2025版高考數(shù)學一輪復習第八章平面解析幾何8.5第1課時橢圓及其性質(zhì)教學案蘇教版

PAGE1-第五節(jié)橢圓[最新考綱]1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.駕馭橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡潔性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解橢圓的簡潔應用．1．橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓；②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線段F1F2；③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在．2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2eq\O([常用結(jié)論])1．點P(x0，y0)和橢圓的位置關(guān)系(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1.(2)點P(x0，y0)在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.(3)點P(x0，y0)在橢圓外?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1.2．焦點三角形如圖，橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．設(shè)r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：(1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.3．橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊長，a2＝b2＋c2.4．已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.5．橢圓中點弦的斜率公式若M(x0，y0)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).6．弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k為直線的斜率)．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓． ()(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距)． ()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． ()(4)關(guān)于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改編1．若F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，點P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點的軌跡方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1A[設(shè)點P的坐標為(x，y)，因為|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r(a2－c2)＝4，故點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.故選A.]2．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2)－1,2)C．2－eq\r(2) D.eq\r(2)－1D[法一：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依題意，明顯有|PF2|＝|F1F2|，則eq\f(b2,a)＝2c，即eq\f(a2－c2,a)＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0<e<1，解得e＝eq\r(2)－1.故選D.法二：因為△F1PF2為等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2eq\r(2)c.因為|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2eq\r(2)c＋2c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.故選D.]3．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示橢圓，則k的取值范圍是．(3,4)∪(4,5)[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3.))解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的標準方程為．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．因為橢圓的一個焦點為F(1,0)，離心率e＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c＝2，,b2＝3，))故橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.]第1課時橢圓及其性質(zhì)考點1橢圓的定義及應用橢圓定義的應用主要有兩個方面一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等．(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)肯定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓(2)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為()A．7B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7\r(5),2)(1)A(2)C[(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直平分線，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．又|MO|＞|FO|，∴點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓，故選A.(2)由題意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.∴|AF1|＝eq\f(7,2)，∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).]本例(1)應用線段中垂線的性質(zhì)實現(xiàn)了“|PF|＋|PO|”向定值的轉(zhuǎn)化；本例(2)把余弦定理與橢圓的定義交匯在一起，借助方程的思想解出|AF1|，從而求得△AF1F2的面積．[老師備選例題]設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上隨意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為．－5[由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F(xiàn)2三點共線時取得等號，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.]已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝.3[設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a，,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)＝4c2，))所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2))＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]考點2橢圓的標準方程定義法先依據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿意橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程．特殊地，利用定義法求橢圓方程要留意條件2a＞|F1F2|.1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)A[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．設(shè)其方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3.由A，B，C不共線知y≠0.故頂點C的軌跡方程是eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．]2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1D[設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.]利用定義法求軌跡方程時，留意檢驗所求軌跡是否是完整的曲線，倘如不是完整的曲線，應對曲線中的變量x或y進行限制．待定系數(shù)法利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后依據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．假如焦點位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．1.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓方程為．eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1[設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))eq\s\up12(2)m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴橢圓方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.]2．過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為．eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1[法一：橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二：∵所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，∴其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求橢圓上，∴eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，則eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.]3．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為．x2＋eq\f(3,2)y2＝1[不妨設(shè)點A在第一象限，如圖所示．∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由eq\o(AF1,\s\up6(→))＝3eq\o(F1B,\s\up6(→))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5c,3)，－\f(b2,3)))，代入x2＋eq\f(y2,b2)＝1得eq\f(25c2,9)＋eq\f(b4,9b2)＝1.又c2＝1－b2，∴b2＝eq\f(2,3).故橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.](1)已知橢圓上兩點，常設(shè)方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)橢圓的通徑(過焦點且與長軸垂直的弦)長為eq\f(2b2,a).考點3橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的長軸、短軸、焦距求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題，如：頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時要結(jié)合圖形進行分析．(1)已知橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于()A．8 B．7C．6 D．5(2)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若長軸長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程為．(1)A(2)eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1[(1)因為橢圓eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,10－m)＝1的長軸在x軸上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,10－m>0，,m－2>10－m，))解得6<m<10.因為焦距為4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.(2)橢圓長軸長為6，即2a＝6，得a＝3，∵兩焦點恰好將長軸三等分，∴2c＝eq\f(1,3)×2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，所以此橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.]求離心率的值(或范圍)求橢圓的離心率，常見的有三種方法一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．(1)(2024·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)橢圓C的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，若C上的點P滿意|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是．(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))[(1)由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點P坐標為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點P(2c，eq\r(3)c)．∵點P在過點A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故選D.(2)因為橢圓C上的點P滿意|PF1|＝eq\f(3,2)|F1F2|，所以|PF1|＝eq\f(3,2)×2c＝3c.由a－c≤|PF1|≤a＋c，解得eq\f(1,4)≤eq\f(c,a)≤eq\f(1,2).所以橢圓C的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).]本例(2)在求解時運用了隱含條件“a－c≤|PF1|≤a＋c”．特殊地，在求與橢圓的相關(guān)量的范圍時，要留意常常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系．1.(2024·昌平二模)嫦娥四號月球探測器于2024年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星放射中心放射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順當進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠月點與月球表面距離為400公里．已知月球的直徑為3476公里，則該橢圓形軌道的離心率約為()A.eq\f(1,25)B.eq\f(3,40)C.eq\f(1,8)D.eq\f(3,5)B[如圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為：eq\f(1,2)×3476＝1738，依題意，|AF|＝100＋1738＝1838，|BF|＝400＋1738＝2138.∴2a＝1838＋2138，即a＝1988，∴a＋c＝2138,c＝2138－1988＝150，故橢圓的離心率為：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(150,1988)≈eq\f(3,40)，選B.]2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B[∵F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，∴0<e<1，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2＝a2－b2.設(shè)點P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化簡得x2＋y2＝c2.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))整理得，x2＝(2c2－a2)·eq\f(a2,c2)≥0，解得e≥eq\f(\r(2),2).又0<e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.]與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問題與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．(1)(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,m)＝1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿意∠AMB＝120°，則m的取值范圍是()A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq\r(3)]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq\r(3)]∪[4，＋∞)(2)(2024·煙臺模擬)若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，若P為橢圓上的隨意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為()A．2 B．3C．6 D．8(1)A(2)C[(1)由題意知，當M在短軸頂點時，∠AMB最大．①如圖1，當焦點在x軸，即m＜3時，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(m)，tanα＝eq\f(\r(3),\r(m))≥tan60°＝eq\r(3)，∴0＜m≤1.圖1圖2②如圖2，當焦點在y軸，即m＞3時，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(3)，tanα＝eq\f(\r(m),\r(3))≥tan60°＝eq\r(3)，∴m≥9.綜上，m的取值范圍(0,1]∪[9，＋∞)，故選A.(2)由題意知，O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴y2＝3－eq\f(3,4)x2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2.∵－2≤x≤2，∴當x＝2時，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))有最大值6.]本例(1)的求解恰恰應用了焦點三角形中張角最大的情形，借助該臨界點可以快速求出此種情形下的橢圓離心率，然后數(shù)形結(jié)合求解；本例(2)的求解采納了先建模，再借助橢圓中變量x(y)的有界性解模的思路．[老師備選例題]1．(2024·深圳模擬)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)D[法一：(干脆法)如圖，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝2c·tan30°＝eq\f(2\r(3)c,3).∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\f(4\r(3)c,3)＋eq\f(2\r(3)c,3)＝2a，可得eq\r(3)c＝a.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝eq\r(3).∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).故選D.]2.如圖，焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)