初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題02 乘法公式

專題02乘法公式

閱讀與思考

乘法公式是多項式相乘得出的既有特殊性、又有實用性的具體結論，在整式的乘除、數(shù)值計算、代數(shù)

式的化簡求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應用，學習乘法公式應注意：

1．熟悉每個公式的結構特征；

2．正用即根據(jù)待求式的結構特征，模仿公式進行直接的簡單的套用；

3．逆用即將公式反過來逆向使用；

4．變用即能將公式變換形式使用；

5．活用即根據(jù)待求式的結構特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運用公式．

例題與求解

【例1】1，2，3，…，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩個整數(shù)的平方差的個數(shù)是．

（全國初中數(shù)字聯(lián)賽試題）

解題思路：因a2b2(ab)(ab)，而abab的奇偶性相同，故能表示成兩個整數(shù)的平方差

的數(shù)，要么為奇數(shù)，要么能被4整除．

【例2】（1）已知a,b滿足等式xa2b220,y4(2ba)，則x,y的大小關系是()

A．x≤yB．x≥yC．xyD．xy

（山西省太原市競賽試題）

（2）已知a,b,c滿足a22b7,b22c1,c26a17，則abc的值等于（）

A．2B．3C．4D．5

（河北省競賽試題）

解題思路：對于（1），作差比較x,y的大小，解題的關鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負性；

對于（2），由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點是整體考慮．

【例3】計算下列各題：

（1）6(71)(721)(741)(781)1；（天津市競賽試題）

（2）1.234520.765522.4690.7655；（“希望杯”邀請賽試題）

（3）(123252992)(2242621002)．

解題思路：若按部就班運算，顯然較繁，能否用乘法公式簡化計算過程，關鍵是對待求式恰當變形，

使之符合乘法公式的結構特征．

【例4】設ab1,a2b22，求a7b7的值．（西安市競賽試題）

解題思路：由常用公式不能直接求出a7b7的結構，必須把a7b7表示相關多項式的運算形式，而

這些多項式的值由常用公式易求出其結果．

1234152;

2

【例5】觀察：2345111;

34561192;

（1）請寫出一個具有普遍性的結論，并給出證明；

（2）根據(jù)（1），計算20002001200220031的結果（用一個最簡式子表示）．

（黃岡市競賽試題）

解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律．

【例6】設a,b,c滿足abc1,a2b2c22,a3b3c33,求：

（1）abc的值；

（2）a4b4c4的值．

（江蘇省競賽試題）

解題思路：本題可運用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運用．

能力訓練

A級

1．已知x22(m3)x9是一個多項式的平方，則m．（廣東省中考試題）

2．數(shù)3481能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是．

3．已知x2y2z22x4y6z140,那么xyz．

（天津市競賽試題）

4．若xy10,x3y3100,則x2y2．

5．已知a,b,x,y滿足axby3,axby5,則(a2b2)(x2y2)的值為．

（河北省競賽試題）

6．若n滿足(n2004)2(2005n)21,則(2005n)(n2004)等于．

1111

7．(1)(1)(1)(1)等于（）

22321999220002

1999200119992001

A．B．C．D．

2000200040004000

8．若M10a22b27a6,Na22b25a1，則MN的值是（）

A．正數(shù)B．負數(shù)C．非負數(shù)D．可正可負

9．若xy2,x2y24,則x1992y1992的值是（）

A．4B．19922C．21992D．41992

（“希望杯”邀請賽試題）

10．某校舉行春季運動會時，由若干名同學組成一個8列的長方形隊列．如果原隊列中增加120人，就能

組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少120人，也能組成一個正方形隊列．問原長方形隊列有多少

名同學？（“CASIO”杯全國初中數(shù)學競賽試題）

11．設a1093832，證明：a是37的倍數(shù)．（“希望杯”邀請賽試題）

12．觀察下面各式的規(guī)律：

(121)212(12)222;

(231)222(23)232;

(341)232(34)242;

寫出第2003行和第n行的式子，并證明你的結論．

B級

1．(ab)n展開式中的系數(shù)，當n1，2，3…時可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”

求出1.019的值為．（《學習報》公開賽試題）

1

1213

13319

13

14641

15101051

…第2題圖

2．如圖，立方體的每一個面上都有一個自然數(shù)，已知相對的兩個面上的兩數(shù)之和都相等，如果13，9，3

的對面的數(shù)分別為a,b,c，則a2b2c2abbcac的值為．

（天津市競賽試題）

3．已知x,y,z滿足等式xy5,z2xyy9,則2x3y4z．

4．一個正整數(shù)，若分別加上100與168，則可得兩到完全平方數(shù)，這個正整數(shù)為．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

5．已知a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002，則多項式a2b2c2abbcac的

值為（）

A．0B．1C．2D．3

6．把2009表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（）

A．16種B．14種C．12種D．10種

（北京市競賽試題）

7．若正整數(shù)x,y滿足x2y264，則這樣的正整數(shù)對(x,y)的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

（山東省競賽試題）

8．已知ab3，則a3b39ab的值是（）

A．3B．9C．27D．81

（“希望杯”邀請賽試題）

9．滿足等式m21954n2的整數(shù)對(m,n)是否存在？若存在，求出(m,n)的值；若不存在，說明理由．

10．數(shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的平方差是完全平方

數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．

（天津市競賽試題）

11．若xyab，且x2y2a2b2，求證：x2003y2003a2003b2003．

12．如果一個正整數(shù)能