多模態(tài)信號(hào)處理基礎(chǔ) 課件 3.8傅里葉變換的性質(zhì)（一）

傅里葉變換的性質(zhì)（一）傅里葉變換的性質(zhì)（一）f1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)，則[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]1．線性性質(zhì)兩層含義：齊次性：信號(hào)增大a倍，頻譜函數(shù)也增大a倍。可加性：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)等于各信號(hào)的頻譜函數(shù)之和。證明：傅里葉變換的性質(zhì)（一）F(jω)=|F(jω)|ej

(ω)=R(ω)+jX(ω)2．奇偶虛實(shí)性如果

f(t)為

實(shí)函數(shù)

，則：

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t)=–f(–t)thenR(ω)=0，F(xiàn)(jω)=jX(ω)傅里葉變換的性質(zhì)（一）奇偶虛實(shí)性證明設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似）顯然

所以傅里葉變換的性質(zhì)（一）若f(t)←→F(jω)，則（1）式中

t→ω，ω→t

則

（2）式中ω→-ωthenF(jt)←→2πf(–ω)3.對(duì)稱性證明：∴F(jt)←→2πf(–ω)

證畢傅里葉變換的性質(zhì)（一）4.尺度變換性質(zhì)Iff(t)←→F(jω)then其中，a為非零實(shí)常數(shù)。令，a=-1,f(-t)←→F(-jω)由該性質(zhì)可知，信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)的占有頻帶寬度成反比。若加快信息傳輸速度，需要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間縮短，就必須在頻域內(nèi)擴(kuò)展頻帶，會(huì)降低傳輸系統(tǒng)的有效性。傅里葉變換的性質(zhì)（一）(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加1/a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升1/a倍。

t0f(t)Et0E-ττ2F(2ω)ω02EτF(ω)0Eτω傅里葉變換的性質(zhì)（一）(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。(3)a=-1時(shí)域反轉(zhuǎn)，頻域也反轉(zhuǎn)。信號(hào)持續(xù)時(shí)間縮短，變化加快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。f(-t)←→F(-jω)t0f(2t)E0ω傅里葉變換的性質(zhì)（一）[af1(t)+b

f2(t)]←→[aF1(jω)+b

F2(jω)]

R(ω)=R(–ω)，X(ω)=–X(–ω)；|F(jω)|=|F(–jω)|，

(ω)=–

(–ω)，

f(–t)←→F(–jω)=F*(jω)

Iff(t)=f(–t)thenX(ω)=0，F(xiàn)(jω)=R(ω)

Iff(t