江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué)2025屆九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章第1節(jié)～第二章第4節(jié)說明：共有六個(gè)大題，23個(gè)小題，滿分120分，作答時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填入題后括號(hào)內(nèi)．錯(cuò)選、多選或未選均不得分．1．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值不可能為（

）A．1 B． C．0 D．22．一元二次方程的解是（

）A． B．C． D．3．圖（1）的杜嶺二號(hào)方鼎是河南博物院九大鎮(zhèn)院之寶之一，方鼎的口呈正方形（如圖（2）），正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，則下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，則下列判斷正確的是(

)A．若，則四邊形是正方形B．若，則四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形6．若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．已知是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的值是．8．如圖，矩形為一個(gè)正在倒水的水杯截面圖，若杯內(nèi)水面剛好經(jīng)過點(diǎn)，且，則水杯底面與水平面夾角的大小為．9．若關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．10．如圖，在正方形中，為對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．11．一元二次方程配方為，則k的值是．12．如圖，在菱形中，E為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）解方程：．（2）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，求的度數(shù)．14．如圖，在中，，為邊的中點(diǎn)，頂點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的和，求的長(zhǎng)．15．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的問題．解一元二次方程：解：原方程可以化為：第一步兩邊同時(shí)除以得：第二步系數(shù)化為1，得：第三步任務(wù)：(1)小明的解法是不正確的，他從第_________步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你繼續(xù)用因式分解法完成這個(gè)方程的正確解題過程．16．如圖，E是矩形的邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖1中，畫一個(gè)以點(diǎn)E為頂點(diǎn)的等腰三角形．(2)在圖2中，畫AD的中點(diǎn)F．17．如圖，某校準(zhǔn)備將校園內(nèi)的一塊正方形空地進(jìn)行改造，原空地一邊減少了，另一邊減少了，剩余部分的面積為，求原正方形空地的邊長(zhǎng)．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．已知菱形的兩條對(duì)角線分別為和．(1)用含的代數(shù)式表示菱形的面積．(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)菱形的面積．19．我們規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d有，其中等式右邊是常用的乘法和減法運(yùn)算．如：(1)已知，求x的值．(2)已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為2，求方程的另一個(gè)根．20．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)若為等腰直角三角形，，求證：四邊形是正方形．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．小穎新房買了一盞簡(jiǎn)單而精致的吊燈（圖1），其正面的平面圖如圖2所示，四邊形是一個(gè)菱形外框架，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，四邊形是其內(nèi)部框架，且點(diǎn)、在上，．(1)求證：四邊形內(nèi)部框架為菱形．(2)若，為的中點(diǎn)，，求四邊形的周長(zhǎng)．22．已知關(guān)于x的方程可以變形為的形式．下面通過列表探究的變形：變形mnP(1)依據(jù)表格解答：①求表格中t的值．②觀察上述探究過程，直接寫出表格中m與n滿足的等量關(guān)系．(2)記的兩種變形為和，求的值．六、解答題（本大題共12分）23．如圖，四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，將一足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)上，并繞著點(diǎn)在AD下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊(或直角邊所在直線)分別與矩形的邊交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)三角板的一條直角邊交AB于點(diǎn),另一條直角邊交于點(diǎn)時(shí)，求證：．(2)如圖2，當(dāng)三角板的一條直角邊與矩形的邊相交于點(diǎn)，另一條直角邊交CD邊于點(diǎn)時(shí)，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，小圣發(fā)現(xiàn)，試說明理由．(3)在（2）的條件下，若，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)落在的三等分點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．1．A解：∵方程是一元二次方程，∴，則，故選：A．2．D解：，∴，∴，，故選：D3．B解：∵正方形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，∴∴，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選B．4．B解：∵菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，∴，，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故選：B．5．D解：A、，不能判定四邊形是正方形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；B、，不能判定四邊形是平行四邊形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；C、，則四邊形是矩形，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤；D、，則四邊形是矩形，原選項(xiàng)判斷正確；故選：D．6．C∵，∴，∵關(guān)于的一元二次方程有一根為，∴有一根為，解得，∴一元二次方程必有一根為，故選：．7．解：∵是方程的一個(gè)根，∴解得：，故答案為：．8．##40度解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，如圖所示：∵，，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴．故答案為：．9．##解：∵關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，且，∴，即，故答案為：．10．解：過點(diǎn)作于，則，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，故答案為：．11．１解：∴故答案為：1．12．或或解：菱形中，，為菱形的對(duì)角線，，，連接，交于點(diǎn)，，，，，，為等腰三角形時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，，，，，，即，解得或（不合題意，舍去），，綜上所述，的長(zhǎng)為或或，故答案為：或或．13．（1）；（2）解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵在矩形中，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．14．解：由題意可知，，又∵，且為邊的中點(diǎn)，∴，∴的長(zhǎng)為．15．(1)二(2)或，過程見解析（1）解：他從第二步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，故答案為：二；（2）解：或，解得：或．16．(1)見解析(2)見解析（1）解：如圖1所示，連接，DE，四邊形是矩形，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，是以點(diǎn)E為頂點(diǎn)的等腰三角形；（2）解：如圖2所示，點(diǎn)F為所求．連接交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，四邊形是矩形，，，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)．17．解：設(shè)原正方形空地的邊長(zhǎng)為，則剩余部分是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，根據(jù)題意得，，整理得，，解得（不合題意，舍去），答：原正方形空地的邊長(zhǎng)為．18．(1)(2)（1）解：菱形的面積（2）解：由題意得：，即：，∴，∴菱形的面積19．(1)，(2)（1）解：∵，∴，整理得：，解得：，；（2）解：∵，∴，∵的一個(gè)根為，將代入，得，解得：，則，即，解得：，；∴方程的另一個(gè)根為．20．(1)見解析(2)見解析（1）證明：∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∵是中邊上的中線，∴，∴；（2）∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵為等腰直角三角形，，為中線，∴，，∴平行四邊形是正方形．21．(1)見解析；(2)24．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，．∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵四邊形是菱形，∴，∴平行四邊形是菱形．（2）∵，∴是直角三角形．∵為的中點(diǎn)，∴．∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵．∴．∴，∴．∵四邊形為菱形．∴．在中，，∴∴（負(fù)值舍去）．∵四邊形為菱形，∴菱形的周長(zhǎng)為．22．(1)①；②(2)（1）解：①∵，∴，∴，∴．故答案為：7；②，，，，為一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，，故答案為：；（2）解：由可得，由可得，∴，，∴，∴．23．(1)見解析(2)