初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題11設(shè)元的技巧（解析版）

專題11設(shè)元的技巧

閱讀與思考

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一．應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，反映現(xiàn)實(shí)生活

中的數(shù)量關(guān)系，通過解應(yīng)用題可以培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去分析和解決問題的能力．

列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個步驟．恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是列方

程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，常見的設(shè)元技巧有：

1．直接設(shè)元

題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個要求的量，而設(shè)其中的某一個量為未知數(shù)．

2．間接設(shè)元

即所沒的不是所求的，適當(dāng)?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個量為未知數(shù)，則易找出符合題

意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程．

3．輔助設(shè)元

有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，

則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設(shè)元．

4．整體設(shè)元

有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個整體關(guān)系，可設(shè)這

一部分為一個未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，這就是整體設(shè)元．

例題與求解

【例1】某編輯用0~9這10個數(shù)字給一本書的各頁標(biāo)上頁碼，若共寫了636個數(shù)字，則該書有

____頁.

解題思路：依題意可知該書頁碼的數(shù)字組成有三種：一個數(shù)字、兩個數(shù)字、三個數(shù)字.一共有

636個數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解．

找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵．尋找相等關(guān)系常用

方法有：

①從關(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系；

②利用基本公式尋找相等關(guān)系；

③利用不變量尋找相等關(guān)系；

④對一種“量”，從不同的角度進(jìn)行表述（即計(jì)算兩次），形成一種相等關(guān)系．

行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數(shù)字問題等是列方程解應(yīng)用題的基本類型，

此外，還有趣味問題（如年齡、時鐘等）、經(jīng)濟(jì)問題（如銀行存款、銷售利潤等），盡管形式多變，但是

解題實(shí)質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，理清數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確列方程．

【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤＝出廠價一成

本）是出廠價的25%，10月份將每件冬裝的出廠價調(diào)低10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比9月

份增加80%，那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份的利潤總額增長()。

A.2%B．8%C.40.0%D．62%

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價、銷售件數(shù)．

解決以實(shí)際生活為情景的應(yīng)用題時，需要具備一定的優(yōu)化意識和估算決策能力.

【例3】某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會，入場券分為團(tuán)體票和零售票，其

2

中團(tuán)體票占總票數(shù)的，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團(tuán)體票每張12元，共售

3

3

出團(tuán)體票數(shù)的；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如果在六月份內(nèi)，團(tuán)體票按每張16元出

5

售，并計(jì)劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持

平？

（北京市東城區(qū)中考試題）

解題思路：票款與票數(shù)、票價有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價，又要用字母表示總票數(shù)．

與商品利潤相關(guān)的基本知識：

利潤

①利潤率＝×100%；

進(jìn)貨價

②利潤＝售出價一進(jìn)貨價；

③售出價＝利潤＋進(jìn)貨價＝進(jìn)貸價×(1＋利潤率)．

【例4】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控的手段達(dá)到節(jié)水的目的，

該市自來水收費(fèi)價格見價目表．

價目表

每月用水量單價

不超過6m3的部分2元/m3

超過3m3不超出10m3的部分4元/m3

超出10m3的部分8元/m3

注：水費(fèi)按月結(jié)算．

若某居民1月份用水8m3，則應(yīng)收水費(fèi)2×6＋4×(8－6)＝20（元）．

(1)若該戶居民2月份用水12.5m3，則應(yīng)收水費(fèi)______元．

(2)若該戶居民3，4月份共用水15m3（4月份用水量超過3月份），共交水費(fèi)44元，則該居民3，4

月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚(yáng)州市中考試題）

解題思路：第(1)問須分段計(jì)費(fèi)；第(2)問設(shè)3月份用水量為xm3，則4月份用水量為(15x)m3，分

兩種情況進(jìn)行討論．

【例5】A，B，C三個微型機(jī)器人圍繞一個圓形軌道高速運(yùn)動，它們順時針同時同地出發(fā)后，

A在2秒鐘時追上B，2.5秒鐘時追上C，當(dāng)C追上B時，C和B的運(yùn)動路程之比是3：2，問第1分鐘

時，A圍繞這個圓形軌道運(yùn)動了多少圈？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：要充分運(yùn)用問題中的等量關(guān)系，需設(shè)出A，B，C三個微型機(jī)器人的速度、圓形軌

道長等多個未知數(shù)．

【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，

則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草.設(shè)每頭牛每天吃草的量是相等的，問：

(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

(2)要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國數(shù)學(xué)通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設(shè)定多個間接未知數(shù)的解決方法.

能力訓(xùn)練

A組

1．光明中學(xué)七年級一、二、三班，向希望學(xué)校共捐書385本，一班與二班捐書的本數(shù)之比為4：3，

一班與三班捐書的本數(shù)之比為6：7，那么二班捐書______本．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

2．一個六位數(shù)1abcde的3倍等于abcde1，則這個六位數(shù)為________．

（黑龍江省競賽試題）

3．某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價的7.5折銷售，則虧

損50元．該種商品每件的進(jìn)價為________元．

（“希望杯”競賽試題）

4.某出租汽車的車費(fèi)是這樣計(jì)算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達(dá)到4公里以后，

每增加1公里加1.60元；達(dá)到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里時按四舍五人計(jì)算．則

乘坐15公里該種出租車應(yīng)交車費(fèi)____元．某乘客乘坐該種出租車交了車費(fèi)95.20元，則這個乘客乘該出

租車行駛的路程為________公里．（精確到兩位小數(shù)）

（“希望杯”邀請賽試題）

5．甲、乙兩種茶葉，以x:y（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價格每千克50元，乙

種茶葉的價格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價格上調(diào)了10%，乙種茶葉的價格下調(diào)了10%，但混合茶

的價格不變，則x:y等于().

A．1:1B．5:4C．4:5D.5:6

（北京市競賽試題）

6．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：用煤氣如果不超過60立方米．按每立方米0.8元收費(fèi)；如

果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費(fèi)．已知某用戶4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，

那么，4月份這用戶應(yīng)交煤氣費(fèi)()．

A．60元B．66元C．75元D.78元

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7．植樹節(jié)時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由男同學(xué)

完成，每人應(yīng)植樹()棵．

A.9B．10C．12D．14

（四川省競賽試題）

8．某服裝商販同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計(jì)算，其中一套盈利20%，另一套虧

本20%，則這次出售中商販()．

A．不賺不賠B．賺37.2元C．賺14元D．賠14元

9．從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分?jǐn)?shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切

下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分?jǐn)?shù)相同，求所切下的合金

的重量是多少？

10.陳老師為學(xué)校購買運(yùn)動會的獎品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，

單價分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元，”王老師算了一下，說：“你肯定弄

錯了．”

(1)王老師為什么說他弄錯了？試用方程的知識加以解釋；

(2)陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因?yàn)樗€買了一個筆記本，但筆記本的單價已模糊

不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)是小于10的整數(shù)，筆記本的單價可能為多少元？

（四川省資陽市中考試題）

B級

1．一幢樓房內(nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A，B，C，D，

E，F(xiàn)六種報紙，每戶至少訂了一種報紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2，2，4，3,5種報紙．而

A，B，C，D，E五種報紙?jiān)谶@幢樓里分別有1，4，2，2，2家訂戶，那么吳姓住戶訂有____種報紙，

報紙F(tuán)在這幢樓里有____家訂戶．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價格是圓珠筆價格的2倍，付款時，發(fā)現(xiàn)所買兩種筆

的數(shù)量是顛倒了，因此，比計(jì)劃支出增加了50%，則此人原計(jì)劃購買鋼筆與圓珠筆數(shù)量的比為_______.

（天津市競賽試題）

3．為使某項(xiàng)工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25%，則原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要

_______天．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．右邊算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”－o，那么被乘

數(shù)是________________.

神舟十號飛天

神

飛天神舟五號

5．一艘輪船從A港到B港順?biāo)叫?，?小時，從B港到A港逆水需8小時，若在靜水條件下，

從A港到B港需()小時．

161

A．7B．7C．6D．6

272

（五城市聯(lián)賽試題）

6．某商品連續(xù)兩次提價10%，又提價5%，要恢復(fù)原價，至少應(yīng)降價x%（x為整數(shù)），則x＝()．

A．20B．21C．22D.23

7．如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已知中間最小

的一個正方形的邊長為1，那么這個長方形色塊圖的面積為多少？

（山東省濟(jì)南市中考試題）

8．自行車輪胎，安裝在后輪上，只能行駛3000km就要報廢，安裝在前輪上，則行駛5000km才

報廢．為使一對輪胎能在行駛盡可能多的路程后才報廢，在自行車行駛一定路程后，就將前后輪調(diào)整，

這樣安裝在自行車上的一對輪胎最多可行駛多少千米？

（《時代學(xué)習(xí)報》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

9．山腳下有一池塘，山泉以固定的流量（即單位時間里流入池中的水量相同）不停地向池塘內(nèi)流

淌，現(xiàn)池塘中有一定深度的水，若用一臺A型抽水機(jī)，1小時后正好能把池塘中的水抽憲，若用兩臺A

型抽水機(jī)20分鐘正好把池塘中水抽完。問若用三臺A型抽水機(jī)同時抽水，則需要多長時間恰好把池塘

中的水抽完？

（江蘇省競賽試題）

專題11設(shè)元的技巧

例1248提示:設(shè)該書有x頁，則可列方程x9939029636，解得x=248頁.

例2B提示:設(shè)9月份每件冬裝的出廠價為x元，9月份銷售冬裝m件，則

0.15x1.8m0.25xm

8%.

0.25xm

例3設(shè)總票數(shù)為a張，六月份零售票應(yīng)按每張x元定價，

248641

則aaaax，解得x=19.2元.

53156

例4(1)應(yīng)收水費(fèi)264106812.51048元.

(2)設(shè)三月份用水量為xm3，則四月份用水量為(15-x)m3.若x6,15-x10時，則

2x26415x644，解得，x=2(舍去);若x6,15-x>10時，則

2x2644815x1044，解得x=4;

若x>6，由題意知x<10，則15一x<10,則26-4x626415xb44，無解.

所以三月份用水4m3，四月份用水11m3.例542圈提示：設(shè)A，B，C三個微型機(jī)器人的速度分

SSSSSS

別為u，v和w，圓形軌道周長是S，則＝2,＝2.5,即＝u－v,＝u－w.∴w－v＝－＝

u－vu－w22.522.5

S

…..①.

10

10w3SS7S7S

又有＝……②．解①和②，得v＝……③，代入＝u－v中，得u＝,×60＝42S．

10v2521010

故第一分鐘時，A圍繞這個圓形軌道運(yùn)動了42圈．

例6(1)設(shè)牧場原有草量為a，每天生長出的草量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛x天吃完草，由

題意得：

a＋6b＝24×6c①

a＋8b＝21×8c②．

a＋bx＝16cx③

②一①得b＝12c④，

③一②得(x－8)b＝（16x－168）c⑤，

將④代人⑤得（x一8）?12c＝(16x－168)c，解得x＝18.

b

(2)設(shè)至多放牧y頭牛，牧草才永遠(yuǎn)吃不完，則有cy≤b，即每天吃的草不能多于生長的草，y≤＝12．

c

A級

1.99

2.142857提示：設(shè)abcde＝x，則3(100000＋x)＝l0x＋1，解得x＝42857．故這個六位數(shù)為142857.

9.57.5

3.800提示：設(shè)該商品的原定價為x元，由題意有：x－150＝x＋50，解得x＝1000.

1010

7.5

故該商品每件的進(jìn)價為1000×＋50＝800元．

10

4.30.4043提示：(1)注意，到15千米時剛好跳表，所以要加上2.4元，不要漏了．(2)設(shè)所行路程

為x公里，則2.40×(x－15)＋28.00＝95.20.

5．C6．B

3

7．B提示：設(shè)分別有男、女同學(xué)x，y人，則15y＝6(x＋y)，x＝y(tǒng)．則男同學(xué)完成每人應(yīng)植樹6(x＋y)÷x

2

＝10棵．

8.D

bx＋(b－x)a

9．設(shè)所切下的合金重量為x千克，重6千克，4千克的合金含銀的百分?jǐn)?shù)分別為a，b(a≠b)，

6

ax＋(4－x)b

＝，解得x＝2.4．

4

10．(1)設(shè)單價為8元的課外書為x本，由8x＋12(105－x)＝1500－418，解得x＝44.5（不合題意），所

以陳老師肯定弄錯了．

(2)設(shè)單價為8元的課外書為y本，筆記本的單價為a元，則8y＋(105－y)×12＝1500－418－a,即178

＋a＝4y，178＋a應(yīng)被4整除，a＝2，4，6，8，經(jīng)討論a＝2或6．

B級

1.16提示：設(shè)吳姓住戶訂有x種報紙，報紙F(tuán)在這幢樓里有y家訂戶，其中x，y為x≥1，y≤6的

整數(shù)，由題意得2＋2＋4＋3＋5＋x＝1＋4＋2＋2＋2＋y，解得x＝1，y＝6．

2.1：4提示：設(shè)原計(jì)劃賄買鋼筆x支，圓珠筆y支，圓珠筆的價格為k元，由題意得（2kx＋ky）×(1

＋50%)＝2ky＋kx，解得y＝4x..

3.100

4.307692提示：設(shè)“神舟十號”＝A，“飛天”＝B，則3×(100A＋B)＝10000B＋A，得23A＝769B．又

(23，769)＝1，故B＝23n，A＝769n，n為自然數(shù)且2≤n≤4．經(jīng)討論n＝4可行，從而A＝3076，B

＝92．

5．C提示：設(shè)A港到B港路程為S，靜水速度和水流速度分別為V船，V水．則

S