初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級專題01 二次根式的化簡與求值

專題01二次根式的化簡與求值

閱讀與思考

二次根式的化簡與求值問題常涉及最簡根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、

換元等技巧.

有條件的二次根式的化簡與求值問題是代數(shù)變形的重點，也是難點，這類問題包含了整式、分式、

二次根式等眾多知識，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：

1、直接代入

直接將已知條件代入待化簡求值的式子.

2、變形代入

適當?shù)刈儣l件、適當?shù)刈兘Y(jié)論，同時變條件與結(jié)論，再代入求值.

數(shù)學(xué)思想：

數(shù)學(xué)中充滿了矛盾，如正與負，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無理數(shù)，常量與變量、有理式

與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學(xué)

就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.

想一想：若xyn（其中x,y,n都是正整數(shù)），則x,y,n都是同類二次根式，為什么？

例題與求解

12002

【例1】當x時，代數(shù)式(4x32005x2001)2003的值是（）

2

A、0B、－1C、1D、22003

（紹興市競賽試題）

【例2】化簡

abbab1b

（1）()

ababbabab

（黃岡市中考試題）

10141521

（2）

10141521

（五城市聯(lián)賽試題）

64332

（3）

(63)(32)

（北京市競賽試題）

315102633218

（4）

5231

（陜西省競賽試題）

解題思路：若一開始把分母有理化，則計算必定繁難，仔細觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通

過分解、分析等方法尋找它們的聯(lián)系，問題便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是針對多項式而言的，在整式，分母中應(yīng)用非常廣泛，但是因式分解的思想也

廣泛應(yīng)用于解二次根式的問題中，恰當?shù)刈黝愃朴谝蚴椒纸獾淖冃?，可降低一些二次根式問題的難度.

【例3】比(65)6大的最小整數(shù)是多少？

（西安交大少年班入學(xué)試題）

解題思路：直接展開，計算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設(shè)x65,y65,

x46x32x218x23

想一想：設(shè)x1983,求的值.（“祖沖之杯”邀請賽試題）

x37x25x15

形如：AB的根式為復(fù)合二次根式，常用配方，引入?yún)?shù)等方法來化簡復(fù)合二次根式.

【例4】設(shè)實數(shù)x，y滿足(xx21)(yy21)1，求x＋y的值.

（“宗瀘杯”競賽試題）

解題思路：從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化.

【例5】（1）代數(shù)式x24(12x)29的最小值.

（2）求代數(shù)式x28x41x24x13的最小值.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：對于（1），目前運用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，a2b2的幾何意義是直角邊

為a，b的直角三角形的斜邊長，從構(gòu)造幾何圖形入手，對于（2），

設(shè)y(x4)252(x2)232，設(shè)A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相當于求AB＋AC的最

小值，以下可用對稱分析法解決.

方法精髓：

解決根式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.

【例6】設(shè)ma2a1a2a1(1a2)，求m10m9m8m7m47的

值.

解題思路：配方法是化簡復(fù)合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對應(yīng)式子的值.

能力訓(xùn)練

A級

732008152008

1.化簡：()1004（“希望杯”邀請賽試題）

372008352008

2.若xy352,xy325，則xy＝_____(北京市競賽試題)

19971999

(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)

3.計算：

2001

(20011997)(20011999)

（“希望杯”邀請賽試題）

4.若滿足0＜x＜y及1088xy的不同整數(shù)對（x，y）是_______（上海市競賽試題）

5.如果式子(x1)2(x2)2化簡結(jié)果為2x－3，則x的取值范圍是（）

A.x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞0

6、計算14651465的值為（）

A．1B.5C.25D.5

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7．a(chǎn)，b，c為有理數(shù)，且等式ab2c3526成立，則2a＋999b＋1001c的值是（）

A．1999B.2000C.2001D.不能確定

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

8、有下列三個命題

甲：若α，β是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；

乙：若α，β是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；

丙：若α，β是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

9、化簡：

xyyxyxxy26

（1）（2）

xyyxyxxy325

115746

（3）

7776642

524

（4）（天津市競賽試題）

103615

35

（5）（“希望杯”邀請賽試題）

361015

335

10、設(shè)x，求代數(shù)式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.

2

（“希望杯”邀請賽試題）

11、已知7x29x137x25x137x，求x的值.

n1nn1n

12、設(shè)x,x（n為自然數(shù)），當n為何值，代數(shù)式19x2123xy19y2的

n1nn1n

值為1985？

B級

11

1.已知x,y,則x312xyy3________________.(四川省競賽試題)

2323

2.已知實數(shù)x，y滿足(xx22008)(yy22008)2008，則3x22y23x3y2007＝＿

＿＿＿（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

47x2

3.已知x,那么______.（重慶市競賽試題）

3x4x21

331

4.a343231,那么＝＿＿＿＿＿.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

aa2a3

5.a，b為有理數(shù)，且滿足等式ab361423則a＋b＝（）

A.2B.4C.6D.8

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6．已知a21,b226,c62，那么a，b，c的大小關(guān)系是（）

A.abcB.b＜a＜cC.c＜b＜cD.c＜a＜b

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

1

7.已知xa，則4xx2的值是（）

a

111

A.aB.aC.aD.不能確定

aaa

1

8.若[a]表示實數(shù)a的整數(shù)部分，則[]等于（）

1667

A.1B.2C.3D.4

（陜西省競賽試題）

1

9．把(a1)中根號外的因式移到根號內(nèi)，則原式應(yīng)等于（）

a1

A.1aB.a1C.a1D.1a

（武漢市調(diào)考題）

10、化簡：

19981999200020011

（1）