數(shù)學(xué)（廣東卷01）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（廣東卷01）全解全析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A.2．已知為虛數(shù)單位，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】由題意：.故選：B.3．已知，是單位向量，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知可推得，進(jìn)而即可求出投影向量.【詳解】根據(jù)已知可得，所以，.所以，在上的投影向量為.故選：D.4．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用正切的倍角公式，求得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)?，所以，所?故選：A．5．三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測試，每人要從跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)，再求出有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件含有的基本事件數(shù)，即可列式作答.【詳解】三個(gè)同學(xué)選擇兩個(gè)項(xiàng)目的試驗(yàn)的基本事件數(shù)有個(gè)，它們等可能，有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的事件含有的基本事件數(shù)有個(gè)，所以有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率.故選：C6．為落實(shí)黨的二十大提出的“加快建設(shè)農(nóng)業(yè)強(qiáng)國，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村振興”的目標(biāo)，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務(wù)．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了實(shí)際還款比例關(guān)于還款人的年收入（單位：萬元）的模型：．已知當(dāng)貸款人的年收入為9萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%．若銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】D【分析】根據(jù)題意將代入模型中求出的值，再將代入可求得答案【詳解】由題意得當(dāng)時(shí)，，則，得，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，，得，所以，所以，解得，所以當(dāng)銀行希望實(shí)際還款比例為40%，則貸款人的年收入約為5萬元，故選：D7．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性比大小即可.【詳解】令，，∴，∴在上單調(diào)遞增，，∴；令，，，設(shè)，，則，即單調(diào)遞減，∴∴，即在單調(diào)遞減，故，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是觀察各式子的形式，構(gòu)造函數(shù)與，從而利用導(dǎo)數(shù)即可得解.8．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．設(shè)線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)．已知的面積為2，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用拋物線的圖象與性質(zhì)、直線方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：

如上圖，由題意，拋物線的準(zhǔn)線為，可得．∵直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，∴直線的斜率存在且不為，∴設(shè)直線方程為，將其代入，化簡并整理得：．由，得．設(shè)，，則，，∴．∵是的中點(diǎn)，∴．過點(diǎn)平行軸的直線為，與拋物線交點(diǎn)為知，所以．又∵，則，∴的面積．由已知條件知，∴，解得（滿足），解得：.∴直線的方程為，即，∴直線的斜率為．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則B．一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是－4【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布概率性質(zhì)計(jì)算判斷A，由百分位數(shù)定義計(jì)算判斷B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷C，把中心點(diǎn)代入回歸方程求解后判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由已知，因此，A正確；選項(xiàng)B，總共有10個(gè)數(shù)，由于，因此第60百分位數(shù)為，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，線性相關(guān)系數(shù)越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，C正確；選項(xiàng)D，由已知，解得，D正確．故選：ACD．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則（

）

A．B．在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象D．A，B，C是直線與曲線的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若，則【答案】ABD【分析】結(jié)合“五點(diǎn)法”求出解析式，判斷A，求出極值點(diǎn)判斷B，利用圖象變換求得判斷C，結(jié)合函數(shù)周期分類討論確定點(diǎn)橫坐標(biāo)（取特殊情形），計(jì)算后判斷D.【詳解】A.由的部分圖象可知，，可得，所以，由五點(diǎn)作圖法可得，解得，，又，所以，所以函數(shù)的解析式為，故A正確；B.令得，，所以在區(qū)間上有和兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到的圖象，故C錯(cuò)誤；D..若，不妨設(shè)A，B，C的位置如圖1所示，

圖1則，，同理時(shí)，如圖2，，，所以，故D正確.

圖2故選：ABD.11．已知正方體的棱長為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使得平面C．若，則P點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長為D．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面周長為【答案】AC【分析】根據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可判斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項(xiàng)BC，作出過三點(diǎn)的正方體的截面，計(jì)算周長即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對于A，由等體積法，三棱錐的高等于，底面積，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，，，，，若平面，則，，則，，解得，不符合，故B錯(cuò)誤；

對于C，，若，，即，所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長為，故C正確；對于D，連接PQ并延長交DC的延長線于，連接交于，連接QF，延長QP交DA的延長線于，連接交于，連接PE，則五邊形即為經(jīng)過三點(diǎn)的正方體的截面，如圖：

正方體的棱長為2，則，則為等腰直角三角形，則，根據(jù)得，，則，則，，同理可得，而，則五邊形的周長為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．已知非常數(shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)為奇函數(shù)可求出判斷A，再由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)求出可得周期，據(jù)此可判斷B，根據(jù)函數(shù)的周期可求的周期判斷CD.【詳解】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，則，又，所以，所以，即，所以，故的周期為8，所以，，在中，令，得，所以，故B正確；對兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，所以導(dǎo)函數(shù)的周期為8，所以，故C正確；由周期，得，，對兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得，所以，故D正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】80【分析】只需6個(gè)因式中3個(gè)因式取、3個(gè)因式取或2個(gè)因式取、1個(gè)因式取、3個(gè)因式取1，根據(jù)組合知識得到答案.【詳解】可以看成6個(gè)因式相乘，所以的展開式中含的項(xiàng)為3個(gè)因式取、3個(gè)因式取或2個(gè)因式取、1個(gè)因式取、3個(gè)因式取1，所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：8014．已知，，，則的最小值為．【答案】/4.5【分析】根據(jù)條件消去，再利用“1”的變形技巧，結(jié)合均值不等式求解即可.【詳解】由可得，解得，又，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故答案為：15．對于函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根,,，則.【答案】/【分析】作出函數(shù)的圖像，由圖像可得，，即可得出答案.【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

若關(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根,,，不妨設(shè)，則，此時(shí)，又，則，所以.故答案為：.16．在數(shù)列中，下列說法正確的是．①若，則一定是遞增數(shù)列;②若則一定是遞增數(shù)列；③若，則對任意，都存在，使得④若，且存在常數(shù)，使得對任意，都有則的最大值是．【答案】②③【分析】對于①，利用構(gòu)造法得到為等比數(shù)列，假設(shè)，得到，得到此時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列；對于②，得到，證明出，故得到②正確；對于③，推出，故為遞增數(shù)列，③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，，由推出時(shí)，，故④錯(cuò)誤.【詳解】對于①，，故，所以為等比數(shù)列，公比為2，若，則數(shù)列的首項(xiàng)為，故，，由于在R上單調(diào)遞減，此時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列，①錯(cuò)誤；對于②，，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故，綜上，恒成立，故一定是遞增數(shù)列，②正確；對于③，，因?yàn)?，所以，，……，以此類推，可得為遞增數(shù)列，且時(shí)，，故對任意，都存在，使得，③正確；對于④，，當(dāng)時(shí)，，又，故，此時(shí)為遞增數(shù)列，且，故不存在常數(shù)，使得對任意，都有④錯(cuò)誤.故答案為：②③四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，，求的長.【詳解】（1）由得， 2分由余弦定理，又，所以； 4分（2）因?yàn)?，所以?6分設(shè)，則，整理得，解得或（舍去）， 8分所以， 9分則. 10分18．（12分）從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線上，并解答下列問題．已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且________．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列．(2)若，證明：．注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【詳解】（1）選①設(shè)的公差為，由，得， 1分則，則，或（舍去） 3分， 5分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． 6分選②設(shè)的公差為，由，得， 1分則，則，或（舍去） 3分， 5分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列． 6分（2）． 7分因?yàn)椋?，解得或（舍去）?8分， 10分所以． 12分19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，且，，，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【詳解】（1）以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，， 1分四邊形為矩形，所以，平面平面，平面平面，平面，平面， 3分平面，，又平面，平面，，，平面，平面； 5分（2）平面，又平面，平面，，，又，，則、、兩兩互相垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 7分

，，，，在中，由勾股定理得， 8分則點(diǎn)，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則得，取，，平面的法向量為，，取， 10分設(shè)平面與平面的夾角為，則， 11分所以平面與平面夾角的余弦值為. 12分20．（12分）已知函數(shù)(1)求的極值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1分由可得，，解得，由可得，，解得， 3分所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減， 4分所以的極大值為，無極小值. 5分（2）若證，即證，即證， 6分設(shè)，，令恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 8分又，所以存在唯一，使得， 9分所以當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，所以， 11分所以. 12分21．（12分）佛山嶺南天地位于禪城區(qū)祖廟大街2號，主要景點(diǎn)有龍?zhí)猎娚?、文?huì)里嫁娶屋、黃祥華如意油祖鋪、李眾勝堂祖鋪、祖廟大街等，這里的每一處景色都極具嶺南特色，其中龍?zhí)猎娚绾妥鎻R大街很受年輕人的青睞.為進(jìn)一步合理配置旅游資源，現(xiàn)對已在龍?zhí)猎娚缬斡[的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若繼續(xù)游玩祖廟大街景點(diǎn)的記2分，若不繼續(xù)游玩祖廟大街景點(diǎn)的記1分，每位游客選擇是否游覽祖廟大街的概率均為，游客之間的選擇意愿相互獨(dú)立.(1)從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)（?。┤魪挠慰椭须S機(jī)抽取人，記總得分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（ⅱ）在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系式，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）的可能取值為3，4，5，6.，，，. 2分所以的分布列如下：3456則. 4分（2）（?。┛偡智榈母怕剩詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 5分前10項(xiàng)為. 7分（ⅱ）已調(diào)查的累計(jì)得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得到分，再得