初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題07 整式的加減

專題07整式的加減

閱讀與思考

整式的加減涉及許多概念，準(zhǔn)確地把握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解決有關(guān)問

題的基礎(chǔ)，概括起來就是要掌握好以下兩點(diǎn)：

1．透徹理解“三式”和“四數(shù)”的概念

“三式”指的是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式；“四數(shù)”指的是單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)和多項(xiàng)式

的系數(shù)、次數(shù)．

2．熟練掌握“兩種排列”和“三個(gè)法則”

“兩種排列”指的是把一個(gè)多項(xiàng)式按某一字母的升冪或降冪排列，“三個(gè)法則”指的是

去括號(hào)法則、添括號(hào)法則及合并同類項(xiàng)法則．

物以類聚，人以群分．我們把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次數(shù)也相同的

單項(xiàng)式作為一類——稱為同類項(xiàng)，一個(gè)多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)可以合聚在一起——稱為合并同類

項(xiàng)．這樣，使得整式大為簡(jiǎn)化，整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)．

例題與求解

[例1]如果代數(shù)式ax5＋bx3＋cx－5，當(dāng)x＝－2時(shí)的值是7，那么當(dāng)x＝7時(shí)，該式的

值是______．

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思路：解題的困難在于變?cè)獋€(gè)數(shù)多，將x兩個(gè)值代入，從尋找兩個(gè)多項(xiàng)式的聯(lián)系入

手．

[例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代數(shù)式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，對(duì)于

任意a，b對(duì)應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是()

A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．a(chǎn)＋b2D．a(chǎn)2＋b

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：采用賦值法，令a＝1，b＝－1，計(jì)算四個(gè)式子的值，從中找出值最大的

22

式子．

[例3]已知x＝2，y＝－4時(shí)，代數(shù)式ax2＋1by＋5＝1997，求當(dāng)x＝－4，y＝－1時(shí)，

22

代數(shù)式3ax－24by3＋4986的值．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

解題思路：一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的．解本例的關(guān)鍵是：將給定

的x，y值分別代入對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知與待求式子之間的聯(lián)系，整體代入求值．

[例4]已知關(guān)于x的二次多項(xiàng)式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．當(dāng)x＝2時(shí)的值為－

17，求當(dāng)x＝－2時(shí)，該多項(xiàng)式的值．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

解題思路：解題的突破口是根據(jù)多項(xiàng)式降冪排列、多項(xiàng)式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，

b的等式．

[例5]一條公交線路上起點(diǎn)到終點(diǎn)有8個(gè)站．一輛公交車從起點(diǎn)站出發(fā)，前6站上車

100人，前7站下車80人．問從前6站上車而在終點(diǎn)下車的乘客有多少人？

(“希望杯”初賽試題)

解題思路：前7站上車總?cè)藬?shù)等于第2站到第8站下車總?cè)藬?shù)．本例目的是求第8站下

車人數(shù)比第7站上車人數(shù)多出的數(shù)量．

[例6]能否找到7個(gè)整數(shù)，使得這7個(gè)整數(shù)沿圓周排列成一圈后，任3個(gè)相鄰數(shù)的和

等于29？如果，請(qǐng)舉出一例；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．

(“華羅庚金杯”少年邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：假設(shè)存在7個(gè)整數(shù)a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，滿足題意，由

此展開推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．若－4xm－2y3與2x3y7－2n是同類項(xiàng)，m2＋2n＝______．

3

(“希望杯”初賽試題)

2．當(dāng)x＝1，y＝－1時(shí)，ax＋by－3＝0，那么當(dāng)x＝－1，y＝1時(shí)，ax＋by－3＝______．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

3．若a＋b＜0，則化簡(jiǎn)|a＋b－1|－|3－a－b|的結(jié)果是______．

4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值為______．

2xy3z32,

5．設(shè)則3x－2y＋z＝______．

x4y5z36,

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，則C＝()．

A．5a2＋3b2＋2c2B．5a2－3b2＋4c2

A．3a2－3b2－2c2A．3a2＋b2＋4c2

7．同時(shí)都有字母a，b，c，且系數(shù)為1的7次單項(xiàng)式共有()．

A．4個(gè)B．12個(gè)C．15個(gè)D．25個(gè)

(北京市競(jìng)賽題)

8．有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

ba0c

第8題圖

則代數(shù)式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化簡(jiǎn)后的結(jié)果是為()．

A．－aB．2a－2bC．2c－aD．a(chǎn)

9．已知a＋b＝0，a≠b，則化簡(jiǎn)b(a＋1)＋a(b＋1)得()．

ab

A．2aB．2bC．＋2D．－2

10．已知單項(xiàng)式0.25xbyc與單項(xiàng)式－0.125xm－1y2n－1的和為0.625axnym，求abc的值．

11．若a，b均為整數(shù)，且a＋9b能被5整除，求證：8a＋7b也能被5整除．

(天津市競(jìng)賽試題)

B級(jí)

1．設(shè)a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______．

(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)

2．當(dāng)x的取值范圍為______時(shí)，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒為一個(gè)常數(shù)，

這個(gè)值是______．

(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)

3．當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式ax3－bx＋1的值等于－17，那么當(dāng)x＝－1時(shí)，代數(shù)式12ax－3bx3

－5的值等于______．

4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，則y2－1xy＋x2＋x3＝______．

5

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，則(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______．

6．如果對(duì)于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋

|1－10x|的值恒為一個(gè)常數(shù)，則此值為()．

A．2B．3C．4D．5

(安徽省競(jìng)賽試題)

623456

7．如果(2x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5

＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______．

A．1，365B．0，729C．1，729D．1，0

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

8．設(shè)b，c是整數(shù)，當(dāng)x依次取1，3，6，11時(shí)，某學(xué)生算得多項(xiàng)式x2＋bx＋c的值分

別為3，5，21，93．經(jīng)驗(yàn)證，只有一個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果是()．

A．當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋bx＋c＝3B．當(dāng)x＝3時(shí)，x2＋bx＋c＝5

C．當(dāng)x＝6時(shí)，x2＋bx＋c＝21D．當(dāng)x＝11時(shí)，x2＋bx＋c＝93

(武漢市選拔賽試題)

9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e為常數(shù)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝23；

當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－35，那么e的值是()．

A．－6B．6C．－12D．12

(吉林省競(jìng)賽試題)

10．已知a，b，c三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，n是整數(shù)，如果s＝(a＋n＋1)·(b

＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么()．

A．s是偶數(shù)B．s是奇數(shù)

C．s的奇偶性與n的奇偶性相同D．s的奇偶性不能確定