5.0A^3

%l+X\2+芭3+A21+X22+X23=儆

%1+%2+為3-250

4+^>180

S.tJ33

—^>0.8

X1+與2

—^>0.8

、七1+X12

最優(yōu)蜘?=0,52=350,/=°，芍=58,玉2=11,%3=180,z*=2014

1.17生產(chǎn)存儲(chǔ)問題。某廠簽訂了5種產(chǎn)品（i=L…，5）上半年的交貨合同。

已知各產(chǎn)品在第j月（j=L…，6）的合同交貨量瓦，該月售價(jià)對、成本價(jià)

cu及生產(chǎn)1件時(shí)所需工時(shí)a“。

該廠第j月的正常生產(chǎn)工時(shí)為tP但必要時(shí)可加班生產(chǎn)，第j月允許的最多加

班工時(shí)不超過tj,并且加班時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品每件成本增加額外費(fèi)用c1

元。若生產(chǎn)出來的產(chǎn)品當(dāng)月不交貨，每件庫存1個(gè)月交存儲(chǔ)費(fèi)6元。試為該廠

設(shè)計(jì)一個(gè)保證完成合同交貨，又使上半年預(yù)期盈利總額為最大的生產(chǎn)計(jì)劃安排。

解：設(shè)^為，種產(chǎn)品/月正常時(shí)間生產(chǎn)數(shù)，%為加班時(shí)間生產(chǎn)數(shù)，模型為

56,,5「6，，

maxz=與+3廠%—Zp,+匕—DO

i=lj=\c=l|_j=lk=l

z%.馬<tj(J=1,???,6)

c=\

5

(J=l,…,6)

i=l

J,j

X

Z+ik)2ZDjkgr?，6)

fc=l&=1

Xy>0

1.18宏銀公司承諾為某建設(shè)項(xiàng)目從2003年起的4年中每年年初分別提供以下

數(shù)額貸款：2003年—100萬元，2004年一150萬元，2005年—120萬元，2006

年一110萬元。以上貸款資金均需于2002年年底前籌集齊。但為了充分發(fā)揮這

筆資金的作用，在滿足每年貸款額情況下，可將多余資金分別用于下列投資項(xiàng)

目：

⑴于2003年年初購買A種債券,期限3年,到期后本息合計(jì)為投資額的140臨

但限購60萬元；

⑵于2003年年初購買B種債券，期限2年,到期后本息合計(jì)為投資額的125%,

且限購90萬元；

⑶于2004年年初購買C種債券，期限2年,到期后本息合計(jì)為投資額的130%,

但限購50萬元；

（4）于每年年初將任意數(shù)額的資金存放于銀行，年息4%,于每年年底取出。

求宏銀公司應(yīng)如何運(yùn)用好這筆籌集到的資金，使2002年年底需籌集到的資金數(shù)

額為最少。

解：用同。為第1,2,3年年初，/=1,2,3,4分別為人田(3四類投資數(shù))

minz=480+(玉］+x12+x13+x14)+(x21+x22+x23+x24)+(x314-x32+x33+x34)

+(1+140%)>110

<60

X12(1+125%)>120

xl2<90

s.t.<尤23(1+130%)2110

工23W50

(X|j+X|2+M3+x14)(l+4%)2100

X

(元21+%2+23+冗24)(1+4%)2150

(x31+x32+x33+X34)(1+4%)>120

1.19紅豆服裝廠新推出一款時(shí)裝，據(jù)經(jīng)驗(yàn)和市場調(diào)查，預(yù)測今后6個(gè)月對該款時(shí)裝的需求

為：1月一3000件，2月一3600件，3月一4000件，4月一4600件，5月一4800件，6月一

5000件。生產(chǎn)每件需熟練工人工作4h,耗用原材料150元，售價(jià)為240元/件。該廠1月初

有熟練工80人，每人每月工作160h。為適應(yīng)生產(chǎn)需要，該廠可招收新工人培訓(xùn)，但培訓(xùn)一

名新工人需占用熟練工人50h用于指導(dǎo)操作，培訓(xùn)期為一個(gè)月，結(jié)束后即可上崗。熟練工人

每月工資2000元，新工人培訓(xùn)期間給予生活補(bǔ)貼800元，轉(zhuǎn)正后工資與生產(chǎn)效率同熟練工

人。又熟練工人（含轉(zhuǎn)正一個(gè)月后的新工人）每月初有2%因各種原因離職。已知該廠年初

己加工出400件該款時(shí)裝作為庫存，要求6月末存庫1000件。又每月生產(chǎn)出來時(shí)裝如不在

當(dāng)月交貨，庫存費(fèi)用為每件每月10元。試為該廠設(shè)計(jì)一個(gè)滿足各月及6月末庫存要求，又

使1?6月總收入為最大的勞動(dòng)力安排方案。

解：設(shè)該廠每月初擁有熟練工人數(shù)。=1,…,6）,每月招收培訓(xùn)的新工人數(shù)為y,,

該廠月末庫存為4,一月初庫存為〃月為各月對時(shí)裝的需求數(shù)，則數(shù)學(xué)模型為

6

maxz=*每月銷售收入-鸚江人工資-培訓(xùn)工人補(bǔ)助-原材料費(fèi)-庫存費(fèi)）

/=1

4=小40%+40%+12.5%-/

s.t.

%=0.9胱+%

—0

解得z*=875122元，各月有關(guān)數(shù)字如下:

tiy3456