初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題27以形借數(shù)-借助圖形思考（解析版）

專題27以形借數(shù)——借助圖形思考

閱讀與思考

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學研究的永恒主

題，就解題而言，數(shù)與形的恰當結(jié)合，常常有助于問題的解決，美國數(shù)學家斯蒂恩說：“如果一個特定

的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法”．將

問題轉(zhuǎn)化為一個圖形，把問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來，是一個十分重要的解題方法，

現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個方面：

1．從給定的圖形獲取解題信息

數(shù)學問題的表述方法很多，既有用文字敘述的，也有通過圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來呈

現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個重要技能．

2．有意地畫圖輔助解題

圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系，解題中有意地畫圖（如畫直線圖、列表、構(gòu)造圖

形等）能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問題獲得簡解．

閱讀與思考

【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住

其中的3枚，可套得一個三角形，所有可以套出來的三角形中，不同

形狀的共有____________種。

（“五羊杯”競賽試題）

解題思路：圓周長保持不變，設(shè)圓周長為9，套成的三角形三邊所對應(yīng)的弧長分別為x,y,z,則

xyz9。不妨設(shè)x≤y≤z，借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可。

【例2】一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間

為x（h），兩．車．之．間．的．距．離．為．y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進行一下探

究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為___________km。

（2）請解釋圖中點B的實際意義。

圖像理解

（3）求慢車和快車的速度。

（4）求線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘

后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時？

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)

信息，也有在0～4小時之間以及稍后的一段時間內(nèi)，快車和慢車的速度之和為定值和C點表示快車在

某一時刻已到達終點等需要經(jīng)過分析或運算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息。

【例3】某電視臺為了解A,B,C三個特色欄目的收視情況，向28位觀眾進行調(diào)查，調(diào)查后得知：

每位觀眾至少收看了其中的一個欄目；沒有收看欄目A的觀眾中，收看欄目B人數(shù)為收看欄目C的兩

倍；在收看欄目A的觀眾中，只收看欄目A的觀眾人數(shù)比除了收看欄目A之外同時還收看其他欄目的

人數(shù)多1；只收看一個欄目的觀眾中，有一半沒有收看B或欄目C，求欄目A的收視率。

（“《數(shù)學周報》”杯全國數(shù)學競賽試題）

解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系。

【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同學參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前

每人都對出賽順序進行了猜測。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第

四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問：

出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學？

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：文字羅列出來的條件，其相互關(guān)系錯綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀

地表示研究對象及其關(guān)系。

【例5】某班有50名同學，期末考試優(yōu)秀的學生人數(shù)及科目如表：

一科二科三科

科目數(shù)外語數(shù)、語數(shù)、外語外數(shù)、語、外

人數(shù)32312916171810

這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說明上述統(tǒng)計表有錯誤。

（“創(chuàng)新杯”競賽試題）

解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學、外語、語文優(yōu)秀學生的集合，有利于分析與推斷。

能力訓練

1．甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽

了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。則小強已經(jīng)賽了________盤。

（“華羅庚金杯”競賽試題）

2．某市儲運部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進物資共用4小時，調(diào)進物資2小時后開始調(diào)出物資（調(diào)進

物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲運部庫存物資s(噸)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物

資從開始調(diào)進到全部調(diào)出所需要的時間是___________________。

（山東省濟南市中考試題）

3．甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車到B地后原地休息，甲、乙兩人的距離y(千米)

與乙騎車的時間x(時)之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則A,B兩地的距離為______________________千

米。

4．一臺計算機的硬盤分為3個區(qū)，每個區(qū)的使用情況如圖所示，則這個硬盤的使用率為

______________________。

（“希望杯”邀請賽試題）

5．A,B,C三支足球隊舉行單循環(huán)比賽（每支隊與另一支隊只比賽一場，共三場），下表給出的是

比賽的部分結(jié)果：

球隊比賽場數(shù)勝負平總進球數(shù)總失球數(shù)

A221

B2124

C237

請根據(jù)上表，填上A隊與C隊比賽時的比分為_______________。

（重慶市競賽試題）

6．如圖是某班全體學生外出時乘車、步行、騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（兩圖都不完整），

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A．該班總?cè)藬?shù)為50人B．騎車人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20％

C．步行人數(shù)30人D．乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍

7．某人騎車沿直線旅行，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（ba），再前

進c千米，則此人離起點的距離s與時間t的關(guān)系示意圖為（）。

A．B．C．D．

8．一圓形地塊，打算分A、B、C、D四個區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰

（有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個數(shù)為

()。

A．66B．68

C．60D．84

（重慶市競賽試題）

9．某校參加數(shù)學競賽有120名男生，80名女生；參加英語競賽有120名女生，80名男生。已知該

?？偣灿?60名學生參加了競賽，其中有75名男生兩科競賽都參加了，問參加數(shù)學競賽而沒有參加英

語競賽的女生人數(shù)有多少人？

（“祖沖之杯”邀賽試題）

10．某人租用一輛汽車由A城前往B城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單

位：h）如圖所示。若汽車行駛的平均速度為80km/h。而汽車每行駛1km需要的平均費用為1.2元。試

指出此人從A城出發(fā)到B城的最短線路，并求出所需費用最少多少元？

（全國初中數(shù)學競賽試題）

11.剛回到營地的兩個搶險隊又接到救災(zāi)命令：一分隊立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊因疲勞可在

營地休息a（0≤a≤3）小時再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營地

10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊用1小時打通．已知一分隊的行進速度為5千米/

時，二分隊的行進速度是（4a）千米/時．

（1）若二分隊在營地不休息，問二分隊幾個小時能趕到A鎮(zhèn)？

（2）若需要二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊應(yīng)在營地休息幾個小時？

（3）下列圖中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離y（千米）和時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系，

請寫出你認為所有可能合理圖像的代號，并說明它們的實際意義．

ABCD

(安徽省中考題)

12.已知函數(shù)y|x1|2|x1||x2|．

（1）在直角坐標系中作出函數(shù)圖象．

（2）已知關(guān)于x的方程kx3|x1|2|x1||x2（|k0）有三解.求k的取值范圍．

（“創(chuàng)新杯”競賽試題）

專題27以形助數(shù)

——借助圖形思考

例17提示：設(shè)圓周長為9，套成的三角形三邊所對的弧長分別為x，y，z，則x+y+z=9，不妨設(shè)

xyz，則（x，y，z）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，

4）和（3，3，3）這7種情形.

例2（1）900（2）圖中點B的實際意義是：當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇.（3）由圖像可知，

900

慢車12h行駛的路程為900km，所以慢車的速度為=75km/h；當慢車行駛4h時，慢車和快車相遇，

12

900

兩車行駛的路程之和為900km，所以慢車和快車行駛的速度之和為=225km/h,所以快車的速度為

4

900

150km/h.（4）根據(jù)題意快車行駛900km到達乙地，所以快車行駛=6h到達乙地，此時兩車之間的

150

距離為6×75=450km，所以點C的坐標為（6，450）.設(shè)線段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

04kbk225

把（4，0），（6，450）帶入得，解得

4506kbb900

所以，線段BC所標示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=225x-900.自變量x的取值范圍是4x6.

（5）慢車與第一列快車相遇30分鐘后與第二列快車相遇，此時，慢車的行駛時間是4.5h，把x=4.5代

入y=225x-900，得y=112.5，此時，慢車與第一列快車之間的距離等于兩列快車之間的距離112.5km，

所以兩列快車出發(fā)間隔的時間是112.5÷150=0.75h，即第二列快車比第一列快車晚出發(fā)0.75h.

例3設(shè)只收看A,B,C三個欄目的觀眾人數(shù)分別為x，y，z，沒有收看欄目A而收看欄目B和欄目C的

人數(shù)為m.不只收看欄目A的人數(shù)為n，如圖所示.

ym2zm,

nx1,

得z=29-4y.

xyz,

xnymz28,

58

由y-2z=m≥0得9y-58≥0，∴y

9

29

由29-4y=z≥0得y≤，∵y為整數(shù)，∴y=7

4

從而z=1，x=8，n=7，m=5.

xn25

故欄目A的收視率為×100﹪=×100﹪≈53.6﹪

2828

例4第一個是丙，第三個是甲，第五個是丁.

例5如圖，A,B,C三個圓分別表示數(shù)學、外語、語文優(yōu)秀學生的集合，而a，

b，c，…，f，g則分別表示各類優(yōu)秀學生的人數(shù)，如g表示數(shù)、外、語三科均

優(yōu)秀的學生人數(shù)f表示語、外兩科優(yōu)秀而數(shù)學不優(yōu)秀的學生人數(shù).

adeg32,

bdfg31,

cefg29,

則eg16,解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.

dg17

fg18,

g10

故a+b+c+d+e+f+g=51.說明數(shù)、外、語三科中至少有一科優(yōu)秀的學生共有51人，而全班僅有50人，

故統(tǒng)計錯誤.

【能力訓練】

1.2提示：如圖，用5個點表示甲、乙、丙、丁及小強這5個人，如果兩個人已經(jīng)賽過一盤，就在相

應(yīng)的兩個點之間連一條線段.

2.4.4小時3.24

12.526015.829010.2440

4.32﹪提示：依照圖中數(shù)據(jù)計算：0001000=32﹪

12.515.810.20

5.5：1

6.C提示：由直方圖可知，乘車人數(shù)為25人，由扇形圖可知，乘車人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的