湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷含答案或解析

湖南省長沙麓山國際實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B．5 C． D．2．設(shè)，則，，則，，的大小關(guān)系是（

）．A． B． C． D．3．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．4．已知點，，．則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．為了給地球減負，提高資源利用率，2019年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚，假設(shè)某市年全年用于垃圾分類的資金為萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．年 B．年 C．年 D．年7．已知O為內(nèi)一點，若分別滿足①；②；③；④(其中為中，角所對的邊).則O依次是的A．內(nèi)心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、內(nèi)心C．外心、內(nèi)心、重心、垂心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心8．在直角中，，若點是所在平面內(nèi)一點，且，則當取到最大值時，（

）A．1 B． C． D．2二、多選題9．設(shè)、為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．若，則10．已知向量，，則下列說法正確的是（

）.A．若，則 B．若，的值為C．的取值范圍為 D．存在，使得11．已知三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（

）A．的取值范圍是B．若是邊上的一點，且，，則的面積的最大值為C．若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D．若三角形是銳角三角形，平分交于點，且，則的最小值為三、填空題12．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.13．設(shè)復(fù)數(shù)，，則的取值范圍是．14．如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為.

四、解答題15．設(shè)三角形的三個內(nèi)角A，B，C對邊分別是a，b，c，已知，.(1)求三角形外接圓半徑；(2)若三角形的面積為，求的值.16．已知向量，滿足，.(1)若，求與的夾角；(2)若對任意的實數(shù)，恒成立，求與的夾角.17．如圖，我國南海某處的一個圓形海域上有四個小島，小島B與小島A、小島C的距離都為5nmile，與小島D的距離為nmile，為鈍角，且.(1)求小島A與小島D之間的距離和四個小島所圍成的四邊形的面積；(2)記為，為，求的值.18．如圖，在中，點滿足，是線段的中點，過點的直線與邊，分別交于點．(1)若，求的值；(2)若，，求的最小值．19．設(shè)為坐標原點，定義非零向量的“友函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“友向量”.(1)記的“友函數(shù)”為，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，其中，求的“友向量”模長的最大值；(3)已知點滿足，向量的“友函數(shù)”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.參考答案1．A【詳解】因為，所以，故選：A．2．B【詳解】，所以有，因為，所以有，故選：B3．A【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)解，則，解得，結(jié)合選項可知的一個必要不充分條件的是.故選：A.4．C【詳解】因為，，．所以，，，所以向量與的夾角為鈍角，因此量在上的投影向量與方向相反，而，，所以在上的投影向量為，故選：C5．B【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.6．C【詳解】設(shè)后第年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億元，因為該市年全年用于垃圾分類的資金為萬元，每年投入的資金比上一年增長，所以后第年該市全年用于垃圾分類的資金為，由已知所以，兩邊取常用對數(shù)可得又，所以.所以后第年，即年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億.故選：C.7．B【詳解】對于①，因為①，所以點O到點的距離相等，即點O為的外心;對于②，因為，所以，所以，即，同理，即點O為的垂心;對于③，因為，所以，設(shè)D為的中點，則，即點O為的重心;對于④，因為，故，整理得.又，所以.因為分別為，方向的單位向量，故與的角平分線共線.同理與的角平分線共線，與的角平分線共線.故點O為的內(nèi)心.故選：B8．B【詳解】如圖，以為軸建立平面直角坐標系，

由于，則，則，而，即有,故，因為，，當且僅當，即時取等號，故當時，取到最大值，故選：B9．BC【詳解】對于A選項，取，，則，A錯；對于B選項，設(shè)，，則，所以，，B對；對于C選項，設(shè)，，則，，，則，，則，故，C對；對于D選項，取，，則，但，D錯.故選：BC.10．AB【詳解】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，因為，所以的值為，故B正確；對于C，，因為，所以，，所以的取值范圍為，故C錯誤；對于D，，所以，，若，則，得，解得，因為，所以，解得，因為，所以無解，故D錯誤.故選：AB.11．BC【詳解】因為，所以，所以，所以，即，又，所以，，因為，所以，所以，所以，故A錯誤；因為，所以，所以，又，所以，即，當且僅當即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B正確；，因為，所以，所以，所以，所以，故C正確；由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，此時，而，所以，與三角形是銳角三角形矛盾，所以等號不成立,故D錯誤；故選：BC12．【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得.故答案為：.13．【詳解】由復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義可知，表示如圖所示的圓環(huán)，而表示復(fù)數(shù)的對應(yīng)點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)點之間的距離，即圓環(huán)內(nèi)的點到點的距離．由圖易知當與重合時，，當點與點重合時，，．故答案為：.

14．【詳解】，，，存在實數(shù)，使得，即，又，則，，，，則，故答案為：．15．(1)(2)【詳解】（1），則，則，,故外接圓半徑R滿足：；（2）因三角形的面積為，則，結(jié)合，，可得，則.16．(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即，又，所以，可得：，所以，又所以與的夾角為；（2）設(shè)與的夾角為，因為恒成立，所以得，整理得，由，可得對一切實數(shù)恒成立，所以，即，又因為，所以，即.又，所以，即與的夾角為.17．(1)nmile；nmile2.(2)【詳解】（1）為鈍角，且得，因，則，,在中利用余弦定理得，在中利用余弦定理得，將代入得或（舍），或（舍），則小島A與小島D之間的距離為nmile，四個小島所圍成的四邊形的面積為nmile2（2）在中利用余弦定理得，，因，則，則，，則.18．(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，因為是線段的中點，所以，又因為，設(shè)，則有，因為三點共線，所以，解得，即，所以．（2）因為，，由（1）可知，，所以，因為三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即，