2024-2025學年安徽省阜陽市太和縣高三下冊開學考試數學檢測試題（附解析）

2024-2025學年安徽省阜陽市太和縣高三下學期開學考試數學檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內．2．答題時請按要求用筆．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設，集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求出集合，根據補集運算，即可求出.【詳解】由得：，又，所以，因此.故選：B.本題主要考查了集合的補集運算，屬于基礎題.2.已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則實數的取值為A-2 B.-1 C.1 D.2【正確答案】B【分析】求出函數的導數，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選B．本題考查函數的導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．3.已知函數，以下結論正確的個數為（）①當時，函數的圖象的對稱中心為；②當時，函數在上為單調遞減函數；③若函數在上不單調，則；④當時，在上的最大值為1．A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】①根據函數的對稱中心判斷；②利用導數判斷函數的單調性；③先求函數的導數，若滿足條件，則極值點必在區(qū)間；④利用導數求函數在給定區(qū)間的最值．【詳解】①為奇函數，其圖象的對稱中心為原點，根據平移知識，函數的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因為當時，，又，所以在上恒成立，所以函數在上為單調遞減函數，正確．③由題意知，當時，，此時在上為增函數，不合題意，故．令，解得．因為在上不單調，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．易知在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，根據函數的單調性，在上的最大值只可能為或．因為，所以最大值為64，結論錯誤．故選：C4.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先計算出總的基本事件的個數，再計算出兩張都沒獲獎的個數，根據古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數學建模、數學計算能力，屬于基礎題.5.已知函數為奇函數，且，則（）A2 B. C.1 D.3【正確答案】B【分析】由即可求解.【詳解】由函數為奇函數，可得：．故選：B．6.下列函數中，值域為R且為奇函數的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】依次判斷函數的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數，排除；B.，值域為，奇函數，排除；C.，值域為，奇函數，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數，排除；故選.本題考查了函數的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.7.如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為A. B. C.6 D.與點O的位置有關【正確答案】B【分析】根據三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，屬于基礎題.8.在的展開式中，含的項的系數是（）A.74 B.121 C. D.【正確答案】D【分析】根據，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數是的系數是，，故選：D本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題，9.若復數是純虛數，則A.3 B.5 C. D.【正確答案】C【分析】先由已知，求出，進一步可得，再利用復數模的運算即可【詳解】由z是純虛數，得且，所以，.因此，.故選：C.本題考查復數的除法、復數模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎題.10.在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】依據線性約束條件畫出可行域，目標函數恒過，再分別討論的正負進一步確定目標函數與可行域的基本關系，即可求解【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點，當時，不等式表示直線及其左邊區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實數的取值范圍為，故選：B.本題考查由目標函數有解求解參數取值范圍問題，分類討論與數形結合思想，屬于中檔題11.若是的充分不必要條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】通過逆否命題的同真同假，結合充要條件的判斷方法判定即可．【詳解】由是的充分不必要條件知“若則”為真，“若則”為假，根據互為逆否命題的等價性知，“若則”為真，“若則”為假，故選：B．12.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側棱長為，則它的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設球半徑為，則，解得，故.故選.本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示，點，B均在拋物線上，等腰直角的斜邊為BC，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標是________.【正確答案】【分析】設出兩點的坐標，結合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得的坐標.【詳解】設，由于在拋物線上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化為，可得，所以，解得，則.所以.故本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．14.工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序將每個螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數是________．【正確答案】60【詳解】分析：首先將選定第一個釘，總共有6種方法，假設選定1號，之后分析第二步，第三步等，按照分類加法計數原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計數原理，求得總共有種方法.詳解：根據題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號釘的時候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點睛：該題考查的是有關分類加法計數原理和分步乘法計數原理，在解題的過程中，需要逐個的將對應的過程寫出來，所以利用列舉法將對應的結果列出，而對于第一個選哪個是機會均等的，從而用乘法運算得到結果.15.平面向量，，（R），且與的夾角等于與的夾角，則___.【正確答案】2【詳解】試題分析：，與的夾角等于與的夾角，所以考點：向量的坐標運算與向量夾角16.給出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，結果為的式子的序號是_____.【正確答案】①②③【分析】由已知分別結合和差角的正切及正弦余弦公式進行化簡即可求解.【詳解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故①②③本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應用，屬于中檔試題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（t為參數，），點.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程，并指出其形狀；（2）曲線與曲線交于A，B兩點，若，求的值.【正確答案】（1）；曲線是以為圓心，為半徑的圓；（2）.【分析】（1）先化簡，利用代換即得方程，再判斷形狀即可；（2）將曲線的參數方程代入曲線的直角坐標方程得到關于t的二次方程，利用參數的幾何意義計算，列關系求參數即可.【詳解】（1）由，得，所以，即，.所以曲線是以為圓心，為半徑的圓.（2）將代入，整理得.設點A，B所對應的參數分別為，則，，即異號，，解得，所以，又，則.本題考查了曲線的極坐標方程和直角坐標方程，以及曲線的參數方程，屬于中檔題.18.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品請3位專家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若1件手工藝品3位專家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位專家認為質量不過關，再由另外2位專家進行第二次質量把關，若第二次質量把關的2位專家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關的2位專家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位專家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中1件手工藝品被1位專家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求1件手工藝品質量為B級的概率；（2）若1件手工藝品質量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元、600元、300元，質量為D級不能外銷，利潤為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件.②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與均值.【正確答案】（1）（2）①2件；②分布列見解析，【分析】（1）結合相互獨立事件、獨立重復試驗概率計算公式，計算出所求概率.（2）①設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品是件，結合二項分布的知識求得的最大值，從而得出結論.②結合相互獨立事件、獨立重復試驗概率計算公式，計算出分布列，并求得數學期望.【小問1詳解】由題意知，1件手工藝品質量為B級的概率為.【小問2詳解】①由題意可知，1件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品是件，則，則，其中..由得，所以當時，，即，由得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，1件手工藝品質量為A級的概率為，1件手工藝品質量為B級概率為，1件手工藝品質量為C級的概率為，1件手工藝品質量為D級的概率為，所以X的分布列為X900600300100P則.19.某企業(yè)生產一種產品，從流水線上隨機抽取件產品，統(tǒng)計其質量指標值并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：規(guī)定產品的質量指標值在的為劣質品，在的為優(yōu)等品，在的為特優(yōu)品，銷售時劣質品每件虧損元，優(yōu)等品每件盈利元，特優(yōu)品每件盈利元，以這件產品的質量指標值位于各區(qū)間的頻率代替產品的質量指標值位于該區(qū)間的概率．（1）求每件產品的平均銷售利潤；（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近年的年營銷費用和年銷售量，數據做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值．表中，，，．根據散點圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關于年營銷費用（萬元）的回歸方程．①求關于的回歸方程；②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益銷售利潤營銷費用，?。└剑簩τ谝唤M數據，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【正確答案】（1）元．（2）①②萬元【分析】（1）每件產品的銷售利潤為，由已知可得的取值，由頻率分布直方圖可得劣質品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從而可得的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；（2）①對取自然對數，得，令，，，則，這就是線性回歸方程，由所給公式數據計算出系數，得線性回歸方程，從而可求得；②求出收益，可設換元后用導數求出最大值．【詳解】解：（1）設每件產品的銷售利潤為，則的可能取值為，，．由頻率分布直方圖可得產品為劣質品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率分別為、、．所以；；．所以的分布列為所以（元）．即每件產品的平均銷售利潤為元．（2）①由，得，令，，，則，由表中數據可得，則，所以，即，因為取，所以，故所求的回歸方程為．②設年收益為萬元，則令，則，，當時，，當時，，所以當，即時，有最大值．即該企業(yè)每年應該投入萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大，最大收益為萬元．本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應用．在求指數型回歸方程時，可通過取對數的方法轉化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數型回歸方程．20.2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現從年齡在，，內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數，求的分布列和數學期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．【正確答案】（1）分布列見解析,（2）【分析】（1）根據頻率分布直方圖及抽取總人數，結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數；的可能取值為0，1，2，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數學期望公式即可求得其數學期望.（2）先求得年齡在內的頻率，視為概率.結合二項分布的性質，表示出，令，化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值．【詳解】（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中，年齡在人數為人，年齡在內的人數為人．年齡在內的人數為人．所以的可能取值為0，1，2．所以，，，所以的分市列為012．（2）設在抽取的20名市民中，年齡在內的人數為，服從二項分布．由頻率分布直方圖可知，年齡在內的頻率為，所以，所以．設，若，則，；若，則，．所以當時，最大，即當最大時，．本題考差了離散型隨機變量分布列及數學期望的求法，二項分布的綜合應用，屬于中檔題.21.已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．【正確答案】（1）（2）特征值為或．【分析】（1）先設矩陣,根據,按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值．【詳解】解：（1）設矩陣由題意,因為,所以,即所以,（2）矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查