初中數(shù)學自主招生難度講義-8年級專題07分式的化簡與求值

專題07分式的化簡與求值

閱讀與思考

給出一定的條件，在此條件下求分式的值稱為有條件的分式求值．而分式的化簡與求值是緊密相連

的，求值之前必須先化簡，化簡的目的是為了求值，先化簡后求值是解有條件的分式的化簡與求值的基

本策略．

解有條件的分式化簡與求值問題時，既要瞄準目標．又要抓住條件，既要根據(jù)目標變換條件．又要

依據(jù)條件來調(diào)整目標，除了要用到整式化簡求值的知識方法外，還常常用到如下技巧:

1．恰當引入?yún)?shù)；

2．取倒數(shù)或利用倒數(shù)關系；

3．拆項變形或拆分變形；

4．整體代入；

5．利用比例性質(zhì)等．

例題與求解

a3

【例l】已知a23a10，則代數(shù)式的值為．

a61

（“希望杯”邀請賽試題）

11

解題思路：目前不能求出a的值，但可以求出a3，需要對所求代數(shù)式變形含“a”．

aa

【例】已知一列數(shù)且，，

2a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a18a75832

aaaaaa

123456，則為（）

a5

a2a3a4a5a6a7

A．648B．832C．1168D．1944

（五城市聯(lián)賽試題）

解題思路：引入?yún)?shù)，把用的代數(shù)式表示，這是解決等比問題的基本思路．

ka1a7k

【例3】xyz3a(a0)．

(xa)(ya)(ya)(za)(za)(xa)

求．

(xa)2(ya)2(za)2

（宣州競賽試題）

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，所求代數(shù)式是關于xa、ya、za的代數(shù)式，而條件可以拆成

xa、ya、za的等式，因此很自然的想到用換元法來簡化解題過程．

xyyzzx

【例4】已知1,2,3,求x的值．

xyyzzx

（上海市競賽試題）

解題思路：注意到聯(lián)立等式得到的方程組是一個復雜的三元一次方程組，考慮取倒數(shù)，將方程組化

為簡單的形式．

1111

【例5】不等于0的三個正整數(shù)a,b,c滿足，求證：a,b,c中至少有兩個互為相

abcabc

反數(shù)．

解題思路：a,b,c中至少有兩個互為相反數(shù)，即要證明(ab)(bc)(ca)0．

（北京市競賽試題）

【例6】已知a,b,c為正整數(shù)，滿足如下兩個條件：①abc32;

bcacababc1

②．求證：以a,b,c為三邊長可以構成一個直角三角形．

bcacab4

解題思路：本題熟記勾股定理的公式即可解答．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

能力訓練

abcdabcd

1．若，則的值是．

bcdaabcd

（“希望杯”邀請賽試題）

xx2

2．已知1，則．

x23x1x49x21

（廣東競賽試題）

cab111

3．若ax21998,bx21999,cx22000且abc24，則

abbcacabc

的值為．

（“縉云杯”競賽試題）

2x3xy2y311

4．已知，則．

x2xyy5xy

111

5．如果a1,b1，那么c（）．

bca

11

A．1B．2C．D．

24

（“新世紀杯”競賽試題）

111

6．設有理數(shù)a,b,c都不為0，且abc0，則的

b2c2a2c2a2b2a2b2c2

值為（）．

A．正數(shù)B．負數(shù)C．零D．不能確定

2x23y26z2

7．已知4x3y6z0,x2y7z0(xyz0)，則的值為（）．

x25y27z2

A．0B．1C．2D．不能確定

xx3

8．已知1，則的值為（）

x2mx1x6m3x31

111

A．1B．C．D．

m333m223m21

a2b2c2

9．設abc0，求的值．

2a2bc2b2ac2c2ab

111

10．已知xyz其中x,y,z互不相等，求證x2y2z21．

yzx

（天津市競賽試題）

1111

11．設a,b,c滿足，

abcabc

1111

求證．（n為自然數(shù)）

a2n1b2n1c2n1a2n1b2n1c2n1

（波蘭競賽試題）

12．三角形三邊長分別為a,b,c．

aabc

（1）若，求證：這個三角形是等腰三角形；

bcbca

1111

（2）若，判斷這個三角形的形狀并證明．

abcabc

111111

13．已知axbycz1，求的值．

1a41b41c41x41y41z4

（“華杯賽”試題）

14．解下列方程（組）：

x1x8x2x7

（1）；

x2x9x3x8

（江蘇省競賽試題）

5x96x84x192x21

（2）；

x19x9x6x8

（“五羊杯”競賽試題）

111

xyz2

111

（3）．

yzx3

111

zxy4

（北京市競賽試題）

B級

abc

1．設a,b,c滿足abc0，abc0，若x，

abc

111111

ya()b()c()，則x2y3xy．

bccaab

abbcca(ab)(bc)(ca)

2．若abc0，且，則．

cababc

3．設a,b,c均為非零數(shù)，且ab2(ab),bc3(bc),ac4(ac)，則abc．

xyzx2y2z2

4．已知x,y,z滿足1，則的值為．

yzxzyxyzxzyx

accb

5．設a,b,c是三個互不相同的正數(shù)，已知，那么有（）．

baba

A．3b2cB．3a2bC．2bcD．2ab

111111

6．如果abc0，4，那么的值為（）．

abca2b2c2

A．3B．8C．16D．20

(x2)4(x1)21

7．已知x25x19910，則代數(shù)式的值為（）．

(x1)(x2)

A．1996B．1997C．1998D．19999

xy6x15y4x25xy6y2

8．若，則的值為（）．

3y2x5yxx22xy3y2

99

A．B．C．5D．6

24

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

9．已知非零實數(shù)a,b,c滿足abc0．

（1）求證：a3b3c33abc；

abbccacab

（2）求()()的值．

cababbcca

（北京市競賽試題）

a4ma21

10．已知a24a10，且3．求m的值．

2a3ma22a

（北京市競賽試題）

11．完成同一件工作，甲單獨做所需時間為乙、丙兩人合做所需時間的p倍，乙單獨做所需時間為甲、

丙兩人合做所需時間的q倍；丙單獨做所需時間為甲、乙兩人合做所需時間的x倍，

pq2

求證：x．(pq10)

pq1

（天津市競賽試題）

b2c2a2a2c2b2b2a2c2

12．設A,B,C，當ABC3時，

2bc2ac2ab

求證：A2002B2002C20023．

（天津市競賽試題）

13．某商場在一樓和二樓之間安裝了一自動扶梯，以均勻的速度向上行駛，一男孩和一女孩同時從自動

扶梯上走到二樓（扶梯行駛，兩人也走梯）．如果兩人上梯的速度都是勻速的，每次只跨1級，且男孩

每分鐘走動的級數(shù)是女孩的2倍．已知男孩走了27級到達扶梯頂部，而女孩走了18級到達頂部．

（1）扶梯露在外面的部分有多少級？

（2）現(xiàn)扶梯近旁有一從二樓下到一樓的樓梯道，臺階的級數(shù)與自動扶梯的級數(shù)相等，兩人各自到扶梯

頂部后按原速度再下樓梯，到樓梯底部再乘自動扶梯上樓（不考慮扶梯與樓梯間的距離）．求男孩第一

次追上女孩時走了多少級臺階？

（江蘇省競賽試題）

專題07分式的化簡求值

1a31

例1提示：

6

18a131

a

a3

aaaaaaa81

例2A提示：k6123456=1=，得k=，又

a2a3a4a5a6a7a758323

aaaaa

11234k2

a5a2a3a4a5

例3油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.設x-a=m，y-a=n，z-a=p，則m+n+p=0，即p=-（m+n）.

mnnppmmnpmnmnmn21

原式====-

m2n2p2m2n2p2m2n2mn22

xy11

1,1,①

xyxy

12yz1111

例4x=提示：由已知條件知xy≠0，yz≠0，取倒數(shù)，得：,即,②

5zx2yz2

zx1111

,,③

zx3zx3

11111

①+②+③，得

xyz12

例5提示：由已知條件，得abb2acbccabb2acbca=babcabac

=abbcca0

例6由勾股定理，結(jié)論可表示為等式：a=b+c，①或b=a+c，②或c=b+a，③，聯(lián)立①③，只需證a=16

或

或b＝16或c＝16，即（a－16）（b－16）（c－16）＝0.④

展開只需證明

0＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋162（a＋b＋c）－163＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋163⑤

將①平方、移項，有a2＋b2＋c2＝322－2（ab＋bc＋ca），⑥

又將②移項、通分，有

1b+c+ac+a－babc

0＝－（＋＋）

4bcacab

1ab+aca2bc+abb2acbcc2

＝－（＋＋）

4abcabcabc

abc8(abbcac)4(a2b2c2)

＝

4abc

abc8(abbcac)4[3222(abbcca)]

＝

4abc

把⑥代入等式中，

abc16(abbcac)163

0＝

4abc

abc16(abbcac)162(abc)163

＝

4abc

(a16)(b16)(c16)

＝

4abc

當a－16＝0時，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，以a，b，c為三邊長組成一

個以a為斜邊的直角三角形.

同理，當b＝16或c＝16時，分別有b＝a＋c或c＝b＋a，均能以a，b，c為三邊長組成一

個直角三角形.

A級

1.0或－2

1x23x11

2.∵＝1，∴x＋＝4.

5xx

x49x21x21

又∵＝5，∴＝

x2x49x215

1

3.4.35.A

8

6.C提示：b2＋c2－a2＝－2bc

7.B

11

8.C提示：取倒數(shù)，得x＋＝1＋m，原式的倒數(shù)＝x3＋－m3

xx3

9.1提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）

1111yz

10.提示：由x＋＝y(tǒng)＋，得x－y＝－，得zy＝

yzzyxy

11.提示：參見例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝0

a(bc)bc

12.（1）∵＝，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝

bc(bc)a

0.

∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴這個三角形為等腰三角形.

1111acac

（2）∵＋＝＋，∴＝

acab+cbac(abc)b

∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0,a＝b或b＝c，

∴這個三角形為等腰三角形.

1111111

13.3x＝，y＝，c＝，∴＋＝＋＝1，∴原式＝3.

4441

abz1a1x1a1

a4

11

14.（1）x＝－

2

123

（2）x＝

14

232323

（3）（x，y，z）＝（，，）提示：原方程組各方程左端通分、方程兩邊同時取倒數(shù).

1062

B級

1.2

abbcca1128

2.－1或8提示：設＝＝＝k，則k＝－1或23.

cab35

xyz1xyxz

4.0提示：由＝1－－，得：＝x－－5.A6.C

yzzxxy4zxxy

(x2)4x(x2)(x2)3x

7.D提示：原式＝＝

(x1)(x2)x1

x36x212x8x

＝

x1

x2(x1)5x(x1)8(x1)

＝

x1

＝x2－5x＋8

8.A提示：由已知條件得x＝3y

9.（1）由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c∴a3＋b3＋c3＝－3ab（a＋b）＝3abc

abbccac2c2

（2）∵（＋＋）·＝1＋，∴同理：

cababab

abbccaa2a2

（＋＋）·＝1＋，

cabbcbc

abbccab2b2

（＋＋）·＝1＋，

cabcaac

2c22a22c22(a3b3c3)

∴左邊＝3＋＋＋＝3＋＝9

abbcababc

10.∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a，①

a4ma21(a1)2(m2)a2

a≠0.＝＝3.把①代入上式中，

2a3ma22a2a(a21)ma2

16a2(m2)a2169m2)

＝3，消元得＝3，解得m＝19.

8a2ma28m

11.設甲、乙、丙三人單獨完成此項工作分別用a天、b天、c天，則

bc111

ap,p,

bcabc

ac111

bq,即q,

acbac

ab111