初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題01整式的乘除

專題01整式的乘除

閱讀與思考

指數(shù)運算律是整式乘除的基礎(chǔ)，有以下5個公式：amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，

1

amanamn(a0)，a01(a0)，ap(a0)．

ap

學(xué)習(xí)指數(shù)運算律應(yīng)注意：

1．運算律成立的條件；

2．運算律中字母的意義：既可以表示一個數(shù)，也可以表示一個單項式或者多項式；

3．運算律的正向運用、逆向運用、綜合運用．

多項式除以多項式是整式除法的延拓與發(fā)展，方法與多位數(shù)除以多位數(shù)的演算方法相似，基本步驟是：

1．將被除式和除式按照某字母的降冪排列，如有缺項，要留空位；

2．確定商式，豎式演算式，同類項上下對齊；

3．演算到余式為零或余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)為止．

例題與求解

【例1】（1）若n為不等式n2006300的解，則n的最小正整數(shù)的值為．

（“華羅庚杯”香港中學(xué)競賽試題）

（2）已知x2x1，那么x42x3x22x2005．（“華杯賽”試題）

（）把26展開后得12112，則

3(xx1)a12xa11xa2xa1xa0

．

a12a10a8a6a4a2a0（“祖沖之杯”邀請賽試題）

（4）若x53x47x36x22x9(xa)(xb)(xc)(xd)(xe)則

abacadaebcbdbecdcede．（創(chuàng)新杯訓(xùn)練試題）

解題思路：對于（1），從冪的乘方逆用入手；對于（2），目前無法求x值，可考慮高次多項式用低次

多項式表示；對于（3），它是一個恒等式，即在x允許取值范圍內(nèi)取任何一個值代入計算，故可考慮賦值

法；對于（4），可考慮比較系數(shù)法．

11

【例2】已知25x2000，80y2000，則等于（）

xy

13

A．2B．1C．D．（“希望杯”邀請賽試題）

22

11xy

解題思路：x,y為指數(shù)，我們無法求出x,y的值，而，所以只需求出xy,xy的值或

xyxy

它們的關(guān)系，于是自然想到指數(shù)運算律．

【例3】設(shè)a,b,c,d都是正整數(shù)，并且a5b4,c3d2,ca19，求db的值．（江蘇省競賽試題）

解題思路：設(shè)a5b4m20,c3d2n6，這樣a,b可用m的式子表示，c,d可用n的式子表示，通

過減少字母個數(shù)降低問題的難度．

m31

【例4】已知多項式2x23xy2y2x8y6(x2ym)(2xyn)，求的值．

n21

解題思路：等號左右兩邊的式子是恒等的，它們的對應(yīng)系數(shù)對應(yīng)相等，從而可考慮用比較系數(shù)法．

【例5】是否存在常數(shù)p,q使得x4px2q能被x22x5整除？如果存在，求出p,q的值，否則請說

明理由．

解題思路：由條件可推知商式是一個二次三項式（含待定系數(shù)），根據(jù)“被除式=除式×商式”，運用待

定系數(shù)法求出p,q的值，所謂p,q是否存在，其實就是關(guān)于待定系數(shù)的方程組是否有解．

a

【例6】已知多項式2x43x3ax27xb能被x2x2整除，求的值．（北京市競賽試題）

b

解題思路：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出當(dāng)x2

和x1時，原多項式的值均為0，從而求出a,b的值．當(dāng)然本題也有其他解法．

能力訓(xùn)練

A級

1．（1）424(0.25)231．（福州市中考試題）

（2）若a2n3，則2a6n1．（廣東省競賽試題）

2．若2x5y30，則4x32y．

3．滿足(x1)2003300的x的最小正整數(shù)為．（武漢市選拔賽試題）

4．a(chǎn),b,c,d都是正數(shù)，且a22,b33,c44,d55，則a,b,c,d中，最大的一個是．

（“英才杯”競賽試題）

5．探索規(guī)律：313，個位數(shù)是3；329，個位數(shù)是9；3327，個位數(shù)是7；3481，個位數(shù)是1；

35243，個位數(shù)是3；36729，個位數(shù)是9；…那么37的個位數(shù)字是，330的個位數(shù)字

是．（長沙市中考試題）

6．已知a8131,b2741,c961，則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A．a(chǎn)bcB．a(chǎn)cbC．a(chǎn)bcD．bca

7．已知a255,b344,c533,d622，那么a,b,c,d從小到大的順序是（）

A．a(chǎn)bcdB．a(chǎn)bdcC．bacdD．a(chǎn)dbc

（北京市“迎春杯”競賽試題）

8．若x2n12n,y2n12n2，其中n為整數(shù)，則x與y的數(shù)量關(guān)系為（）

A．x4yB．y4xC．x12yD．y12x

（江蘇省競賽試題）

9．已知2a3,2b6,2c12,則a,b,c的關(guān)系是（）

A．2bacB．2bacC．2bacD．a(chǎn)bc

（河北省競賽試題）

2n42(2n)

10．化簡得（）

2(2n3)

177

A．2n1B．2n1C．D．

884

11．已知axby7,ax2by249,ax3by3133,ax4by4406，

17

試求1995(xy)6xy(ab)的值．

2

12．已知6x27xy3y214xya(2x3yb)(3xyc)．試確定a,b,c的值．

13．已知x3kx23除以x3，其余數(shù)較被x1除所得的余數(shù)少2，求k的值．

（香港中學(xué)競賽試題）

B級

1．已知2a3,4b5,8c7,則8ac2b=．

1998

732000152000

2．（1）計算：=．（第16屆“希望杯”邀請競賽試題）

372000352000

45454545656565656565

（2）如果2n，那么n．

3535352525

（青少年數(shù)學(xué)周“宗滬杯”競賽試題）

3．（1）1516與3313的大小關(guān)系是15163313（填“＞”“＜”“＝”）．

320001320011320001320011

（2）與的大小關(guān)系是：（填“＞”“＜”“＝”）．

320011320021320011320021

4．如果x2x10,則x32x23=．（“希望杯”邀請賽試題）

5．已知(x2)5ax5bx4cx3dx2exf，則16b4df．

（“五羊杯”競賽試題）

6．已知a,b,c均為不等于1的正數(shù)，且a2b3c6,則abc的值為（）

1

A．3B．2C．1D．

2

（“CASIO杯”武漢市競賽試題）

7．若x3x2x10，則x27x26x11xx2x26x27的值是（）

A．1B．0C．—1D．2

8．如果x3ax2bx8有兩個因式x1和x2，則ab（）

A．7B．8C．15D．21

（奧賽培訓(xùn)試題）

．已知均為正數(shù)，又，

9a1,a2,a3,a1996,a1997M(a1a2a1996)(a2a3a1997)

，則與的大小關(guān)系是（）

N(a1a2a1997)(a2a3a1996)MN

A．MNB．MNC．MND．關(guān)系不確定

10．滿足(n2n1)n21的整數(shù)n有（）個

A．1B．2C．3D．4

11．設(shè)a,b,x,y滿足axby3,ax2by27,ax3by316,ax4by442,求ax5by5的值．

5

12．若x,y,z,w為整數(shù)，且xyzw，2x2y2z2w20，求(xyzw1)2010的值．

8

（美國猶他州競賽試題）

13．已知a,b,c為有理數(shù)，且多項式x3ax2bxc能夠被x23x4整除．

（1）求4ac的值；

（2）求2a2bc的值；

（3）若a,b,c為整數(shù)，且c≥a1．試比較a,b,c的大?。?/p>

（四川省競賽試題）

專題01整式的乘除

例1(1)(n2)100＞(63)100，n2＞216，n的最小值為15．

(2)原式＝x2(x2＋x)＋x(x2＋x)－2(x2＋x)＋2005＝x2＋x－2＋2005＝2004

(3)令x＝1時，a12＋a11＋a10＋…＋a2＋a1＋a0＝1，①

令x＝－1時，a12–a11＋al0－…＋n2－al＋a0＝729②

由①＋②得：2(a12＋al0＋a8＋…＋a2＋a0)＝730．

∴a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝365．

(4)所有式子的值為x3項的系數(shù)，故其值為7．

例2B提示：25xy＝2000y，①

80xy＝2000x，②

①×②，得：(25×80)xy＝2000x＋y，得：x＋y＝xy．

例3設(shè)a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，由c－a＝19得，n2－m4＝19，即(n＋m2)(n－m2)＝19，因19是

n＋m2＝19

質(zhì)數(shù)，n＋m2，n－m2是自然數(shù)，且n＋m2＞n－m2，得，解得n＝10，m＝3，所以d－b＝103

n－m2＝1

－35＝757

7

例4－提示：由題意知：2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn．

8

2m＋n＝－1

m＝－2m3＋1

∴2n－m＝8，解得，∴＝－7

n＝32

mn＝－6n－18

22

倒5提示：假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的p，q值，設(shè)(x4＋px＋q)＝(x＋2x＋5)(x2＋mx＋n)，即

m＋2＝0m＝－2

5＋n＋2m＝pn＝5

x4＋px2＋q＝x4＋(m＋2)x3＋(5＋n＋2m)x2＋(2n＋5m)x＋5n，得，解得，

2n＋5m＝0p＝6

5n＝qq＝25

故存在常數(shù)p，q且p＝6，q＝25，使得x4＋px2＋q能被x2＋2x＋5整除．

例6解法1∵x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，

∴2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被(x＋2)(x－1)整除，設(shè)商是A．

則2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝A(x＋2)(x－l)，

則x＝－2和x＝1時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．

當(dāng)x＝－2時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝32＋24＋4a－14＋b＝4a＋b＋42＝0，①

當(dāng)x＝1時，2x4－3x3＋ax2＋7x＋b＝2－3＋a＋7＋b＝a＋b＋6＝0．②

①－②，得3a＋36＝0，∴a＝－12，

∴b＝－6－a＝6．

a－12

∴＝＝－2

b6

解法2列豎式演算，根據(jù)整除的意義解

2x25x(a9)

x2x22x43x3ax27xb

2x42x34x2

5x3(a4)x27xb

5x35x210x

(a9)x23xb

(a9)x2(a9)x2(a9)

(12a)xb2(a9)

∵2x4－3x3＋ax2＋7x＋b能被x2＋x－2整除，

－12－a＝0a＝－12a

∴，即，∴＝－2

b＋2(a＋9)＝0b＝6b

A級

1．(1)－5(2)532．83．74．65．796．A7．D提示：a＝(25)11，b－(34)11，

c＝(53)11，d＝(62)118．A9．B10．C11．480012．a(chǎn)＝4．b＝4，c＝1

322322

13．提示：令x＋kx＋3＝(x＋3)(x＋ax＋6)＋r1，x＋kx＋3＝(x＋1)(x＋cx＋d)＋r2，令x＝－3，得r1

＝9k－24．令x＝－1，得r2＝k＋2，由9k－24＋2＝k＋2，得k＝3．

B級

189

1．

125

20002000

9719983(1＋5)71998320009

2．(1)提示：原式＝()×＝()×()＝(2)12

20002000

4937(1＋5)3749

3．(1)＜1516＜1615＝264，3313＞3213＝265＞264．

(2)＞提示：設(shè)32000＝x．

4．45．512提示：令x＝±2．6．C提示：由條件得a＝c－3，b＝c2，abc＝c－3·c2·c＝17．C

8．D

2

9．C提示：設(shè)a2＋a3＋…a1996＝x，則M＝（a1＋x）(x＋a1997)＝a1x＋x＋a1a1997＋a1997x．

N＝(a1＋x＋a1997)x＝alx＋x2＋a1997x．M＝N＝a1a1997＞0．

10．D

11．由ax2＋by2＝7，得(ax2＋by2)(x＋y)＝7(x＋y)，

即ax3－ax2y＋bxy2＋by3