四川省西昌市2025屆高三第二學(xué)期第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

四川省西昌市2025屆高三第二學(xué)期第一次測試數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知，則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．若集合，，則=（）A． B． C． D．6．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B． C．1 D．8．山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外.據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑（單位：）服從正態(tài)分布，則直徑在內(nèi)的概率為（）附：若，則，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.95449．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為810．定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”，對任意，滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．11．若函數(shù)有且只有4個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．14．已知，滿足約束條件，則的最小值為__________.15．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．已知函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長．18．（12分）如圖，四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中點(diǎn)．（1）求證：VA∥平面BDE；（2）求證：平面VAC⊥平面BDE．19．（12分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大?。唬?）若，的平分線與交于點(diǎn)D，與的外接圓交于點(diǎn)E（異于點(diǎn)A），，求的值.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線上的一個動點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離．21．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）已知點(diǎn)在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【詳解】解：復(fù)數(shù)i（2+i）＝2i﹣1對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2），故選：C本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，通過分析的單調(diào)性和對稱性，求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動一個單位得到，的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于，等價于，注意到，結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選：A本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式，屬于中檔題.3．C【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖，然后補(bǔ)成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球?yàn)橥粋€球，然后計(jì)算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計(jì)算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實(shí)物圖如下圖所示：將其補(bǔ)成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4．A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因?yàn)楹愠闪?，故可以推出且，若成立，?dāng)時，有，當(dāng)時，有，因?yàn)楹愠闪ⅲ杂?，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．6．B【解析】

用空間四邊形對①進(jìn)行判斷；根據(jù)公理2對②進(jìn)行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進(jìn)行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進(jìn)行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B本小題考查空間點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認(rèn)識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.7．A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．C【解析】

根據(jù)服從的正態(tài)分布可得，，將所求概率轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，，則，，所以，.故果實(shí)直徑在內(nèi)的概率為0.8185.故選：C本題考查根據(jù)正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題，考查了正態(tài)曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.10．B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項(xiàng).【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.11．B【解析】

由是偶函數(shù)，則只需在上有且只有兩個零點(diǎn)即可.【詳解】解：顯然是偶函數(shù)所以只需時，有且只有2個零點(diǎn)即可令，則令，遞減，且遞增，且時，有且只有2個零點(diǎn)，只需故選：B考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.12．C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足題意，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對稱點(diǎn)Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點(diǎn)即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)問題，兩個圓有公共點(diǎn)的判定方式.14．【解析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.【詳解】畫出可行域易知在點(diǎn)處取最小值為.故答案為：本題考查簡單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15．192【解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

當(dāng)時，轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根，令，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時，，故不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時，即，令，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實(shí)數(shù)根，則.故答案為：.本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得．試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A＝AB＝，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因?yàn)椋?，所以MN⊥AD(2)解：因?yàn)镸在PA上，可設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．設(shè)平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一組解為x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．因?yàn)槠矫鍭BD的法向量為＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，從而M，N，所以MN＝＝．考點(diǎn)：用空間向量法證垂直、求二面角．18．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）連結(jié)OE，證明VA∥OE得到答案.（2）證明VO⊥BD，BD⊥AC，得到BD⊥平面VAC，得到證明.【詳解】（1）連結(jié)OE．因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是棱VC的中點(diǎn)，所以VA∥OE，又因?yàn)镺E?平面BDE，VA?平面BDE，所以VA∥平面BDE；（2）因?yàn)閂O⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以VO⊥BD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BD⊥AC，又VO∩AC＝O，VO，AC?平面VAC，所以BD⊥平面VAC．又因?yàn)锽D?平面BDE，所以平面VAC⊥平面BDE．本題考查了線面平行，面面垂直，意在考查學(xué)生的推斷能力和空間想象能力.19．（1）；（2）【解析】

（1）由，利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為，再利用余弦定理求解.（2）根據(jù)，利用兩角和的余弦得到，利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)，在中，由正弦定理求得，在中，求得再求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，所?（2）∵，.所以，從而.所以，.不妨設(shè)，O為外接圓圓心則AO=1，，.在中，由正弦定理知，有.即；在中，由，，從而.所以.本題主要考查平面向量的模的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.20．（1）．．（2）最大距離為．【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.（2）曲線的參數(shù)方程為，設(shè)，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】（1）由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知曲線的參數(shù)方