第2課時(shí) 正方形的判定

第十八章平行四邊形18.2.3正方形第2課時(shí)正方形的判定講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)1．探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)問(wèn)題1

什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角;②四條邊都相等; ③對(duì)角線相等且互相垂直平分.O復(fù)習(xí)引入新課導(dǎo)入問(wèn)題2

你是如何判斷是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個(gè)角是直角四條邊相等定義四個(gè)判定定理定義對(duì)角線相等定義對(duì)角線垂直思考:怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢？講授新課典例精講歸納總結(jié)正方形的判定講授新課活動(dòng)1：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開(kāi)，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.正方形猜想：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求證：四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO

，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.活動(dòng)3：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形菱形猜想：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等已知：如圖,在菱形ABCD中,AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證一證ABCDO對(duì)角線相等的菱形是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是正方形.要點(diǎn)歸納正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件(二選一)菱形條件(二選一)一個(gè)直角，一組鄰邊相等，對(duì)角線相等對(duì)角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC練一練CABCDO例1

在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.典例精析在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.例2

如圖，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)為E，F(xiàn)在矩形ABCD的邊BC、CD上，且∠CEF=45?.求證：矩形ABCD是正方形.解析：先證明△AEB≌△AFD得到AB=AD，再根據(jù)“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”得出結(jié)論.CBDAEF證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠C=90?∵△AEF是等邊三角形∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60?∵∠CEF=45?∴∠CFE=45?

∴∠AFB=∠AEB=180?-45?-60?=75?

∴矩形ABCD是正方形∴△AEB≌△AFD，AB=AD

CBDAEF例3

如圖，EG,FH過(guò)正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF例4

如圖，正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問(wèn)四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF

,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBE是正方形，理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE是平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．思考前面學(xué)菱形時(shí)我們探究了順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形各邊中點(diǎn)能得到菱形，那么順次連接正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形D當(dāng)堂練習(xí)2．在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BCCABCDO3.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件____________________，可得出該四邊形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)蘑貯B=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯(cuò)誤的是______________（只填寫序號(hào)）．②③或①④證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.5.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG6.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，DE∥AC，DF∥AB．（1）試說(shuō)明四邊形AEDF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）連接AD，當(dāng)AD滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.（2）∵四邊形AEDF為菱形，∴AD平分∠BAC，∴當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF為菱形.（3）在（2）