初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題18 圓的對稱性

專題18圓的對稱性

閱讀與思考

圓是一個對稱圖形．

首先，圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同

時，圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這

是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性．

由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、

弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論．這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有廣泛的應(yīng)有．一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用．

熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論．

我國戰(zhàn)國時期科學(xué)家墨翟在《墨經(jīng)》中寫道：“圓，一中間長也．”古代的美索不達(dá)米亞人最先開始

制造圓輪．日、月、果實、圓木、車輪，人類認(rèn)識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了

深深的烙印．

例題與求解

【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC的長分別為3和2，則∠BAC度數(shù)為_______．

（黑龍江省中考試題）

解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系．

由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問

題的解決．

【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB，CD，EF．如果AB+CD=EF，那么AB+CD

與EF的大小關(guān)系是（）

BD

F

AC

E

A．AB+CD=EFB．AB+CD>EF

C．AB+CD<EFD．AB+CD與EF的大小關(guān)系不能確定

（江蘇省競賽試題）

解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考．

【例3】⑴如圖1，已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，

⊙O過A，D，E三點，求⊙O的半徑．

⑵如圖2，若多邊形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC組成，AB=AC=BD=2，⊙O過A，D，

E三點，問⊙O的半徑是否改變？

（《時代學(xué)習(xí)報》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

AA

BCBC

OO

DEDE

圖1圖2

解題思路：對于⑴，給出不同解法；對于⑵，⊙的半徑不改變，解法類似⑴．

等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個完美的圖形能合成一個

從形式到結(jié)果依然完美的圖形．

三個完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學(xué)們可參照刻意練習(xí)．

【例4】如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點，DE⊥AB于E．求證：

BD2-AD2=ABAC．

（天津市競賽試題）

解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明．

D

A

E

C

B

圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識和方法．同樣，圓也為解決直

線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等

或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧．

【例5】在△ABC中，M是AB上一點，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是線段AC

上的一個動點，⊙O是過P，M，C三點的圓，過P作PD∥AB交⊙O于點D．

⑴求證：M是AB的中點；

⑵求PD的長．（江蘇省競賽試題）

解題思路：對于⑴，運用配方法求出AM，BM，CM的長，由線段長確定直線位置關(guān)系；對于⑵，

促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化．

A

M

P

O

CB

D

【例6】已知AD是⊙O的直徑，AB，AC是弦，且AB=AC．

AA

AP

BCBC

BEE

C

OOO

F

GF

DDD

圖1圖2圖3

⑴如圖1，求證：直徑AD平分∠BAC；

⑵如圖2，若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，F(xiàn)是CD的中點，G是FB的中點，⊙O的半徑為1，

求弦FG的長；

⑶如圖3，在⑵中若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，P為劣弧上一動點，連結(jié)PA，PB，PD，PF，

PAPF

求證：的定值．

PBPD

（武漢市調(diào)考試題）

解題思路：對于⑶，先證明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解

題突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造PA+PF，PB+PD相關(guān)線段；

③取BD的中點M，連結(jié)PM，聯(lián)想常規(guī)命題；等等．

本例實質(zhì)是借用了下列問題：

⑴如圖1，PA+PB=3PH；⑵如圖2，PA+PB=PH；

⑶進一步，如圖3，若∠APB=α，PH平分∠APB，則PA+PB=2PHcos為定

2

PPP

00B

A3060060

300A

A

HBB

圖1圖2HH

圖3

值．

能力訓(xùn)練

A級

1．圓的半徑為5cm，其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm，則梯形的面積為_______cm2．

2．如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長是40cm，高CD是5cm，原輪片的直徑是________cm．

C

A

PB

（第4題圖）

BA

3．如圖，已知CD為半圓的直徑，AB⊥CD于B．設(shè)∠AOB=α，則tan=_________．

BD2

（黑龍江省中考試題）

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=1，若BC=1，若以C為圓心，CB的長為半徑

的圓交AB于P，則AP=___________.（江蘇省宿遷市中考試題）

5．如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OA—AB—BO的路徑運動一周.設(shè)OP長為

s，運動時間為t，則下列圖形能大致地刻畫s與t之間的關(guān)系是（）

ssss

OtOtOtOt

ABCD

（太原市中考試題）

6．如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，AB=10cm，CD=6cm，

那么AC的長為（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

A

B

O

E

AB

CDAC

PFD

ECDFB

（第6題圖）（第7題圖）（第8題圖）

7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B兩點到直線CD的距離

之和為（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

8．如圖，半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點P，連結(jié)OP．若OP=1，求AB2+CD2

的值．（黑龍江省競賽試題）

9．如圖，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點B作BN⊥AM于N，其延長線交⊙O于點C，弦CD交

AM于點E．

⑴如果CD⊥AB，求證：EN=NM；

⑵如果弦CD交AB于點F，且CD=AB，求證：CE2=EF?ED；

⑶如果弦CD，AB的延長線交于點F，且CD=AB，那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由．

（重慶市中考試題）

A

DF

O

E

BC

M

（第9題圖）

1

10．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABMC中，AB>AC，M是BC的中點，MH⊥AB于點H．求證：BH=

2

（AB-AC）．

（河南省競賽試題）

A

HC

BM

（第10題圖）

11．⑴如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC

1

于點G．求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的．

3

⑵如圖2，若∠DOE保持1200角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC

1

的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．

3

12．如圖，正方形ABCD的頂點A，D和正方形JKLM的頂點K，L在一個以5為半徑的⊙O上，

點J，M在線段BC上．若正方形ABCD的邊長為6，求正方形JKLM的邊長．

（上海市競賽試題）

N

AD

O

J

BMC

KL

（第12題圖）

B級

1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，過A，B兩點作CD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．若AB=10，

AE=3，BF=5，則EC=__________．

AC

BD

ODE

AB

OP

ABC

ECDF

A′

（第題圖）

1（第2題圖）（第3題圖）

2．如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在BC的中點A′上，若BC=5，則折痕在△ABC

內(nèi)的部分DE長為________．（寧波市中考試題）

3．如圖，已知⊙O的半徑為R，C，D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，AC的度數(shù)為960，BD的度

數(shù)為360．動點P在AB上，則CP+PD的最小值為__________．

（陜西省競賽試題）

4．如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（）

55517

A．2B．C．D．

2416

5．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點，M是AC的中點，MN⊥AB于N，則有

（）

1233

A．MN=ACB．MN=ACC．MN=ACD．MN=AC

2253

（武漢市選拔賽試題）

C

B

D

F

N

AAC

EOBOP

GD

（第6題圖）（第7題圖）

6．已知，AB為⊙O的直徑，D為AC的中點，DE⊥AB于點E，且DE=3．求AC的長度．

7．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的⊙O；對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點

為P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8．如圖，已知點A，B，C，D順次在⊙O上，ABBD，BM⊥AC于M．求證：AM=DC+CM．

（江蘇省競賽試題）

B

C

M

O

AD

（第8題圖）

9．如圖，在直角坐體系中，點B，C在x軸的負(fù)半軸上，點A在y軸的負(fù)半軸上，以AC為直徑的

圓與AB的延長線交于點D，CDAO，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程x2kx480

的兩個根．

⑴求點D的坐標(biāo)；

1

⑵若點P在直徑AC上，且AP=AC，判斷點(－2，10)是否在過D，P兩點的直線上，并說明理

4

由．（河南省中考試題）

y

D

CO

x

B

PA

（第9題圖）

10．⑴如圖1，已知PA，PB為⊙O的弦，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，求證：AE=PE+PB．

⑵如圖2，已知PA，PB為⊙O的弦，C是優(yōu)弧AB的中點，直線CD⊥PA于點E，問：AE，PE與

PB之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論．

CD

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