初中數(shù)學自主招生難度講義-7年級專題10 多變的行程問題

專題10多變的行程問題

閱讀與思考

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行程問題的三要素是：距離（s）、速度（v）、時間（t），基本關系是：svt，v，t．

tv

行程問題按運動方向可分為相遇問題、追及問題；按運動路線可分為直線形問題、環(huán)形問題等．其

中相遇問題、追及問題是最基本的類型，它們的特點與常用的等量關系如下：

1．相遇問題

其特點是：兩人（或物）從兩地沿同一路線相向而行，而最終相遇，一般地，甲行的路程＋乙行的

路程＝兩地之間的距離．

2．追及問題

其特點是：兩人（或物）沿同一路線、同一方向運動，由于位置或者出發(fā)時間不同，造成一前一后，

又因為速度的差異使得后者最終能追及前者．一般地，快者行的路程－慢者行的路程＝兩地之間的距離．

例題與求解

【例1】在公路上，汽車A、B、C分別以80千米/時，70千米/時，50千米/時的速度勻速行駛，

A從甲站開往乙站，同時，B、C從乙站開往甲站．A在與B相遇后兩小時又與C相遇，則甲、乙兩

站相距__________千米．

（“希望杯”競賽試題）

解題思路：本例為直線上的相遇問題，可依據(jù)時間關系列方程．

【例2】如圖，某人沿著邊長為90來的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲從A以65

米/分的速度，乙從B以72米/分的速度行走，當乙第一次追上甲時在正方形的（）．

A．AB邊上B．DA邊上C．BC邊上D．CD邊上

（安徽省競賽試題）

解題思路：本例是一個特殊的環(huán)形追及問題，注意甲實際在乙的前面390270（米）處．

【例3】亞州鐵人三項賽在徐州市風光秀麗的云龍湖畔舉行．比賽程序是：運動員先同時下水游泳

1.5千米到第一換項點，在第一換項點整理服裝后，接著騎自行車40千米到第二換項點，再跑步10千

米到終點．下表是亞洲鐵人三項賽女子組（19歲以下）三名運動員在比賽中的成績（游泳成績即游泳所

用時間，其他類推，表內(nèi)時間單位為秒）．

第一換項點第二換項點

運動員號碼游泳成績白行車成績長跑成績

所用時間所用時間

1911997754927403220

19415031105686573652

1951354745351443195

（1）填空（精確到0.01）：

第191號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第194號運動員騎自行車的平均速度是__________米/秒；

第195號運動員騎自行車的平均速摩是__________米/秒；

（2）如果運動員騎自行車都是勻速的，那么在騎自行車的途中，191號運動員會追上195號或194

號嗎？如果會，那么追上時離第一換項點有多少米（精確到0.01）？如果不會，為什么？

（3）如果運動員長跑也都是勻速的，那么在長跑途中這三名運動員有可能某人追上某人嗎？為什

么？

（江蘇省徐州市中考試題）

解題思路：從表格中獲取信息，注意速度、時間的比較是解本例的關鍵．

【例4】一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時．一天，小船從早

晨6點由A港出發(fā)順流行至B港時，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈，

問：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港時需多少小時？

（2）救生圈是何時掉人水中的？

（天津市中考試題）

解題思路：要求小船按水流速度由A港漂流到B港時所需時間，需求兩港間的距離及水流速度，考

慮增設輔助未知數(shù)．

【例5】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時到達學校后，接參觀的師生立即

出發(fā)去縣城，由于汽車在赴校的途中發(fā)生故障，不得不停車修理，學校師生等到7時10分，仍未見汽

車來接，就步行走向縣城．在行進途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比預定到達

縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6倍，汽車在途中排除故障花了多少時間？

（山東省中考試題）

解題思路：從題中比原定時間晚到半小時入手，選好未知量，找出汽車所用時間與師生步趕所用時

間之間的關系．依時間、速度和路程之間的關系列出方程．

【例6】甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發(fā)，在距離B地6千米處相遇，相遇后兩人又繼續(xù)

按原方向、原速度前進，當他們分別到達B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米處相遇，求A，

B兩地相距多少千米？

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：本例有多種解法，可借助圖形輔助分析．

能力訓練

A級

1．某人以4千米/小時的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時的速度從乙地返回甲地，那

么某人往返一次的平均速度是__________千米/小時．

2．汽車以每小時72千米的速度筆直地開向寂靜的山谷，駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到回響，已

知聲音的速度是每秒340米，聽到回響時汽車離山谷的距離是__________米．

（江蘇省競賽試題）

3．甲、乙兩地相距70千米，有兩輛汽車同時從兩地相向出發(fā)，并連續(xù)往返于甲、乙兩地，從甲地

開出的為第一輛汽車，每小時行30千米，從乙地開出的為第二輛汽車，每小時行40千米．當從甲地開

出的第一輛汽車第二次從甲地出發(fā)后與第二輛汽車相遇，這兩輛汽車分別行駛了__________千米和

__________千米．

（武漢市選拔賽試題）

4．上午9時整，時計與分針成直角，那么下一次時針與分針成直角的時間是（）．

58

A．9時30分B．10時5分C．10時5分D．9時32分

1111

（“希望杯”競賽試題）

5．甲、乙兩人同時從A地到B地，如果乙的速度v保持不變，而甲先用2v的速度到達中點，再用

1

v的速度到達B地，則下列結(jié)論中正確的是（）．

2

A．甲、乙同時到達B地B．甲先到B地

C．乙先到B地D．無法確定誰先到

6．甲與乙比賽登樓，他倆從36層的長江大廈底層出發(fā)，當甲到達6樓時，乙剛到達5樓，按此速

度，當甲到達頂層時，乙可到達（）．

A．31層B．30層C．29層D．28層

7．如圖，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A，C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順

時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的4倍，則它們的第2007次相遇在邊

（）上．

A．ABB．BCC．CDD．DA

（湖北省黃岡市競賽試題）

8．甲、乙兩列火車同時從相距120千米的兩地相向行駛，甲速為每小時84千米，乙速為每小時60

千米，則當兩車相距24千米時行駛的時間為（）．

A．40分鐘B．1小時C．1小時或20分鐘D．40分鐘或1小時

9．有一個只允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人，一天王老師到達道口時，

發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能有3人通過道口，此時自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王

老師過道口的時間忽略不計）．通過道口后，還需7分鐘到達學校：

（1）此時，若繞道而行，要15分鐘到達學校，從節(jié)省時間考慮，王老師應繞道去學校，還是選擇

通過擁擠的道口去學校？

（2）若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過

道口），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過逬口，求維持秩序的時間．

（江西省中考試題）

10．某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時行30千米，那么比火車開車時間早到15分鐘，若

每小時行18千米，則比火車開車時間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開車前10分鐘到達火車站，

求此人此時騎摩托車的速度應該是多少？

（湖北省孝感市競賽試題）

11．鐵路旁的一條平行小路上有一行人與一騎車人同時向東行進，行人速度為3.6千米/小時，騎車

人速度為16.8千米/小時，如果有一列火車從他們背后開過來，它通過行人用22秒，通過騎車人用26

秒，問這列火車的車身長為多少米？

（河北省競賽試題）

B級

1．甲、乙兩人從兩地同時出發(fā)，若相向而行，a小時相遇；若同向而行，則b小時甲追及乙，那

么甲、乙兩人的速度之比為__________．

（江蘇省競賽試題）

2．甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘

客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是

__________秒．

（“希望杯”邀請賽試題）

3．某人乘船由A地順流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小時，已知船在靜水中的

速度為每小時7.5千米，水流速度為每小時2.5千米，若A，C兩地的距離為10千米，則A，B的距

離為__________千米．

（重慶市競賽試題）

4．某段公路由上坡、平坡、下坡三個等長的路段組成，已知一輛汽車在三個路段上行駛的平均速

度分別為，，．則該汽車在這段公路上行駛的平均速度為（）．

v1v2v3

111

vvvvvv13

A．123B．123C．D．

111111

33

v1v2v3v1v2v3

（天津市競賽試題）

5．靜水中航行，甲船的速度比乙船快，在水流速度不為零的河流中，甲、乙兩船同時從A港出發(fā)，

同向航行1小時后立即返航，那么（）．

A．甲船先返回A港B．乙船先返回A港

C．甲、乙兩船同時返回A港D．不能確定哪條船先返回A港

（《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題）

6．某商場有一部自動扶梯勻速由下而上運動，甲、乙二人都急于上樓辦事，因此在乘扶梯的同時

勻速登梯，甲登了55級后到達樓上，乙登梯速度是甲的2倍（單位時間內(nèi)乙登樓級數(shù)是甲的2倍），他

登了60級后到達樓上，那么，由樓下到樓上的自動扶梯級數(shù)為__________．

（北京市競賽試題）

7．甲、乙兩同學從400米的環(huán)形跑道上的某一點背向出發(fā)，分別以每秒2米和每秒3米的速度慢

跑．6秒鐘后，一只小狗從甲處以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又從乙處以每秒6米的速度向甲

跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了__________米．