2024-2025學(xué)年福建省福州市高一下冊3月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，若，則（）A.2 B. C.3 D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.【詳解】若，則，解得.故選：B.2.向量，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?故選.3.在中，角，，所對的邊為，，，，，，那么的大小是（）A. B.4 C. D.3【正確答案】D【分析】運(yùn)用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以有，或舍去，故選：D4.在中，“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合小范圍可以推出大范圍，而大范圍推不出小范圍，即可求解.【詳解】為等腰三角形，即充分性成立為等腰三角形或或，不一定得到，即必要性不成立，“”是“為等腰三角形”的充分不必要條件，故選：A5.已知向量，，且．則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.．【正確答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算及向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得數(shù)量積的值，再根據(jù)投影向量的運(yùn)算公式求解即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.6.在△ABC中，若，，△ABC的面積，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先利用求出，再利用余弦定理求，進(jìn)而可得.【詳解】由已知，可得，，，.故選：D.7.在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，設(shè)，，再用含參的方式用表示，得到關(guān)于參數(shù)的方程組求得，最后應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題意，設(shè)，，則，所以，，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.故選：D8.圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】把轉(zhuǎn)化為，由余弦定理、數(shù)量積的定義得，討論的位置得，結(jié)合銳角三角形恒成立，即可得范圍.【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又，而，若外接圓半徑為r，則，故，且，即，由，對于且在圓上，當(dāng)為直徑時(shí)，當(dāng)重合時(shí)，所以，綜上，，銳角三角形中，則，即恒成立，所以，則恒成立，綜上，.故選:C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)向量，則下列敘述正確的是（）A.若，則與的夾角為鈍角B.的最小值為2C.與垂直的單位向量只能為D.若，則【正確答案】AB【分析】求出與夾角的余弦值可判斷；向量的?？膳袛?；單位向量可判斷；向量模相等列出方程求解可判斷.【詳解】對，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋耘c的夾角是鈍角，故正確；對，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為，故正確；對，設(shè)與垂直的單位向量為，則，解得或與垂直的單位向量為或，故錯(cuò)誤；對，若，可得：，解得，故錯(cuò)誤.故選.10.已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，下列說法正確的是（）A.若，，，則B.若，則C.若，則是銳角三角形D.若，則是鈍角三角形【正確答案】ABD【分析】A利用余弦定理即可；B利用正弦定理即可；C數(shù)量積運(yùn)算可得A為銳角，但無法保證其余角也為銳角；D先利用正弦定理得出，再利用余弦定理即可.【詳解】對于A，由余弦定理得，得，得，故A正確；對于B，由及正弦定理，得，解得，故B正確；對于C，因?yàn)椋裕?，所以A為銳角，但無法確定B和C是否為銳角，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榈娜齻€(gè)角滿足，所以由正弦定理化簡得，設(shè)，，，c為最大邊，由余弦定理得，所以C為鈍角，所以是鈍角三角形，故D正確；故選：ABD11.中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為【正確答案】ABD【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范圍結(jié)合正弦定理可判定C，利用平面向量中線的性質(zhì)及數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理、基本不等式可判定D.【詳解】對于A，因，所以，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，因?yàn)?，則，，故只有一解，故B正確；對于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯(cuò)誤；對于D，若D為邊上的中點(diǎn)，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，所以，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，不共線，如果，，，則共線的三個(gè)點(diǎn)是________.【正確答案】，，【分析】利用共線向量的充要條件化簡求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，共線，且有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.故，，13.已知向量滿足，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可求得答案.【詳解】由，得，有，則，故答案：14.如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機(jī)在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機(jī)距離地面的高度PQ為__________m．【正確答案】200【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【詳解】根據(jù)題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故200四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.平面內(nèi)給定三個(gè)向量，，．（1）求滿足的實(shí)數(shù)m，n．（2）若滿足，且，求的坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算列方程組，解出即可；（2）設(shè)，由向量共線的坐標(biāo)表示和模長計(jì)算解出即可.【小問1詳解】由題意可得，解得【小問2詳解】設(shè)，由題意可得，因?yàn)?，則，①又，所以，②由①②解得或，所以的坐標(biāo)為或.16.在中，有.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出的面積.【小問1詳解】解：由題意可得，，故.【小問2詳解】解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.17.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn)．設(shè)向量，．（1）求的值；（2）用，表示和；（3）證明：．【正確答案】（1）；（2），；（3）證明見解析【分析】（1）利用數(shù)量積公式以及求解即可；（2）由向量的加減法進(jìn)行運(yùn)算即可用，表示和；（3）利用向量的垂直和數(shù)量積的關(guān)系證明即可.【詳解】（1）（2）又為中點(diǎn)（3）又所以本題主要考查了用基底表示向量，利用數(shù)量積求模以及利用向量證明線段垂直，屬于中檔題.18.已知在銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，.（1）求角；（2）若，D為中點(diǎn)，，求b；（3）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由正弦定理可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和兩角和的三角函數(shù)即可求解；（2）由已知可得，兩邊完全平方即可求解；（3）由正弦定理可得，，借助三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理，得，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，又，所以；【小?詳解】因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），故；【小問3詳解】由正弦定理：，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)殇J角三角形，所以，所以，，所以，所以，所以的取值范圍為.19.在直角梯形中，已知，，，，對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．（1）求的值；（2）若為線段上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為原點(diǎn)，、分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中條件求出點(diǎn)、的坐標(biāo)