北京市朝陽(yáng)區(qū)2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)北京市朝陽(yáng)區(qū)2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x|A.{x|0≤x<2} 2.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i的共軛復(fù)數(shù)為z?A.1 B.2 C.2 D.3.在(x+2xA.6 B.8 C.12 D.244.為得到函數(shù)y=sin2xA.向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向右平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度 D.5.已知{an}是等比數(shù)列，a2=2，A.18 B.14 C.126.已知曲線C：mx2?ny2=1，則“nA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知sinα+sinA.?12 B.12 C.8.某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直線l1，l2互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A，B，C處，其中入口A點(diǎn)(定點(diǎn))在橋DE上，且A到直線l1，l2的距離分別為h1，h2(h1,h2為定值)，入口B，C分別在直線l2，l1上，公園的一邊AB與直線A.函數(shù)S(α)的最大值為h1h2

B.函數(shù)S(α)的最小值為h1h22

C.若α1，α9.在△ABC中，CA=CB=5，AB=A.0 B.?1625 C.?410.n位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場(chǎng)比賽.每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)3分，負(fù)者計(jì)0分，平局各計(jì)1分.所有比賽結(jié)束后，若這n位同學(xué)的得分總和為150分，且平局總場(chǎng)數(shù)不超過(guò)比賽總場(chǎng)數(shù)的一半，則平局總場(chǎng)數(shù)為(

)A.12 B.15 C.16 D.18二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=112.已知點(diǎn)M(2,1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，則拋物線C的焦點(diǎn)F13.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x+e2?x，則f(?14.干支紀(jì)年法是我國(guó)古代一種紀(jì)年方式，它以十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、未、申、酉、戌、亥)的組合來(lái)表示年份，循環(huán)紀(jì)年.比如某一年為甲子年，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推.已知2025年是乙巳年.則2025年之后的首個(gè)己巳年是______年.(用數(shù)字作答)15.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是底面A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①|(zhì)PA+P三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題13分)

如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，在四邊形ABCD中，AB/?/CD，AB=2，AD17.(本小題13分)

在△ABC中，bcosA+acosB=c2．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)已知sinC=35，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周長(zhǎng)．

條件18.(本小題14分)

某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行.現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行.研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率．

(Ⅰ)估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；

(Ⅱ)分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；

(Ⅲ)對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s12，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為s22，寫(xiě)出s12和19.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率為12．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)20.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?x?1x+1(a∈R)．

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)21.(本小題15分)

已知Q：a1，a2，…，an(n≥3,n∈N*)為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在i，j∈{1,2,…,n}(i<j)，使得siai+si+1ai+1+…+sjaj=0，其中si，si+1，…，sj∈{?1,1}，則稱Q為連續(xù)可歸零數(shù)列．

(Ⅰ)判斷Q1：1，3答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳={x||x|<2}=A={x|?2.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)z=1+i的共軛復(fù)數(shù)為z?，

則z?z?=3.【答案】D

【解析】解：(x+2x)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：Tr+1=C4rx4?r4.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閥=sin2x+cos2x=2sin(2x+π5.【答案】A

【解析】解：等比數(shù)列{an}中，a2=2，a3=1，

所以公比q=a3a2=6.【答案】A

【解析】解：若n>m>0，則0<1n<1m，

又曲線C：mx2?ny2=1即x21m?y21n=1，

所以C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，

所以由“n>m>0”可以推出“C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線”，

若C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則對(duì)于C：mx2?ny2=7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閟inα+sinβ=0，cosα+cosβ=3，

所以(sinα+s8.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意可得AE=h1，AD=h2，∠ABD=∠CAE=α，

所以AC=h1cosα，AB=h2sinα，

所以Rt△ABC的面積S(α)=12AC?AB=h1h22sinαcosα=h1h2sin2α，α∈(09.【答案】C

【解析】解：因?yàn)樵谌切蜛BC中，CA=CB=5，AB=4，

所以由余弦定理得：cosC=AC2+BC2?AB22AC×CB=5+5?162×5×5=?35，所以C為鈍角；

又因?yàn)锳M?BC=0，所以M點(diǎn)在三角形ABC底邊BC的高線上，

則以BC所在直線為x軸，以其上的高線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：10.【答案】B

【解析】解：?jiǎn)窝h(huán)比賽總場(chǎng)數(shù)為M=n(n?1)2，

設(shè)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)為S，平局場(chǎng)數(shù)為P，

則總得分滿足：3S+2P=150，

又因?yàn)镾+P=M，將S=M?P代入3S+2P=150，得：3(M?P)+2P=150，

即3M?P=150，即P=3M?150，

由條件P≤M2，代入得：3M?150≤M2，

解得M≤60，

同時(shí)由P≥0，可得3M?150≥0，解得M≥50，

因此，M需滿足50≤M≤11.【答案】(0【解析】解：由題意知，令1?x>0x>0，解得0<x<1，

所以函數(shù)f12.【答案】(0,1【解析】解：點(diǎn)M(2,1)在拋物線C：x2=2py(p>0)上，

則4=2p，解得p=2，

故拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

(0,1)，

|FM|=2，F(xiàn)(0,1)，13.【答案】?3

4【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f(x)=x+e2?x，所以f(?2)=?f(2)=?(2+e0)

=?3；

由f(x)=x+e2?x，得f′(x)=1?e2?x，令f′(x)=0，得x=2，

所以0<x<2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x>2時(shí)，f′(x)>14.【答案】2049

【解析】解：天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，

從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項(xiàng)，

因?yàn)榈刂樗龋瑒t經(jīng)過(guò)的年數(shù)為12的倍數(shù)，

又因?yàn)?025年為天干為乙，到天干為己，需經(jīng)過(guò)丙、丁、戊、己，

故經(jīng)過(guò)年數(shù)除以10的余數(shù)為4，故需經(jīng)過(guò)24年，

所以2025年之后的首個(gè)己巳年是2049．

故答案為：2049．

天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，分析計(jì)算可得解．

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了歸納推理，屬于中檔題．15.【答案】①②【解析】解：設(shè)點(diǎn)A，B，C，D關(guān)于平面A1B1C1D1的對(duì)稱點(diǎn)分別為A2，B2.C2，D2，

設(shè)底面ABCD，A1B1C1D1的中心分別為點(diǎn)O，O1，如圖所示：

對(duì)于①，易知O為AC的中點(diǎn)，則PO=12(PA+PC)，可得PA+PC=2PO，所以|PA+PC|=2|PO|，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O1重合時(shí)，OO1⊥底面ABCD，此時(shí)|PO|取最小值1，即|PA+PC|的最小值為2，①正確；

對(duì)于④，|PA|2+|PC|2=|PO+OA|2+|PO+OC|2=|PO+OA|2+|PO?16.【答案】證明見(jiàn)解析；

23．【解析】解：(1)證明：連接D1C，EC，

因?yàn)锳B=2，CD=1，E為AB的中點(diǎn)，

所以AE=CD，

又AB/?/CD，所以四邊形AECD為平行四邊形，

所以EC/?/AD，EC=AD，

又因?yàn)锳1D1/?/AD，A1D1=AD，

所以A1D1//EC，A1D1=EC，

所以四邊形A1ECD1為平行四邊形，

所以A1E//D1C，

又因?yàn)锳1E?平面C1CDD1，DC?平面C1CDD1，

所以A1E/?/平面C1CDD1；

(2)因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，

又因?yàn)槠矫鍭117.【答案】(Ⅰ)c=1；

(Ⅱ)選條件①：周長(zhǎng)為1+22；

選條件②，周長(zhǎng)為【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理和bcosA+acosB=c2得，

sinBcosA+cosBsinA=csinC，可得sin(A+B)=sinC=csinC，

顯然sinC>0，所以c=1；

(Ⅱ)選條件①：由B=π4，sinC=35，c=1，

因?yàn)閎sinB=csinC，所以b=csinBsinC=526，

因?yàn)閎>18.【答案】(Ⅰ)1425；

(Ⅱ)1780；

(【解析】解：(Ⅰ)從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為12+2+18+3+15+6=56，

因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為56100=1425；

(Ⅱ)設(shè)事件A1：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，

事件A2：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，

事件A3：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，

事件Ci：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，i=2，3，

事件D：抽取的3人中至少有2人選擇去B地，

從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20，

選擇去B地的總數(shù)為2+2+1=5，所以P(A1)可估計(jì)為520=14，

抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40，

選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10，所以P(A2)可估計(jì)為1040=14，

抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為15+6+319.【答案】(Ⅰ)x24+y2【解析】解；(Ⅰ)由題意得c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2b=3，

所以橢圓E的方程是x24+y23=1．

(Ⅱ)證明：由題可知直線l斜率存在，設(shè)直線l：y=k(x?4)，

由3x2+4y2?12=0y=k(x?4)，

得(4k2+3)x2?32k2x+64k2?12=0．

由Δ=(?32k2)2?4(4k2+3)(64k2?12)>0，

20.【答案】(Ⅰ)x?2y?1=0；(Ⅱ【解析】解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx?x?1x+1，所以f′(x)=1x?2(x+1)2，

所以f(1)=0，f′(1)=12，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=12(x?1)，即x?2y?1=0；

(Ⅱ)證明：因?yàn)閒(x)=alnx?x?1x+1(a∈R)，

所以f′(x)=ax?2(x+1)2=ax2x(x(xx2，f+0?0+f增極大值減極小值增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,x1)、(x2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(x1,x2)，

因?yàn)閒(1)=0，所以1為f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

又f(x1)>f(1)=0,0<e?1a<1，且f(e?1a)=?2e?1ae?1a+1<021.【答案】(Ⅰ)數(shù)列Q1是連續(xù)可歸零數(shù)列，數(shù)列Q2不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由見(jiàn)解答；(Ⅱ)證明見(jiàn)解答；(Ⅲ)【解析】解：(Ⅰ)數(shù)列Q1是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：

取s1=1，s2=?1，s3=1，

則s1a1+s2a2+s3a3=1×1+(?1)×3+1×2=0，

所以數(shù)列Q1是連續(xù)可歸零數(shù)列，

數(shù)列Q2不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：

當(dāng)(i,j)=(1,3)時(shí)，s1a1+s2a2+s3a3=4s1+2s2+4s3=2(2s1+s2+2s3)，

因?yàn)閟1，s2，s3∈{?1,1}是奇數(shù)，故2s1+s2+2s3是奇數(shù)，所以2(2s1+s2+2s3)≠0．

當(dāng)(i,i)=(1,2)時(shí)，s1a1+s2a2=4s1+2s2=2(2s1+s2)，

因?yàn)閟1，s2∈{?1,1}是奇數(shù)，故2s1+s2是奇數(shù)，