初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題27面積法

專題27面積法

閱讀與思考

平面幾何學的產(chǎn)生源于人們測量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角．

所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識來解決一些直接或間接與面積問題有關(guān)的數(shù)學問題的一種方

法．有許多數(shù)學問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借

助于有關(guān)面積的知識求解，常常簡捷明快．

用面積法解題的基本思路是：對某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計算，就可得到

一個含邊或角的關(guān)系式，化簡這個面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果．

下列情況可以考慮用面積法：

（1）涉及三角形的高、垂線等問題；

（2）涉及角平分線的問題．

例題與求解

【例1】如圖，從等邊三角形內(nèi)一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這

個等邊三角形的邊長為______________．

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手．

等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？

【例2】如圖，△AOB中，∠O＝900，OA＝OB，正方形CDEF的頂點C在DA上，點D在OB

2

上，點F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()

5

A．3：1B．2：1

C．3：2D．5：3

解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時通過設(shè)元，即可把幾何問題代數(shù)化來解

決．

【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點，F(xiàn)為AB上一點，且BE＝DF，BE與DF交于G，

求證：∠BGC＝∠DGC.

（長春市競賽試題）

解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．

【例4】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點D、E、F.

PDPEPF

求證：（1）1；

ADBECF

PAPBPC

（2）2.（南京市競賽試題）

ADBECF

解題思路：過P點作平行線，產(chǎn)生比例線段.

【例5】如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點D，

ADBDCDADBDCD

且1994，求的值.

DEDFDPDEDFDP

解題思路：利用上例的結(jié)論，通過代數(shù)恒等變形求值.

（黃岡市競賽試題）

【例6】如圖，設(shè)點E，F(xiàn)，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且

AEBFCGDH

k（k是正數(shù)），求四邊形EFGH的面積．

EBFCGDHA

（河北省競賽試題）

解題思路：連對角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比．

線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問題的常用技巧．轉(zhuǎn)化的基本知識有：

(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；

(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；

(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．

能力訓練

1．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD的中點，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.

（福建省中考試題）

2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝a，AB＝b，則

CE＝__________.

（南寧市中考試題）

第1題圖第2題圖第3題圖

3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該

八邊形的面積為____________.

（江蘇省競賽試題）

在△中，三邊長為，，，表示邊上的高的長，，的意義類似，

4.ABCa3b4c6haahbhc

111

則＋＋的值為（上海市競賽試題）

(hahbhc)____________.

hahbhc

5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖

中三個陰影部分的面積之和的最大值是__________.

（全國競賽試題）

6．如圖，過等邊△ABC內(nèi)一點P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．

A.1923B.1903C.1943D.1963

（湖北省黃岡市競賽試題）

第5題圖第6題圖第7題圖

7．如圖，點D是△ABC的邊BC上一點，若∠CAD＝∠DAB＝600，AC＝3，AB＝6，則AD的長

是()．

11

A．2B.2C.3D.3

22

8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所

成的個區(qū)域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關(guān)系式是．

7S1S2S3S4S5S6S7()

A.S2+S6=S4B.S1+S7=S4

．

C.S2+S3=S4DS1+S6=S4

．已知等邊△和點，設(shè)點到△三邊，，的距離分別為，，，△

9ABCPPABCABACBCh1h2h3ABC

的高為．若點在一邊上（如圖），此時，可得結(jié)論：＋＋＝

hPBC1h30h1h2h3h.

請直接用上述信息解決下列問題：

當點P在△ABC內(nèi)（如圖2）、點P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時，上述結(jié)論是否還成立？

若成立．請給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．

h1h2h3h

（黑龍江省中考試題）

10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且AD、BE、CF相交于P

點，AP＝BP＝CP＝6，設(shè)PD＝x，PE＝y(tǒng)，PF＝z，若xyyzzx28，求xyz的值．

（“希望杯”邀請賽試題）

11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求證：AE∥BD.

（加拿大數(shù)學奧林匹克試題）

12.如圖，在銳角△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上的三等分點.P，Q，R分別是△ADF，

△BDE，△CEF的三條中線的交點.

(1)求△DEF與△ABC的面積比；

(2)求△PDF與△ADF的面積比；

(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比.

BECFDGAH

13．如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使m，

ABBCCDDA

若，求的值．

S四邊形EFGH2S四邊形ABCDm（上海市競賽試題）

BDCEAF

14.如圖，一直線截△ABC的邊AB，AC及BC的延長線分別交于F，E，D三點，求證：1．

DCEAFB

（梅涅勞斯定理）

DCEAFB1S

15．如圖，在△ABC中，已知，求GHI的值.

DBECFA2SABC

（“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽試題）

專題27面積法

3

例163提示：1+3+5=BC

2

例2B提示：作FG⊥OA于點G，則△CFG≌△DCO。于是CG=DO，OC=GF=AG，設(shè)OC=m，OD=n，

OA=OB=a，CD=x。則a2mn,x2m2n2（勾股定理），由題設(shè)知

2111

x2a2a2即m2n2(2mn)2，化簡得m24mn4n20，即(m2n)20，∴

5255

m2n0，即m：n=2：1，故選B

1

例3提示：連接EC，F(xiàn)C，則SSS，過C點分別作BE，DF的垂線，Q，P分別為

BECDFC2ABCD

垂足，推得CQ=CP。

例4（1）分別過P，A作BC的垂線，垂足為P1，A1。

1

BCPP

S1PPPD

則PEC21，

S1AAAD

ABCBCAA1

21

DESPFSPDPEPFSSS

同理，PCA，PAB，故PBCPCAPAB1。

BESABCCFSABCADBECFSABC

PDADPAPAPBPEPCPF

（2）∵1，1，1，

ADADADBEBECFCF

PAPBPCPDPEPF

∴3()2

ADBECFADBECF

ADBDCD111

例5設(shè)x,y,z，則由上例得1，將上式去分母，化簡整理得

DEDFDP1x1y1z

ADBDCD

xyzxyz21996，即1996。

DEDFDP

CGDHDHkHADG1

例6連接AC，AG，由k，得，，

GDHADAk1DADCk1

SDHSHA1

∵DHGk,AHG

SAHGHASADGDAk1

1

∴SkS,SS,

DHGAHGAHGk1AGD

SDG1k

又AGD∴

,SDHG2SDAC,

SDACDCk1(1k)

k

同理，SS

BEF(k1)2BAC

kkk

故

SDHGSBEF2(SDACSBAC)2S四邊形ABCD=2

k1k1k1

k

連接，同理，

BDSAEHSCFG2

k1

2kk21

故

S四邊形EFGHS四邊形ABCD(SAEHSBEFSCFGSDHG)=122

k1k1

能力訓練

83ab

1.5cm2.

59a24b2

3.428663提示：△PRQ，△PRT為直角三角形，

SETFSGHRSABQSCDP2SPQRT

39

4.

4

5.9提示：延長AC到點F，使CF=CD，連接BF。易證△DCE≌△FCB，所以它們的面積相等，又

，所以，即，同理可知，其他兩個三角形的面積也與△的面積

CF=CASBCFSABCSDCESABCABC

1

相等，而只有當∠BAC=90°時，S的最大值為233，∴三個陰影部分的面積和最大為9.

ABC2

6.A7.A

提示：設(shè)，，到的距離分別為，易知，則

8.BAMBDCha,hm,hbhahb2hm

111

SShhCDhDCS，故選B.

ADNBNC2ab22mDMC

當點在△內(nèi)時，結(jié)論仍成立；當點在△外時，結(jié)論不成

9.PABCh1h2h3hPABCh1h2h3h

立，它們的關(guān)系是

h1h2h3h

666

10.提示：由例4的結(jié)論，得2，將此式去分母，并化簡整理得：

6x6y6z

xyz1083(xyyzxz)10832824.

11.證明△ABE≌△DEA即可.

SAD2SAF12

（）連接，則ADF，ABF，兩式相乘得，同理可得：

12.1BFSADFSABC

SABFAB3SABCAC39

22S1

，，而，得，即DEF

SBDESABCSCEFSABCSDEFSABCSADFSBDESCEF.

99SABC3

SPD2

（2）延長DO交AC于點M，點P是△ADF三條中線的交點，PDF,

SMDFMD3

SMF1S1

MDF，兩式相乘得PDF

SADFAF2SADF3

112

（3）同理SS，SS,故SSSS，

QDE3BDEREF3EFCPDFREFQDE27ABC

5S多邊形PDQERF5

，故

S多邊形PDQERFSPDFSQDFSREFSDEFSABC.

9SABC9

連，，及對角線則，

13.GAHBEC,FDAC,BD,SHAEm1SHABm1mSABD

同理，得，

SFCGmm1SBCDSHAESFCGm(m1)SABCD