山西省太原市2025屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁山西省太原市2025屆高三一模考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.計算1+ii=(

)A.?1?i B.

1?i C.?1+i D.1+i2.已知集合A={x∣x<1}，B=x∣x2A.?1,0 B.0,1 C.?1,2 D.?2,13.已知a=2,1，b=m,?1，若a//A.?2 B.3 C.6 D.?14.已知a=32，b=log23，A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b5.已知?ABC的三條邊長分別為3，4，5，?ABC的兩個頂點是橢圓E的焦點，其另一個頂點在橢圓E上，則E的離心率的最大值為(

)A.13 B.12 C.576.將函數(shù)fx=sin2x+θ?π2<θ<π2的圖象先向左平移A.?π6 B.π6 C.?7.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S5=4a4?1，A.a5=10 B.S5=15 C.8.已知函數(shù)fx=x3?m+A.?127,0∪0,1 B.?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,x5的平均數(shù)為3，方差為3，樣本數(shù)據(jù)y1A.數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,?,2x5+1的平均數(shù)為7

B.數(shù)據(jù)2y1?1,2y210.已知函數(shù)fx=lnx2?x+x?13A.fx1<fx2 B.fx11.已知動點Px,y到點F0,1和直線y=4的距離和為5，記其軌跡為曲線C.點Mx1,y1，NxA.曲線C的方程為y=?116x2+5

B.對于任意a∈R，都存在點M，N，使得AM=AN成立

C.當y1≠y2時，若點M，N關(guān)于點A對稱，則a∈5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?2y)5的展開式中x2y3的系數(shù)是

13.已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，球O與該圓臺的上、下底面及其側(cè)面都相切，則球O的表面積為

．14.對于數(shù)列an，稱Δan為數(shù)列an的1階商分數(shù)列，其中Δan=an+1an；稱Δkan為數(shù)列an的k階商分數(shù)列，其中Δkan=Δk?1an+1四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知a，b，c分別是?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且a+ba?b(1)求B；(2)若D是邊AC上一點，且AD=2DC，cosC=35，求16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x?alnx，(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當x∈(0,+∞)時，若f(x)≥cos(x?1)恒成立，求a17.(本小題12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，DE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，

(1)求證：AD⊥EF；(2)若DE=23，點G是線段BF上一點，二面角D?AG?E的余弦值為15，求18.(本小題12分)已知圓O:x2+y2=1，點F2,0，動點Mx,y，以(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)點A2,3，Pt,0，Q2?t,012<t<1，直線AP，AQ分別與曲線C交于點S①求證：直線ST過定點；②若AG⊥ST，G為垂足，求點G的軌跡方程．19.(本小題12分)某商場推出購物抽獎促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在該商場內(nèi)的消費額每滿100元，可獲得1張獎券；②每張獎券可以進行1次抽獎活動，即從裝有4個白球、2個紅球的盒子中，隨機摸取1個球(每個球被摸到的可能性相同).獎勵規(guī)則：若摸出白球，則沒有中獎，摸出的白球放回原盒子中，本張獎券抽獎活動結(jié)束；若摸出紅球，則中獎，獲得禮品1份，且摸出的紅球不放回原盒子中，同時得到一次額外的抽獎機會(該抽獎機會無需使用新的獎券)，繼續(xù)從當前盒子中隨機摸取1個球，其獎勵規(guī)則不變；③從第二張獎券開始，使用每張獎券抽獎時均在前一張獎券抽獎活動的基礎(chǔ)上進行；④若顧客獲得2份禮品(即該顧客將2個紅球都摸出)或使用完所獲獎券，則該顧客本次購物的抽獎活動結(jié)束．(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“甲使用第2張獎券抽獎，中獎的概率；(2)顧客乙通過在商場內(nèi)消費獲得了若干張獎券并進行抽獎，求事件“乙獲得第2份禮品時，共使用了3張獎券”的概率；(3)顧客丙消費了1000元，設(shè)X表示顧客丙在這次抽獎活動中所使用獎券的數(shù)量，求X的分布列及其期望EX．

參考答案1.B

2.C

3.A

4.B

5.C

6.C

7.B

8.A

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.?80

13.12π

14.2nn+115.解：(1)由a+ba?b=ca?c由余弦定理得cosB=a2+c(2)設(shè)∠CBD=α，∵cosC=3∴sin在?ABD中，由正弦定理得ADsin在?BCD中，由正弦定理得CDsin∵AD=2DC，∴2∴3∴tan

16.解：(1)由a+ba?b=ca?c由余弦定理得cosB=a2+c(2)設(shè)∠CBD=α，∵cosC=3∴sin在?ABD中，由正弦定理得ADsin在?BCD中，由正弦定理得CDsin∵AD=2DC，∴2∴3∴tan【詳解】(1)函數(shù)f(x)=x?alnx的定義域為(0,+∞)，求導(dǎo)得當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>0時，由f′(x)<0，得0<x<a；由f′(x)>0，得x>a，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增，所以當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>0時，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增．(2)令g(x)=f(x)?cos(x?1)=x?aln求導(dǎo)得g′(x)=1?ax+sin(x?1)得?x∈(0,+∞)，g(x)≥0恒成立，而g(1)=0，因此g(1)是函數(shù)g(x)的最小值，又g(x)在(0,+∞)可導(dǎo)，則1是g(x)的極小值點，g′(1)=1?a=0，解得a=1，當a=1時，g(x)=x?lnx?cos令?(x)=x?1?lnx，x>0，求導(dǎo)得由?′(x)<0，得0<x<1；由?′(x)>0，得x>1，函數(shù)?(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，則?(x)≥?(1)=0，即x?ln因此g(x)=x?lnx?cos所以a=1．

17.解：(1)證明：設(shè)H是BC的中點，連結(jié)DH，F(xiàn)H，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，∵?BCF是等邊三角形，∴FH⊥BC，∵平面BCF⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，

∴DE//FH，∴D，E，F(xiàn)，H共面，∵四邊形ABCD邊長為2的菱形，∠BAD=60°，在△CDH中，DH∴CD2=C∵四邊形ABCD為菱形，∴AD//BC，∴DH⊥AD，∵DE∩DH=D，∴AD⊥平面DEFH，∴AD⊥EF．(2)由(1)得AD⊥DE，AD⊥DH，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DH，以D為原點，DA，DH，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A2,0,0，B1,3,0設(shè)BG=λBF0≤λ≤1設(shè)m=x1,∴取y1=λ，則z1設(shè)n=x2,∴取x2=3，則y2∵二面角D?AG?E的余弦值為15，∴∴λ=12或λ=2(舍去)，

18.解：(1)設(shè)N是MF的中點，F(xiàn)1?2,0，連接ON，由題意可得ON//MF1且所以MF故點M的軌跡是以F1，F(xiàn)為焦點，實軸長為2則2a=2c=2，所以a=1，b=所以曲線C的方程為x2(2)①設(shè)Sx1,y1，T由x=my+n,x2?∴y1+直線AS的方程為y=y1?3x1直線AT的方程為y=y2?3x2∴3∴3m∴2m?∴2m?∴n∴n∴18m2?2∴n+3m?2∴n=2?3m或n=3m+1，當n=2?3m時，直線ST的方程為x=my?3+2，令y?3=0，即y=3，所以所以直線ST經(jīng)過點A3,2，即點S與A當n=3m+1時，直線ST的方程為x=my+3+1，令y+3=0，即y=?3，所以所以直線ST過定點1,?3；②由①知直線ST過定點1,?3，記其為點B，由AG⊥ST可知垂足G在以AB為直徑的圓上，∵12<t<1所以點G的軌跡方程為x?3

19.解：(1)設(shè)事件Aij=“甲使用第i張獎券抽獎，中j次獎”則所求事件為A10A21(2)設(shè)事件Bij=“乙使用第i張獎券抽獎，中j次獎”則所求事件為B11B20(3)由題意可知X的所有可能取值為1，2，?，10．當X≤9時，表示顧客丙使用