初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題12數(shù)余的擴充（解析版）

專題12數(shù)余的擴充

———實數(shù)的概念與性質(zhì)

閱讀與思考

人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負

有理數(shù)知識的基礎上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不

斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，

數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張.

理篇無理數(shù)是學好實數(shù)的關鍵，為此應注意：

q

1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)的形式（這里p，q是互質(zhì)的

p

整數(shù)，且p≠0）；

2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；

3.有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)

對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；

4．明確無理數(shù)的真實性.

克菜因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情

懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以

上的一切.”

想一想：

下列說法是否正確？

①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；

②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；

③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；

④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù).

例題與求解

【例1】已知a2(b4)2ab2c0．則(ac)b的平方根是________.

（湖南省長沙市“學用杯”競賽試題）

解題思路：運用式子的非負性，求出a，b，c的值．

【例2】若a，b是實數(shù)，且a2b122b4．則ab的值是().

A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1

（湖北省黃岡市競賽試題）

解題思路：由算術根的雙非負性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．

由算術平方根的定義可得到算術平方根的雙非負性：

①a中a≥0；②a≥0.

運用算術平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法.

【例3】已知實數(shù)m，n，p滿足等式

m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．

（北京市競賽試題）

解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)（m199n），（199mn）互為相反數(shù)，由算術平方根定義、性質(zhì)探尋解

題的切入點．

131319

【例4】已知a，b是有理數(shù)，且()a()b2130，求a，b的值．

32412420

解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關于a，b的方程組.

實數(shù)有以下常用性質(zhì)：

①若a，b都是有理數(shù)，c為無理數(shù)，且abc0，則a＝b＝0;

②若a，b，c，d都是有理數(shù)，c，d為無理數(shù)，且“acbd，則a＝b，cd．

要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無

理數(shù)，常用反證法，即假設這個數(shù)為有理數(shù)，設法推出矛盾.

想一想

怎樣證明2是無理數(shù)？

【例5】一個問題的探究

問題：設實數(shù)x，y，z滿足xyz≠0．且xyz0.

111111

求證：

x2y2z2xyz

在上述問題的基礎上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：

111

(1)設a，b，c為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為有理數(shù)．

(ab)2(bc)2(ca)2

111111

（2）設S111，求S的整數(shù)部分.

122222322008220092

解題思路：從公式(abc)2a2b2c22(abbcac)入手．

11111111

【例6】設S1，S1，S1，…，S1，

112222223233242nn2(n1)2

求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．

S1S2Snnn

（四川省成都市中考試題）

解題思路：解答此題的關鍵是將變形為一個代數(shù)式的平臺。

Sn

能力訓練

A級

31

1．在實數(shù)－4，，0，21，64，327，中，共有_______個無理數(shù)．

227

（貴州省貴陽市中考試題）

2．設a33，b是a2的小數(shù)部分，則(b2)3的值為____.

(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)

a2aba2ab

3．已知a4b90，則的值為_______．

b2a2b2

（山東省濟南市中考試題）

4．觀察下列各式：

1123412311，

1234522321，

1345632331，(AB)（:AB)(2xy):(xy)

猜測：12005200620072008________.

（遼寧省大連市中考試題）

5．已知有理數(shù)A，B，x，y滿足AB0，(AB)（:AB)(2xy):(xy)，那么

A（:AB)＝________.

A.3x（:2xy)B.3x（:4x2y)C.x（:xy)D.2x（:2xy)

（2013年“實中杯”數(shù)學競賽試題）

x

6．若x，y為實數(shù)，且x2y20，則()2009的值為()．

y

A.1B．－1C．2D．－2

（天津市中考試題）

7．一個自然數(shù)的算術平方根為a，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是()．

A.aB．a(chǎn)21C．a(chǎn)21D．a(chǎn)1

（山東省濰坊市中考試題）

8．若x11x(xy)2，則xy的值為()．

A．－1B．1C．2D．3

（湖北省荊門市中考試題）

9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反數(shù)，且m3a7，求x與y的平方

和的立方根．

10.計算：1111222．（廣西競賽試題）

2n個1n個2

11.若a，b滿足3a5b7，求S2a3b的取值范圍．

（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

B級

1．x與y互為相反數(shù)，且xy3．那么x22xy1的值為____．

（全國初中數(shù)學競賽試題）

2．若2x14x128，則x的值為_______．

（海南省競賽試題）

3．已知實數(shù)a滿足2004aa2005a，則a20042＝_______.

4．5的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則(5a)b的值為____．

（廣東省競賽試題）

5．已知非零實數(shù)a，b滿足2a4b2(a3)b242a，則ab等于()．

A．－1B．0C．1D．2

（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）

6．已知a21，b32，c62．則a，b，c的大小關系是()．

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a

11

7．已知：a1，那么代數(shù)式a的值為()．

aa

55

A．B．C．5D.5

22

（重慶市競賽試題）

8．下面有3個結(jié)論：

①存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；

②存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；

③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù).

其中，正確的結(jié)論有()個．

A.0B．1C．2D．3

（江蘇省競賽試題）

9．已知a22005是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù)a的和．

（“CASIO杯”武漢市競賽試題）

axb

10.設y，a，b，c，d都是有理數(shù)，x是無理數(shù).求證：

cxd

(1)當bcad時，y是有理數(shù)；

(2)當bcad時，y是無理數(shù)．

11.已知非零實數(shù)a，b滿足2a4b2(a3)b242a.求ab值．

（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）

專題12數(shù)余的擴充

———實數(shù)的概念與性質(zhì)

1

例1土提示：由條件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，則a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2×

4

－111

（一1）]4＝，的平方根為土．

16164

；

例2B

m－199＋n≥0m＋n≥199

例3由,得．∴m＋n＝199.

199－m－n≥0m＋n≤199

3m5n2p0

∴3m5n2p2m3np0，由非負數(shù)性質(zhì)，得

2m3n0

解得p=201。

111119

例4已知等式整理，得ab2ab130

34421220

111119

因為a，b是有理數(shù)，所以ab20且ab10，

34421220

3

a3

解得5

1

b4

5

22

111111111111xyz

例5

22222

xyzxyzxyyzxzxyzxyz

2

111

=

xyz

111111111111

故，進一步.

x2y2z2xyzx2y2（xy）2xyxy

2

111111

（1）可證明

（ab）2(bc)2(ca)2abbcca

1111

（2）令x=1，y=n，得11

n2(1n)2nn1

111111111

S=1-1-1-1-2009-

122334200820092009

故S的整數(shù)部分為2008.

222

例6∵111111

Sn12121

nn1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

2

1111

∴

Sn111

n(n1)n(n1)nn1

111111n22n

∴原式=11-1-1n1

223nn1n1n1

A級

1.2

2

2.9提示：a23339,238393273，則b=39-2,b+2=39

3

故b23399

16

3.

81

4.20052320051

ABxy

5.B提示：由題知，

AB2xy

（AB）(AB)(xy)(2xy)2A3x

則,即，

AB2xyAB2xy

A3x

故

AB4x2y

6.B

7.B

8.C

9.2

原式nn

10.=111101112111=11110-111

n個n個n個n個n個

（n）

=11110-1=111999=333

n個n個n個n個

3a5b7

11.由題中條件

2a3bS

①×3+②×5得19a215S

①×2-②×3得19b143S

215S02114

又∵a≥0，b≥0，則解得-S

14-3S053

B組

3

x

5xy0

1.-提示：由條件，解得2

3

4xy3y

2

2

3335

故x2+2xy+1=2-1-

2224

x

2.2提示：由2x14x128得2x12227，故有(x+1)+2x=7,所以x的值為2.

3.2005提示：由條件得：a≥2005，則a20052004，從而有：

a2-2004=2005

4.1

5.C提示：由條件得：a≥3，則b2(a3)b20，a+b=1。

1111

6.C提示：因為21，32，所以0.故b<a，又

abab

22

c-a=6-2-2-16-21，而6-213-220，

所以621，故c>a，因此b<a<c.