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7.2矩陣的初等行變換7.2.1初等行變換的概念7.2.2矩陣的秩7.2.3逆矩陣（1）互換變換：交換矩陣中任意兩行（列）的位置；（2）倍乘變換：用非零常數(shù)乘以矩陣某一行（列）的所有元素；

（3）倍加變換：將矩陣某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換矩陣的初等行（列）變換是指對(duì)矩陣進(jìn)行下列三種變換：

定義7.7

7.2.1初等行變換的概念

定義7.8

如果矩陣滿足下列條件

（1）矩陣的零行（如果存在的話）在矩陣最下方；（2）非零行的首非零元素其列標(biāo)隨著行標(biāo)遞增而嚴(yán)格增大。則稱該矩陣為階梯形矩陣，簡(jiǎn)稱階梯矩陣。

定義7.9

首非零元素等于1，而且首非零元素1所在列的其他元素全為零的階梯形矩陣稱為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，簡(jiǎn)稱行簡(jiǎn)化階梯矩陣。例如為非階梯矩陣，為階梯矩陣而非行簡(jiǎn)化階梯矩陣，為行簡(jiǎn)化階梯矩陣。

定理7.1

任意一個(gè)矩陣，可以經(jīng)過有限次的初

等行變換必可化為階梯矩陣，并進(jìn)一步可化為行簡(jiǎn)化階梯矩陣。例7.2.1把矩陣化為行簡(jiǎn)化階梯矩陣。解：式中為的階梯矩陣，為的行簡(jiǎn)化階梯矩陣。

經(jīng)過有限次的初等行變換將矩陣化為階梯矩陣后，定義7.10該階梯形矩陣中非零行的行數(shù)稱為矩陣的秩，記為秩或。

定義7.11對(duì)于階方陣，如果，則稱或非奇異矩陣。

為滿秩矩陣，任何一個(gè)滿秩矩陣都能通過初等行變換化為單位矩陣。定理7.2

7.2.2矩陣的秩

7.2.3逆矩陣1.逆矩陣的概念定義7.12設(shè)是階方陣，如果存在階方陣，使得則稱矩陣可逆，并稱是的逆矩陣。記為，即。

，例如：矩陣

，

，因?yàn)榭梢则?yàn)

證

。所以矩陣

可逆，且矩陣

是矩陣

的逆矩陣。

定理7.3如果矩陣是可逆的，則的逆矩陣是唯一的?！締栴}】是否所有的矩陣都存在著逆矩陣？如：零矩陣就不存在逆矩陣，矩陣也不存在逆矩陣。定理7.4矩陣可逆的充要條件是矩陣為滿秩矩陣。定理7.5階可逆矩陣經(jīng)過一系列的初等行變換，必可化成階單位矩陣經(jīng)過一系列的初等行變換，必可化成階單位矩陣；同時(shí)對(duì)階單位矩陣作同樣的初等行變換，所得到的矩陣即為的逆矩陣。例7.2.2用初等變換法求＝

的逆矩陣。

解：＝所以

例7.2.3用初等行變換求

＝

的逆矩陣。

解：即矩陣不可逆。小結(jié)：（1）矩陣的初等變換

（2）矩陣

的秩

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