第2課時(shí) 勾股定理的逆定理的應(yīng)用

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第2課時(shí)勾股定理的逆定理的應(yīng)用講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題.（重點(diǎn)）2.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問題.（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入問題

前面的學(xué)習(xí)讓我們對勾股定理及其逆定理的知識有了一定的認(rèn)識，你能說出它們的內(nèi)容嗎?回顧與思考a2+b2=c2(a,b為直角邊，c為斜邊)Rt△ABC,∠C是直角勾股定理勾股定理的逆定理a2+b2=c2(a,b為較短邊，c為最長邊）Rt△ABC，且∠C是直角.思考

前面我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理能解決哪些實(shí)際問題呢？你能舉舉例嗎？講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課一、勾股定理的逆定理的應(yīng)用12例1

如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里,“海天”號每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR問題1

認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要解決的問題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航”號的航向、兩艘船的一個(gè)半小時(shí)后的航程及距離已知，如圖.問題2

由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線段長，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.

NEP

QR12

解決實(shí)際問題的步驟：

構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；

標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解.歸納：例2

一個(gè)零件的形狀如圖

所示,按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角,工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖

所示,這個(gè)零件符合要求嗎?DABC4351312DABC圖

圖

在△BCD中，

∴△BCD

是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.解：在△ABD中，

∴△ABD

是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312圖

例3

如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積.解析：連接AC，把四邊形分成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312二、勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.歸納：四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.【變式題】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=×(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想例4

如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上的一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面積．當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1.醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖如圖所示，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m,公園到醫(yī)院的距離為400m.若公園到超市的距離為500m,則公園在醫(yī)院的北偏東

的方向.東醫(yī)院公園超市北65°2.如圖，某探險(xiǎn)隊(duì)的A組由駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)，B組也由駐地O出發(fā)，以9km/h的速度向另一個(gè)方向前進(jìn)，2h后同時(shí)停下來，這時(shí)A，B兩組相距30km．此時(shí)，A，B兩組行進(jìn)的方向成直角嗎？請說明理由.解：∵出發(fā)2小時(shí)，A組行了12×2=24(km)，B組行了9×2=18(km)，又∵A，B兩組相距30km，且有242+182=302，∴A，B兩組行進(jìn)的方向成直角．

3.如圖是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基的平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，請你運(yùn)用所學(xué)知識幫他檢驗(yàn)一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴該農(nóng)民挖的不合格．

4.如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA5.在尋找某墜毀飛機(jī)的過程中，兩艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/時(shí)的速度離開港口O（如圖）沿北偏東40°的方向向目標(biāo)A的前進(jìn)，同時(shí)，另一艘搜救艇也從港口O出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向著目標(biāo)B出發(fā)，1.5小時(shí)后，他們同時(shí)分別到達(dá)目標(biāo)A、B．此時(shí)，他們相距30海里，請問第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？解：根據(jù)題意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第