回顧與思考（五）圖形的軸對稱

回顧與思考（五）圖形的軸對稱第五章圖形的軸對稱考點(diǎn)精講當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)要點(diǎn)梳理目錄要點(diǎn)梳理教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)要點(diǎn)梳理1.軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸.2.軸對稱：如果兩個平面圖形沿一條直線折疊后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱,這條直線叫作這兩個圖形的對稱軸.一.軸對稱圖形與軸對稱3.軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱圖形軸對稱區(qū)別聯(lián)系圖形(1)軸對稱圖形是指()

具有特殊形狀的圖形,

只對()圖形而言;(2)對稱軸()只有一條(1)軸對稱是指()圖形的位置關(guān)系,必須涉及

()圖形;(2)只有()對稱軸.如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分,那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線成軸對稱.如果把兩個成軸對稱的圖形拼在一起看成一個整體,那么它就是一個軸對稱圖形.一個一個不一定兩個兩個一條4.軸對稱的性質(zhì)：

在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等.1..等腰三角形的性質(zhì)

名稱項(xiàng)目等腰三角形性質(zhì)①邊：兩腰相等②角：兩個底角相等(等邊對等角)③重要線段：頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)④對稱性：是軸對稱圖形，對稱軸為頂角的平分線或底邊上的中線或底邊上的高所在的直線二.簡單的軸對稱圖形

名稱項(xiàng)目等邊三角形性質(zhì)①邊：三條邊都相等②角：三個角都相等,且等于60°③重要線段：頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)④對稱性：是軸對稱圖形，對稱軸為頂角的平分線或底邊上的中線或底邊上的高所在的直線，有三條對稱軸角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.3.角平分線的性質(zhì)2.線段垂直平分線的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.考點(diǎn)精講典例精講歸納總結(jié)考點(diǎn)精講考點(diǎn)1軸對稱圖形與軸對稱例1

如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，△A″B″C″和△A′B′C′關(guān)于直線EF對稱.(1)畫直線EF;(2)直線MN與EF相交于點(diǎn)O，試探究∠BOB′′與直線

MN，EF所夾銳角α的數(shù)量關(guān)系.ABCA′B′C′A″B″C″MN【分析】連接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一對對應(yīng)點(diǎn)，作所得線段的垂直平分線即為直線EF，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可求角的數(shù)量關(guān)系.ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如圖，連接B′B″,作線段B′B″的垂直平分線EF,則直線EF是△A′B′C′和△A″B″C″的對稱軸；（2）連接B″O,B′O,BO,∵△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，∴∠BOM=∠B′OM.∵△A″B″C″和△A′B′C′關(guān)于直線EF對稱，∴∠B′OE=∠B″OE.∴∠BOB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.EFOMN方法總結(jié)

軸對稱和軸對稱圖形的概念是本章的重點(diǎn)，通過觀察日常生活中的軸對稱現(xiàn)象，理解軸對稱圖形和軸對稱的概念的區(qū)別與聯(lián)系；學(xué)習(xí)軸對稱變換，不但要會畫一個圖形關(guān)于某直線的對稱圖形，還要會通過簡單的圖案設(shè)計(jì)確定最短路線等.1.下面的圖形是軸對稱圖形嗎?如果是,你能指出它的對稱軸嗎?針對訓(xùn)練2.如圖所示，作出△ABC關(guān)于直線x=1的對稱圖形．xyOx=1ABCA′B′C′解：△A′B′C′就是所求作的圖形.考點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)例2

如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.試說明：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關(guān)系.ABCD))12E解：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，則∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.考點(diǎn)3線段垂直平分線與角平分線的性質(zhì)例31.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，則點(diǎn)D到AC的距離為

．

2.如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝8，求△ADE的周長．（2）若∠BAC＝126°，求∠DAE的度數(shù)．4解：（1）∵邊AB的垂直平分線交BC于D，邊AC的垂直平分線交BC于E，∴AD＝BD，AE＝EC，∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝8；（2）∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∴∠B+∠C＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣126°＝54°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝126°﹣54°＝72°．方法總結(jié)

常常運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間的關(guān)系及周長的和差等,有時候與等腰三角形的”三線合一”結(jié)合起來考查.例4

有公路l1同側(cè)、l2異側(cè)的兩個城鎮(zhèn)A，B，如圖.電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應(yīng)修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)，注明點(diǎn)C的位置(保留作圖痕跡，不要求寫出畫法).【解析】利用線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)解題.解：根據(jù)題意知道，點(diǎn)C應(yīng)滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)C應(yīng)是它們的交點(diǎn).(1)作兩條公路夾角的平分線OD或OE;(2)作線段AB的垂直平分線FG；則射線OD,OE與直線FG的交點(diǎn)C1，C2就是所求的位置.3.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長等于13厘米，則△ABC的周長是

.C18厘米ABDE針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，小麗進(jìn)行如圖步驟尺規(guī)作圖，根據(jù)操作，對下列判斷正確的序號是（）①AD平分∠BAC②AD是△ABC的中線③S△ADC＝S△ABD④S△ADC＝2S△ADG

A．①②③④

B．③④

C．②③

D．②③④D考點(diǎn)4數(shù)學(xué)思想與解題方法分類討論思想例5

已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，則△ABC的頂角度數(shù)是多少？【解析】有兩種情況，當(dāng)∠A為△ABC的頂角時，當(dāng)∠A為△ABC的底角時，分別計(jì)算兩種情況的頂角度數(shù)，由此得到答案．解：當(dāng)∠A為△ABC的頂角時，頂角度數(shù)是40°；當(dāng)∠A為△ABC的底角時，頂角度數(shù)是180°﹣2×40°＝100°.綜上，△ABC的頂角度數(shù)是40°或100°.方法總結(jié)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求邊長或度數(shù)時，若已知條件未明確所給的角是頂角還是底角、所給的邊是腰還是底邊時，要分兩種情況才能使答案不致缺漏，同時，求出答案后要和三角形的內(nèi)角和定理及三角形三邊關(guān)系對照，若不符合，則答案不成立，要舍去，這樣才能保證答案準(zhǔn)確.5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是38°，則頂角的度數(shù)為多少？解：當(dāng)△ABC是銳角三角形時，∵∠ACD＝38°，∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣38°＝52°；當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，∵∠ACD＝38°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝52°，∴∠BAC＝180°-∠DAC＝128°.∴頂角的度數(shù)為52°或128°.

針對訓(xùn)練當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1．下列圖形中是軸對稱圖形的是（）D2．觀察圖①～④中的左右兩個圖形，它們是否成軸對稱？如果是，請畫出其對稱軸．解：題圖①②③中的左右兩個圖形成軸對稱，題圖④中的左右兩個圖形不成軸對稱．題圖①②③中成軸對稱的兩個圖形的對稱軸如圖所示．3．如圖，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A，B的距離之差最大，并說明理由．解：如圖，以直線l為對稱軸，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B并延長交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．理由如下：在直線l上任找一點(diǎn)C′(異于點(diǎn)C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于直線l對稱，所以直線l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′.所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因?yàn)辄c(diǎn)C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A′－C′B<A′B，所以C′A－C′B<CA－CB.4．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分別作等邊三角形ADB和等邊三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)．解：因?yàn)椤鰽DB和△ACE都是等邊三角形，所以∠DAB＝∠CAE＝∠DBA＝60°.所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°＋∠ABC.因?yàn)椤螪AE＝∠DBC，所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，即∠ABC＝60°＋∠BAC.又因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝60°＋∠BAC.設(shè)∠BAC＝x°，因?yàn)椤螧AC＋2∠ABC＝180°，則x＋2(x＋60)