17.2　勾股定理的逆定理

1/1117.2勾股定理的逆定理本節(jié)內(nèi)容是在上節(jié)“勾股定理”之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)的一個直角三角形的判定定理，它是前面知識的繼續(xù)和深化，勾股定理的逆定理是初中幾何學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，是今后判斷某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解題中，將有十分廣泛的應(yīng)用，同時在應(yīng)用中滲透了利用代數(shù)計算的方法來證明幾何問題的思想，為將來學(xué)習(xí)解析幾何埋下了伏筆．【情景導(dǎo)入】播放相聲《反正話》表演者：馬季、于世猷馬：你別吹，今天當(dāng)著各位老師和同學(xué)的面我來考考你，咱們來一段反正話．于：什么叫做反正話呢？馬：就是我說一句話，你把這句話反過來再說一遍，能說上來就算你聰明！于：咱們可以試試．……馬：我腦門子．于：我門(沒)腦子！馬：我眼珠．于：我豬眼，不像話??！……聽了上面這段相聲大家都非常開心，其實在我們數(shù)學(xué)上也有很多命題可以反過來說，這在數(shù)學(xué)上稱為逆命題，比如我們剛剛學(xué)過的勾股定理，如果把勾股定理反過來說，大家說它的逆命題還成立嗎？【說明與建議】說明：通過一篇引人發(fā)笑的經(jīng)典相聲引入新課，活躍課堂氣氛，引導(dǎo)學(xué)生描述勾股定理的逆命題，激發(fā)學(xué)生探究勾股定理的逆定理的熱情．建議：讓同學(xué)們借鑒反正話的方式來描述勾股定理的逆命題，從而引出本節(jié)課所要討論的課題．【置疑導(dǎo)入】在美國哥倫比亞大學(xué)圖書館里收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，泥板上的一些神秘符號實際上是一些數(shù)組，這些數(shù)組揭示了一個什么奧秘呢？經(jīng)過專家潛心研究，發(fā)現(xiàn)其中兩列數(shù)竟然是直角三角形的勾和弦，只要添加一列數(shù)(如下表所示左邊的一列)，那么每行的3個數(shù)就是一個直角三角形的三邊的長．你知道這三個數(shù)都滿足什么關(guān)系嗎？這三個數(shù)之間存在著怎樣的奧秘呢？學(xué)完這節(jié)課，同學(xué)們一定會有所收獲．12011916934563367482548004601664913500127091854172659736031948127002291354196079912496004817696480496181616045752400167929292401612892700177132299056106命題角度1勾股定理的逆定理1．下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是(C)A．9，12，15B．7，24，25C．eq\r(3)，2，eq\r(5)D．1，eq\r(2)，eq\r(3)2．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE＝12，S△ABE＝60，則AB＝10，∠C＝90°．3．如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點．若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)求CD的長．解：(1)∵BD2＋AD2＝62＋82＝102＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.(2)在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.命題角度2逆命題、逆定理4．“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”，這個定理的逆定理是到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．5．命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是等邊三角形的三個角都相等，該逆命題是真命題(填“真”或“假”).命題角度3勾股數(shù)6．下列各數(shù)組中，是勾股數(shù)的是(A)A．6，8，10B．2，2，2C．1，1，eq\r(2)D．0.4，0.3，0.57．觀察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑥組勾股數(shù)為16，63，65．命題角度4勾股定理的逆定理的應(yīng)用8．木工師傅要做一張長方形的桌面．完成后，量得桌面的長為100cm，寬為80cm，對角線為130cm，則做出的這個桌面不合格．(填“合格”或“不合格”)9．如圖是一個零件的示意圖，測量AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm.若∠ABC＝90°，則∠ACD＝90°．課題17.2勾股定理的逆定理授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.了解互逆命題和互逆定理的概念．2．通過對勾股定理的逆定理的探索，經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成的過程．3．會用三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用．4．會認(rèn)識并判別勾股數(shù)．教學(xué)重點勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．教學(xué)難點勾股定理的逆定理的證明．授課類型新授課課時教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧1.勾股定理的內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知a＝2.5，b＝6，求c；(3)已知a＝4，b＝7.5，求c.3．思考：分別以上述a，b，c為邊的三角形的形狀是什么樣的？回顧舊知，為新課做鋪墊．活動一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】古埃及人畫直角的方法：把一根長繩子打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，你認(rèn)為這個三角形是直角三角形嗎？師生活動：學(xué)生利用準(zhǔn)備好的繩子，以小組為單位動手操作，觀察，作出合理的推斷．教師深入小組當(dāng)中，幫助并指導(dǎo)學(xué)生討論．利用古埃及人畫直角的方法，學(xué)生親自動手實踐，體驗從實際問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，同時明確了本節(jié)課的研究問題．既進行了數(shù)學(xué)史的教育，又鍛煉了學(xué)生的動手實踐、觀察探究的能力．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】思考：(1)如果改變?nèi)龡l邊的結(jié)數(shù)，是否還能擺放出同樣形狀的三角形？(2)畫畫看，三角形的三邊長分別為2.5cm，6cm，6.5cm，觀察三角形的形狀，再換成4cm，7.5cm，8.5cm試試看．(3)三角形的三邊長具有怎樣的關(guān)系，才能得到上面同樣的結(jié)論？師生活動：學(xué)生分組活動，動手操作，并在組內(nèi)進行交流、討論的基礎(chǔ)上，做出實踐性預(yù)測．教師深入小組參與活動，并幫助、指導(dǎo)部分學(xué)生完成任務(wù)，得出勾股定理的逆命題．命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．問題：(1)命題1和命題2有怎樣的聯(lián)系？(2)你能舉出一些類似的例子嗎？提示：命題1和命題2的題設(shè)、結(jié)論分別是什么？如何證明命題2?如圖，若△ABC的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，試證明△ABC是直角三角形．分析：如圖，在△A′B′C′中，A′B′2＝B′C′2＋A′C′2＝a2＋b2，∵a2＋b2＝c2，∴A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(B′C′＝BC＝a，,A′C′＝AC＝b，,A′B′＝AB＝c，))∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形．歸納：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形，這個定理稱為勾股定理的逆定理．問題：(1)如果原命題成立，那么逆命題也一定成立嗎？(2)你能舉出互為逆定理的例子嗎？師生活動：教師出示問題，學(xué)會分組探究，討論如何證明．教師深入各小組進行幫助和指導(dǎo)．教師匯總學(xué)生的討論結(jié)果，然后詳細(xì)講解分析此命題的證明過程．學(xué)生獨立完成證明過程，積極發(fā)言，教師細(xì)心地聽取學(xué)生的發(fā)言并鼓勵學(xué)生，最后點評．教師引導(dǎo)學(xué)生注意在比較中重新認(rèn)識勾股定理和勾股定理的逆定理．為了分清勾股定理和勾股定理的逆定理，我們列表如下：定理勾股定理勾股定理的逆定理內(nèi)容如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．題設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c.三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2.結(jié)論a2＋b2＝c2這個三角形是直角三角形用途是直角三角形的一個性質(zhì)判定直角三角形的一種方法由此我們可以知道，勾股定理的使用條件必須是直角三角形，并且要分清斜邊和直角邊，避免盲目代入等式而出現(xiàn)錯誤；勾股定理的逆定理中的條件中不能出現(xiàn)直角或斜邊的字眼．另外勾股定理的字母表達式可以變形運用．1.“命題＋證明＝定理”的推理模式為定理的發(fā)生、發(fā)展、形成的探究過程，把“構(gòu)造直角三角形”這一方法的獲取過程交給學(xué)生，讓他們在不斷地嘗試、探究的過程中，親身體驗參與發(fā)現(xiàn)的愉悅，有效地突破本節(jié)的難點．2．通過比較勾股定理及其逆定理的題設(shè)和結(jié)論，引出互逆命題(定理)的概念，理解互逆命題(定理)的概念及互逆命題之間的關(guān)系．活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1(教材第32頁例1)判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15，b＝8，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15.解：(1)因為152＋82＝225＋64＝289，172＝289，所以152＋82＝172，這個三角形是直角三角形．(2)因為132＋142＝169＋196＝365，152＝225，所以132＋142≠152，這個三角形不是直角三角形．例2(教材第33頁例2)如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？解：根據(jù)題意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.∵242＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知，∠1＝45°，則∠2＝45°，即“海天”號沿西北方向航行．1.應(yīng)用遷移、鞏固提高，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．2.進一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其運用，突出本節(jié)的教學(xué)重點．活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【變式訓(xùn)練】一個零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量得這個零件各邊長如圖2所示．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))(1)你認(rèn)為這個零件符合要求嗎？為什么？(2)求這個零件的面積．解：(1)∵AD＝4，AB＝3，BD＝5，DC＝13，BC＝12，∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2.∴△ABD和△BDC是直角三角形，且∠A＝90°，∠DBC＝90°.故這個零件符合要求．(2)S零件＝S△ABD＋S△BDC＝eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.答：這個零件的面積是36.師生活動：學(xué)生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．3.從實際生活中所遇到的問題出發(fā)，以本節(jié)的知識為載體建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)模型(勾股定理的逆定理)去解決實際問題，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1．以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是(C)A.5，6，7B．10，8，4C．7，25，24D．9，17，152．下列各命題的逆命題成立的是(B)A.對頂角相等B．兩直線平行，同位角相等C.若a＝b，則|a|＝|b|D．全等三角形的對應(yīng)角相等3.如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC，若小正方形的面積為1，則△ABC的形狀為(A)A.直角三角形B．銳角三角形C.鈍角三角形D．無法判斷4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．解：連接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2eq\r(2)，∠BAC＝45°.∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝8＋1＝9＝CD2.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°.∴∠DAB＝45°＋90°＝135°.師生活動：