課時(shí)23-與圓有關(guān)的概念與性質(zhì)

第六單元

圓核心知識(shí)講練知識(shí)梳理課堂檢測(cè)課時(shí)23與圓有關(guān)的概念與性質(zhì)知識(shí)梳理一、圓的基本概念及性質(zhì)1．圓的基本概念圓的定義平面上，一條線段OA繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A形成的圖形叫做圓．其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形也叫做圓，定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑弦、直徑連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦（如AC，BC），經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（如BC）弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧；圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；（大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。┠軌蛑睾系膬蓚€(gè)圓叫做等圓；在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧圓心角、圓周角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角（如∠AOB）．頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角（如∠C）二、與圓有關(guān)的定理和推論

文字表示圖示幾何表示弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦①________在同圓或等圓中，1．圓心角相等：∠AOB＝∠A′OB′；2．弧相等：

＝

；3．弦相等：AB＝A′B′.以上條件知其一可得

其二推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別②________相等相等

文字表示圖示幾何表示圓周角定理及其推論定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的③_______∵

＝

，∴∠C＝

∠AOB推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等∵＝

，∴∠A2＝∠A3∵＝

，∴∠A1＝∠A2＝∠A3一半

文字表示圖示幾何表示圓周角定理及其推論推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°推論3：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角④________∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°互補(bǔ)

文字表示圖示幾何表示垂徑定理及其推論定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)M，∴AM＝BM，

＝

，

＝∵CD是⊙O的直徑，AM＝BM，∴CD⊥AB，

＝

，

＝推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧應(yīng)用：在Rt△OAM中，OA2＝AM2＋OM21.如圖1，在⊙O中，AB＝DC，則

＝______；若∠AOB＝50°，則∠COD＝______.50°圖1

2.如圖2，點(diǎn)A，B，C，D均在⊙O上，若∠C＝25°，則∠AOB＝__________，∠D＝__________.圖250°25°3.如圖3，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝8，OE＝3，則⊙O的半徑為_(kāi)_______．圖35

4.如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠A＝75°，∠B＝60°，則∠DCE＝__________，∠D＝__________圖475°120°核心知識(shí)講練圓周角定理及其推論1．（原創(chuàng)）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠A＝30°.（1）如圖5，連接OB，OC，∠BOC＝_____，∠ABC＝______，∠ABO＝_______；圖560°75°15°（2）如圖6，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，若BC＝1，則∠BDC＝_____，∠CBD＝_____，BD＝_____；圖630°60°2（3）如圖7，D是

上一點(diǎn)，連接AD，CD，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ADC＝_________.圖7105°2．（2023深圳）如圖8，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠BAC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝__________°.圖8353．（2021深圳）如圖9，AB為⊙O的弦，D，C為

的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)DC到E，連接BE，AC∥BE.圖9（1）求證：∠A＝∠E；證明：∵AC∥BE，∴∠E＝∠ACD.∴∠ACD＝∠A，∴∠A＝∠E.∴＝

＝

，∵D，C為

的三等分點(diǎn)，（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的長(zhǎng)．圖9解：由（1）知

＝

＝

，∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E．∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BED.垂徑定理及其推論4．（2023永州）如圖10，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為_(kāi)_________cm.圖10165．（改編）如圖11，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為E．（1）求∠B的度數(shù)；圖11解：∵AE⊥BC，AE過(guò)圓心O，∴CE＝BE.∴AC＝AB.同理可得AC＝BC.∴△ABC是等邊三角形．∴∠B＝60°.（2）若AF＝

，求OF的長(zhǎng)；圖11解：∵AE⊥BC，∠B＝60°，∴∠EAB＝30°.∴OF＝AF·tan30°＝1.在Rt△OAF中，∠OAF＝30°，AF＝

，圖11（3）連接OB，AD，BD，試判斷四邊形OADB的形狀．解：四邊形OADB是菱形．理由如下：如答圖1.在Rt△OAF中，∠AOF＝90°－∠OAF＝60°.答圖1∴Rt△OAF≌Rt△OBF（HL）.∴∠BOF＝∠AOF＝60°.∵OA＝OD，∠AOF＝60°，∴△AOD是等邊三角形．∴OA＝AD.同理得OB＝BD.∴OA＝OB＝AD＝BD.∴四邊形OADB是菱形．課堂檢測(cè)1．（2023廣東）如圖12，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20°

B．40°

C．50°

D．80°

圖12B2．如圖13，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，連接AC，若∠CAB＝40°，則∠ADC的大小為（）A．130°B．65°

C．100°D．50°圖13A3．（2023宜賓）如圖14，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為

的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140°

B．120°

C．110°

D．70°圖14A4．如圖15，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），⊙P的半徑為

，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（3，2）

B．（2，3）

C．（3，1）

D．（2，2）A圖155．如圖16，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OD交AC于點(diǎn)E，AD＝CD.（1）求證：OD∥BC；圖16證明：∵AD＝CD，∴＝

.∴OD⊥AC.∴∠AEO＝90°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠AEO＝∠ACB.∴OE∥BC，即OD∥BC.（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的長(zhǎng)．圖16設(shè)OA＝OD＝r，則OE＝OD－DE＝r－4.在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，解：∵OD⊥AC，AD＝CD，∴