20.2　數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度

8/920.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度本章是統(tǒng)計(jì)部分的最后一章，主要學(xué)習(xí)分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度的常用方法．本節(jié)課是在研究了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這些統(tǒng)計(jì)量之后，進(jìn)一步研究另外一種統(tǒng)計(jì)的方法——方差．“方差”屬于數(shù)學(xué)中的概率統(tǒng)計(jì)范疇，它的特點(diǎn)是與生活中的實(shí)際問題聯(lián)系緊密，對(duì)學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成有著舉足輕重的作用．【情景導(dǎo)入】播放閱兵的視頻：我們知道接受檢閱的儀仗隊(duì)必須精挑細(xì)選，整齊劃一，特別注重隊(duì)員的身高．下面有兩組儀仗隊(duì)，準(zhǔn)備抽取其中一組參與檢閱．已知這兩組儀仗隊(duì)隊(duì)員的身高（單位：cm）如下表：甲隊(duì)178177179178178177178178177180乙隊(duì)178177179176178180180178176178你認(rèn)為哪支儀仗隊(duì)更為整齊？你是怎么判斷的？【說明與建議】說明：通過生活中的一個(gè)實(shí)例提出問題，吸引學(xué)生的注意力，更容易激發(fā)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生的思考．這個(gè)問題學(xué)生很自然想到利用平均數(shù)做出選擇，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)兩個(gè)隊(duì)隊(duì)員的平均身高一樣，學(xué)生原有的知識(shí)與遇到的問題情境產(chǎn)生知識(shí)碰撞，從而引發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知識(shí)的欲望．建議：學(xué)生積極進(jìn)行計(jì)算，得到兩個(gè)儀仗隊(duì)隊(duì)員的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是178cm，無法利用這些數(shù)據(jù)做出判斷，引發(fā)思考和提升解決問題的興趣．【置疑導(dǎo)入】如圖所示反映的是甲、乙、丙三個(gè)選手的射擊成績．顯然，圖中甲的成績整體水平比丙的好．那么，甲、乙兩人的射擊成績?nèi)绾伪容^呢？除了平均水平外，是否還有其他統(tǒng)計(jì)量能反映數(shù)據(jù)的信息呢？交流討論下列問題：（1）估計(jì)甲、乙兩位選手射擊成績的平均數(shù)；（2）具體算一算甲、乙兩位選手射擊成績的平均數(shù)，并在圖中畫出表示其平均成績的直線；（3）甲、乙兩人的平均成績差不多，但穩(wěn)定性差別比較大．你認(rèn)為哪位選手的成績更穩(wěn)定？你是怎么看出來的？（4）一般地，你認(rèn)為如何刻畫一組數(shù)據(jù)的離散水平？【說明與建議】說明：思維往往是從人的動(dòng)作、活動(dòng)參與開始的，而動(dòng)手操作則最易激發(fā)學(xué)生去想象和發(fā)現(xiàn)．在操作過程中增強(qiáng)自己的感性認(rèn)識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而上升到理性觀察、思考與推理論證．建議：在學(xué)生操作時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考、分析，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．命題角度1方差的計(jì)算1.已知一組數(shù)據(jù)－3，－2，1，3，6，1，則其方差為9Ｗ．2.在學(xué)校組織的“共享好書伴你成長”活動(dòng)中，八年級(jí)（1）班第一小組5名同學(xué)所分享的好書冊(cè)數(shù)分別是：7，3，x，6，4.已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的方差是2Ｗ．命題角度2方差的應(yīng)用3.甲、乙兩名學(xué)生10次立定跳遠(yuǎn)成績的平均數(shù)相同，若甲10次立定跳遠(yuǎn)成績的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.6，乙10次立定跳遠(yuǎn)成績的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.35，則甲、乙兩名學(xué)生10次立定跳遠(yuǎn)成績比較穩(wěn)定的是乙Ｗ．（填“甲”或“乙”）4.甲、乙兩人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，在相同條件下各射靶5次，成績統(tǒng)計(jì)如下：命中環(huán)數(shù)/環(huán)78910甲命中的頻數(shù)/次2201乙命中的頻數(shù)/次1310（1）甲、乙兩人射擊成績的平均數(shù)、方差分別是多少？（2）誰的射擊成績更穩(wěn)定？解：（1）x甲＝eq\f(1,5)×（7×2＋8×2＋10）＝8（環(huán)）；x乙＝eq\f(1,5)×（7＋8×3＋9）＝8（環(huán)）.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（10－8）2]＝1.2；seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,5)×[（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2]＝0.4.答：甲射擊成績的平均數(shù)是8、方差是1.2，乙射擊成績的平均數(shù)是8、方差是0.4；（2）∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴乙的射擊成績更穩(wěn)定．課題20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.了解方差的定義和計(jì)算公式，理解方差概念的產(chǎn)生和形成的過程．2.會(huì)用方差計(jì)算公式來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，并會(huì)運(yùn)用方差知識(shí)，解決實(shí)際問題．3.培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度和用數(shù)據(jù)說話的求實(shí)精神．教學(xué)重點(diǎn)對(duì)方差意義的理解及應(yīng)用，用樣本方差估計(jì)總體方差．教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用方差知識(shí)，解決實(shí)際問題．授課類型新授課課時(shí)教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧1.表示一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”的統(tǒng)計(jì)量有哪些？2.什么是平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？3.如何計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？溫故知新，為抓住本節(jié)重點(diǎn)、突破本節(jié)難點(diǎn)做知識(shí)儲(chǔ)備．活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】農(nóng)科院計(jì)劃為某地選擇合適的甜玉米種子．選擇種子時(shí)，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題．為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到各試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量（單位：t）如下表：甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)，農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢？利用學(xué)生熟悉的實(shí)例引入新課，使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，從而激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲．活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知【探究新知】我們常常用平均數(shù)、中位數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)的“平均水平”，但在有些情況下只知道“平均水平”是不夠的．針對(duì)以上問題，思考：（1）計(jì)算出兩組數(shù)的平均數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？x甲＝7.537t，x乙≈7.515t，說明在試驗(yàn)田中，甲、乙兩種甜玉米的平均產(chǎn)量相差不大，由此估計(jì)出這個(gè)地區(qū)種植這兩種甜玉米的平均產(chǎn)量相差不大．（2）畫出甲、乙兩種甜玉米的產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖．教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖甲種甜玉米的產(chǎn)量乙種甜玉米的產(chǎn)量（3）觀察（2）題圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？乙種甜玉米的產(chǎn)量集中在平均值附近，而甲種甜玉米的產(chǎn)量與其平均值比波動(dòng)較大．通常，如果一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度較小，我們就說它比較穩(wěn)定．思考：什么樣的數(shù)能反映一組數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度？我們已經(jīng)看出，甲種甜玉米的產(chǎn)量與平均值的偏差較大，而乙種的較小，那么如何加以說明呢？我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果通常稱為“方差”．我們通常用s2表示一組數(shù)據(jù)的方差，用x表示一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，x1，x2……表示各個(gè)數(shù)據(jù)．方差的計(jì)算公式是：s2＝eq\f(1,n)[（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－x）2＋（x2－x）2…＋（xn－x）2]．想一想：根據(jù)方差公式，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均值差的平方和的大小對(duì)方差有何影響？總結(jié)歸納：當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較分散時(shí)，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較大，方差就較大；當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較集中時(shí)，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較小，方差就較小，即：方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小．利用公式求出甲、乙兩種甜玉米產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)的方差，并說明哪種甜玉米種子的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,10)×[（7.65－7.537）2＋…＋（7.41－7.537）2]≈0.010.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,10)×[（7.55－7.515）2＋（7.56－7.515）2＋…＋（7.49－7.515）2]≈0.002.∵seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，∴這個(gè)地區(qū)比較適合種植乙種甜玉米．注意：要求方差，首先應(yīng)求樣本平均數(shù)，再代入公式求方差．師生活動(dòng)：師生交流，歸納總結(jié)．1.學(xué)生通過觀察體會(huì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，在教師的引導(dǎo)下，感受新知，并在合作交流過程中得出規(guī)律，獲取新知．2.通過對(duì)方差公式的探究，幫助學(xué)生理解方差公式，讓學(xué)生掌握方差可以反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。顒?dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1（教材第125～126頁例1）在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個(gè)芭蕾舞團(tuán)都表演了舞劇《天鵝湖》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）如下表所示．甲團(tuán)163164164165165166166167乙團(tuán)163165165166166167168168哪個(gè)芭蕾舞團(tuán)女演員的身高更整齊？解：甲、乙兩團(tuán)演員的身高平均數(shù)分別是x甲＝eq\f(163＋164×2＋165×2＋166×2＋167,8)＝165，x乙＝eq\f(163＋165×2＋166×2＋167＋168×2,8)＝166.方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（163－165）2＋（164－165）2＋…＋（167－165）2,8)＝1.5，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（163－166）2＋（165－166）2＋…＋（168－166）2,8)＝2.5.由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲芭蕾舞團(tuán)女演員的身高更整齊．例2（教材第127頁例2）某快餐公司的香辣雞腿很受消費(fèi)者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到快餐公司推銷雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近，快餐公司決定通過檢查雞腿的質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿．檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購哪家加工廠的雞腿？甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175解：檢查人員從甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠各隨機(jī)抽取的15個(gè)雞腿分別組成一個(gè)樣本，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是x甲＝eq\f(74＋74＋…＋72＋73,15)≈75，x乙＝eq\f(75＋73＋…＋71＋75,15)≈75.樣本數(shù)據(jù)的方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（74－75）2＋（74－75）2＋…＋（72－75）2＋（73－75）2,15)≈3，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（75－75）2＋（73－75）2＋…＋（71－75）2＋（75－75）2,15)≈8.由x甲≈x乙可知，兩家加工廠的雞腿質(zhì)量大致相等；由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))<seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲加工廠的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應(yīng)該選購甲加工廠生產(chǎn)的雞腿．【變式訓(xùn)練】1.在一次女子排球比賽中，甲、乙兩隊(duì)參賽選手的年齡如下：甲隊(duì)26252828242826282729乙隊(duì)28272528272628272726（1）兩隊(duì)參賽選手的平均年齡分別是多少？（2）你能說說兩隊(duì)參賽選手年齡波動(dòng)的情況嗎？解：（1）兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：x甲＝26.9，x乙＝26.9，即甲、乙兩隊(duì)參賽選手的平均年齡相同．（2）兩組數(shù)據(jù)的方差分別是：seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(（26－26.9）2＋（25－26.9）2＋…＋（29－26.9）2,10)＝2.29，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(（28－26.9）2＋（27－26.9）2＋…＋（26－26.9）2,10)＝0.89，由seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))>seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))可知，甲隊(duì)參賽選手年齡波動(dòng)較大．2.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選擇一人去參加電腦知識(shí)競(jìng)賽，在相同條件下對(duì)他們的電腦知識(shí)進(jìn)行了10次測(cè)驗(yàn)，成績（單位：分）如下：甲的成績76849084818788818584乙的成績82868790798193907478（1）填寫下表：同學(xué)平均成績中位數(shù)眾數(shù)方差85分以上的頻率甲84848414.40.3乙848490340.5（2）利用以上信息，請(qǐng)從不同的角度對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的成績進(jìn)行評(píng)價(jià)．解：從眾數(shù)看，甲成績的眾數(shù)為84分，乙成績的眾數(shù)是90分，乙的成績比甲好；從方差看，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝14.4，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝34，甲的成績比乙相對(duì)穩(wěn)定；從甲、乙的中位數(shù)、平均數(shù)看，中位數(shù)、平均數(shù)都是84分，兩人成績一樣；從頻率看，甲85分以上的次數(shù)比乙少，乙的成績比甲好．師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．1.應(yīng)用遷移、鞏固提高，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．2.引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、類比、猜想，體驗(yàn)知識(shí)的生成過程，使傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)成為學(xué)生自己思考獲得的結(jié)果，從而抓住了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)．3.提高學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力，并規(guī)范解題格式．活動(dòng)四：課堂檢測(cè)【課堂檢測(cè)】1.一組數(shù)據(jù)2，1，1，4的方差為eq\f(3,2)．2.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)參加擲實(shí)心球測(cè)試，每人擲5次，他們的平均成績恰好相同，方差分別是seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝0.55，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝0.56，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丙))＝0.52，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(丁))＝0.48，則這四名同學(xué)擲實(shí)心球的成績最穩(wěn)定的是?。?.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是eq\f(1,4)，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是1．4.某中學(xué)開展“唱紅歌”比賽活動(dòng)，九年級(jí)（1）、（2）班根據(jù)初賽成績，各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績?nèi)鐖D所示．班級(jí)平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分九（1）班858585九（2）班8580100（1）根據(jù)圖示填寫上表；

（2）結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)