第十七章 章末復(fù)習(xí)

章末復(fù)習(xí)第十七章勾股定理目錄考點(diǎn)精講課堂小結(jié)當(dāng)堂練習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊

為c，那么a2

+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運(yùn)用2.勾股定理的應(yīng)用條件1.勾股定理3.勾股定理表達(dá)式的常見(jiàn)變形：

a2＝c2－b2,

b2＝c2－a2，ABCcab要點(diǎn)梳理2.勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2

，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.原命題與逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做它的逆命題.ABCcab滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).3.勾股數(shù)考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)例1

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求BD的長(zhǎng)．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴20×15=25CD，

∴CD=12．∴在Rt△BCD中，考點(diǎn)1勾股定理及其應(yīng)用考點(diǎn)精講方法二：設(shè)BD=x,則AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.方法總結(jié)對(duì)于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結(jié)合面積的兩種表示方法來(lái)考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.1.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為（）A.8B.4C.6D.無(wú)法計(jì)算A3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為_(kāi)__________.2.如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．13或513針對(duì)訓(xùn)練4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面積.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24，即△ABC的面積為24．例2

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？

如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，

則這根蘆葦長(zhǎng)AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺，由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.DBCA解：例3

如圖所示，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處，問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？解析：螞蟻由A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到C1點(diǎn)，有三種方式：①沿ABB1A1和A1

B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形，如下：解：

在Rt△ABC1中，

在Rt△ACC1中，

在Rt△AB1C1中，∴沿路徑走路徑最短，最短路徑長(zhǎng)為5.化折為直：長(zhǎng)方體中求兩點(diǎn)之間的最短距離，展開(kāi)方法有多種，一般沿最長(zhǎng)棱展開(kāi)，距離最短.方法總結(jié)5.現(xiàn)有一長(zhǎng)5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達(dá)建筑物的高度是______米．4針對(duì)訓(xùn)練在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡車可以通過(guò)，但要小心．解：如圖，過(guò)半圓直徑的中點(diǎn)O，作直徑的垂線交下底邊于點(diǎn)D，取點(diǎn)C，使CD＝1.4米，過(guò)C作OD的平行線交半圓直徑于B點(diǎn)，交半圓于A點(diǎn).6.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請(qǐng)問(wèn)這輛送家具的卡車能否通過(guò)這個(gè)通道？7.在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過(guò)若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（1）此時(shí)快艇航行了多少米(即AB

的長(zhǎng))？北東OAB60°45°C解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過(guò)若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（2）距離哨所多少米（即OB的長(zhǎng)）？北東OAB60°45°C解：在Rt△BOC中，由勾股定理得例4

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，2c-b=12，求△ABC的面積．解：由題意可設(shè)a=3k，則b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC的面積為×6×8=24．考點(diǎn)2勾股定理的逆定理及其應(yīng)用例5

B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=16（nmile）,乙船航行的距離為BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿著南偏東30°方向航行的．8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，可以判定三角形是直角三角形的有________．

(2)(4)

C針對(duì)訓(xùn)練10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C的關(guān)系，并加以證明．解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得

∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．11．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距5nmile的A，B兩個(gè)基地前去攔截，6min后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇的速度為40nmile/h，乙巡邏艇的速度為30nmile/h，且乙巡邏艇的航向?yàn)楸逼?7°，求甲巡邏艇的航向．解：由題意得AC＝40×(6÷60)＝4(nmile)，BC＝30×(6÷60)＝3(nmile)．∵AB＝5nmile，∴AB2＝BC2＋AC2.∴∠ACB＝90°.∵∠CBA＝90°－37°＝53°，∴∠CAB＝37°.答：甲巡邏艇的航向?yàn)楸逼珫|53°.考點(diǎn)3勾股定理與折疊問(wèn)題例6

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，求△ABE的面積.解：∵將長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，∴ED=BE.設(shè)AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4×=6(cm2).方法總結(jié)

勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問(wèn)題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時(shí)，也可用勾股定理求出未知邊，這時(shí)往往要列出方程求解．11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕是DE，則CD的長(zhǎng)為

．

1.75cm針對(duì)訓(xùn)練考點(diǎn)4本章解題思想方法方程思想

例7

如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設(shè)DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2?CD2=64，∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，

∴△ABC的周長(zhǎng)為25＋20＋15＝60.例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長(zhǎng)．分類討論思想

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長(zhǎng)為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42或60.方法總結(jié)當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，如圖②.例9

有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點(diǎn)Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的點(diǎn)P處有一只蒼蠅，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路徑長(zhǎng)(π取3).解：如圖,