中考數(shù)學(xué)壓軸題題型組合卷

中考?jí)狠S題?題型組合卷（-）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

L在RtZ\48C中，。為斜邊A8的中點(diǎn)，N8=60°,BC=2cm,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)4出發(fā)沿4B向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從

點(diǎn)。出發(fā)，沿折線。?C?8運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)的速度均為到達(dá)終點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AE的長(zhǎng)為1，ZXAE尸的面積

為y,則），與x的圖象大致為（)

2.己知在等腰△/WC中，AB=AC=4S，BC=4,點(diǎn)。從A出發(fā)以每秒逐個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)石從

點(diǎn)4出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在OE的右側(cè)作交直線AC于點(diǎn)凡設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7

秒，則當(dāng)△AQ廠是一個(gè)以人。為腰的等腰三角形時(shí)，/的值為

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.【問(wèn)題提出】在4A6c中，AI3=AC^BC,點(diǎn)。和點(diǎn)A在直線6c的同側(cè)，BD=BC,ZlBAC=a,/DBC=§,

且a+0=12O。，連接A。，求NAO4的度數(shù).（不必解答）

D

BC

圖2

【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究，當(dāng)a=9（）。，0=30°時(shí)，利用軸對(duì)稱知識(shí)，以/W為對(duì)稱軸構(gòu)造△

A80的軸對(duì)稱圖形△A8。'，連接C。'（如圖2）,然后利用a=90°,0=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便

可解決這個(gè)問(wèn)題.

請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：△?BC的形狀是,三角形；NAOB的

度數(shù)為,

【問(wèn)題解決】

在原問(wèn)題中，當(dāng)NO3CVNA8C（如圖1）時(shí)，請(qǐng)計(jì)算的度數(shù):

【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)人作直線交直線BQ于￡其他條件不變?nèi)?C=7,AD=2.請(qǐng)直接

寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)為

4.如圖，拋物線y=--AT+A（3〃?+1）x-m（〃?>_!且為實(shí)數(shù)）與j軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B位于點(diǎn)A的右側(cè)且

333

4BW0A）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含機(jī)的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)〃?=3時(shí)，在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)M,過(guò)M作X釉的垂線交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大

值；

（3）在第四象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得△PC。，△POk和△陽(yáng)B中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊情

況）？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.在RtAA8c中，。為斜邊A4的中點(diǎn)，ZB=60°,BC=2cm,動(dòng)點(diǎn)七從點(diǎn)4出發(fā)沿A3向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)尸從

點(diǎn)。出發(fā)，沿折線D-C-8運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)的速度均為1c〃心，到達(dá)終點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)人石的長(zhǎng)為小ZiAE產(chǎn)的面積

【分析】根據(jù)題意找到臨界點(diǎn)，E,/分別同時(shí)到達(dá)。、C,畫(huà)出一般圖形利用銳角三角函數(shù)表示），即可.

【解答】解：在RtZ\4月C中，。為斜邊A8的中點(diǎn)，NB=60°,BC=2cm,

：,AD=DC=DB=2,NCDB=60°

???EF兩點(diǎn)的速度均為lc〃?/s

,當(dāng)0WxW2時(shí)，y=A-AE-DF-sinZCDB=返也

24

當(dāng)2WxW4時(shí)，y=y-AE-BF-sinZB=---x2+73xf

由圖象可知A正確.

故選：A.

2.己知在等腰△八8C中，AB=AC=^,BC=4,點(diǎn)。從A出發(fā)以每秒注個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)石從

點(diǎn)4出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在?！甑挠覀?cè)作NQEb=N4,交直線4C于點(diǎn)凡設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7

秒，則當(dāng)△4?！ㄊ且粋€(gè)以4。為腰的等腰三角形時(shí)，，的值為一提型京或

【分析】當(dāng)△4￡）尸是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2,只能AD=AF,由題意。/=4/,BE=4t,DF//

BE,推出四邊形8EFO是平行四邊形，由可得地=些，延長(zhǎng)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

BCAB

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上時(shí)，如圖1,過(guò)A作4G_L8C于G,

9：AB=AC=^

/?BG=CG=2,

由勾股定理得：AG=2_22=1,

由國(guó)形可知：N84C是鈍角，

???生^A。尸是一個(gè)以AO為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2,只能AO=AF,

由題意/)"=4，RE=4f.DF//RE,

???匹邊形是平行四邊形，

:.：,DEF=NBDE=NB,

??*IBD-.B-E1,

BCAB

?V5-V5t_4t

..一LF

1=巨，

21

②當(dāng)點(diǎn)尸在C4的延長(zhǎng)線上，A7)=A尸時(shí),

圖3

易笈叢BDEs^CEF,

?BD-BE

ECCF

.V5-V5t_4t

4-4tW

:.小瓶=辛,

?,一5

11

③當(dāng)點(diǎn)?在CA的延長(zhǎng)線上，4。=。?時(shí)，作。N_LAF于MZM1_LCF于例.

設(shè)AM=x,則42-(x+y/~S)2=(加)2-x2,

■.■X—9

5

?:DN//BM,

?細(xì)=歿，

"AMAB，

5

'：DA=DF.DN工AF,

二?A尸=24N=gZA

5

???亞+漢泉=型區(qū)t，

55

?L1

2

綜上所述，滿足條件的/的值為二或巨或』.

21112

故答為巨或二或」.

21112

圖1

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.【問(wèn)題提出】在△ABC中，A8=ACWBC,點(diǎn)。和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC,NBAC=a,NO8c=0,

且a+0=12O°,連接A。，求/AO8的度數(shù).（不必解答）

D

B

圖2

【特例探究】小聰先從特殊問(wèn)題開(kāi)始研究，當(dāng)a=90°,0=30°時(shí)，利用軸對(duì)稱知識(shí)，以48為對(duì)稱軸構(gòu)造△

43。的軸對(duì)稱圖形△A8。'，連接C。'（如圖2）,然后利用a=90°,0=30°以及等邊三角形等相關(guān)知識(shí)便

可解決這個(gè)問(wèn)題.

請(qǐng)結(jié)合小聰研究問(wèn)題的過(guò)程和思路，在這種特殊情況下填空：8。的形狀是等邊三角形;的度

數(shù)為30°.

【問(wèn)題解決】

在原問(wèn)題中，當(dāng)/。（如圖1）M,請(qǐng)計(jì)算/AO6的度數(shù)：

【拓展應(yīng)用】在原問(wèn)題中，過(guò)點(diǎn)A作直線AE_LB。，交直線4Q于E,其他條件不變?nèi)?c=7,AO=2.請(qǐng)直接

寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)為7+亞或7-立.

【分析】【特例探究】①如圖2中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,連接CQ',ADf,由△AB/）0A44Q',

推出△〃’是等邊三角形；

②借助①的結(jié)論，再判斷出BdAD'C,得N4?！疪=NA。'C,由此即可解決問(wèn)題.

【問(wèn)題解決】當(dāng)60°VaW120°時(shí)，如圖3中，作NAB。'=NABD,BD'=BD,連接C。，AD',證明

方法類似（1）.

【拓展應(yīng)用】第①種情況：當(dāng)60°VaW120°時(shí)，如圖3中，作N48。'=ZABD,BD'=BD,連接CO',

AD',證明方法類似（1）,最后利用含30度角的直角三角形求出。￡即可得出結(jié)論；

第②種情況：當(dāng)0°<a<60°時(shí)，如圖4中，作N48。'=NABD,BlY=BD,連接CQ',AD'.證明方

法類似（1）,最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：【特例探究】①如圖2中，作NAB。’=/AB。，BD'=B。，連接CQ',AD',

圉2

?：AB=AC,N84C=90",

，NA8C=45°,

VZD?C=30°,

：.^ABD=ZABC-ZDBC=\5°,

'AB=AB

在△ABO和△AB。'中，，ZABD=ZABDZ

BD=BD'

AZABD=ZABD1=15°,ZADB=ZAD1B,

???/?BC=AABD'+NABC=60°,

'：BD=BD',BD=BC,

:?BD'=BC,

「?△O'BC是等邊三角形，

@VAD,6c是等邊三角形,

：?"B=D'C,NBD'C=60°,

<AD=AD/

在△A。'8和△4￡>'C中，<D'B=D'C

AB二AC

?二△A。'跆△4￡>'C,

???NA。'B=N4。'C,

???NA。'B=1.ZBD,C=30°,

2

/.ZADB=30°.

故答案為：等邊，30°；

【問(wèn)題解決】VNDBCV/ABC,

A60°VaW120°,

如圖3中，作NA8D'=ZABD,RD'=BD,連接C。'，AD',

圖3

9：AB=AC,

???NABC=NACB,

VZBAC=a,

，NABC=2(180°-a)=900■工a,

22

???NABD=ZABC-NDBC=90°■工a-仇

2

同(1)(5)可證448。g448。’，

/.^ABD=ZABD,=90°-工邛，BD=BD',/ADB=NAD'B

2

???/?BC=ZABD,+NABC=90°-L-0+90°-工a=18(T-(a+p),

22

Ya邛=120°,

???NO'BC=60°,

由（1）②可知，△A。'BWAAD'C,

：.AAD'B=ZAD'C,

???NA。'B=L/BD，C=30°,

2

，NAD8=30°.

【拓展應(yīng)用】第①情況：當(dāng)60°<a<120°時(shí)，如圖3?1,

由(2)知，ZADB=30°,

作AEJ_4Q,

在RtZXAO石中，N4/)B=30°,AD=2,

：?DE=近,

???△8CZ7是等邊三角形，

:?BD'=BC=7,

：.BD=BD'=7,

：.BE=BD-DE=1-

第②情況：當(dāng)0°<a<60°時(shí)，

如圖4中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,連接CD',ADf.

同(1)①可證△A3。0△AB。'，

/.ZABD=ZABD1=B-(90°-工)，BD=BD',ZADB=ZAD'B,

2

???NO'=900-A-[R-(900-Xx)]=180°

BC=ZABC-AABD'a-(a+p),

22

：.D'B=D'C,NBD'C=60°.

同（1）②可證△4。'50△A。'C,

/.ZAD'B=ZAD,C,

VZIAD'B+Z1AD,C+/BD'C=360^,

AZADB=ZAD'4=150°,

在RtZXAQ石中，Z/1DE=3O°,4D=2,

，OE=M，

:,BE=BD+DE=7+止,

故答案為：7+J々或7-近.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì).等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

4.如圖，拋物線），=-?+2（3〃?+1）x-m（/〃>2且為實(shí)數(shù)）與大軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)4位于點(diǎn)A的右側(cè)且

（1）填空：點(diǎn)『的坐標(biāo)為（3次0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-團(tuán)）（用含人的代數(shù)式表示）:

（2）當(dāng)m=3時(shí)，在直線BC上方的拋物線上有一點(diǎn)M,過(guò)M作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的

最大值；

（3）在第四象限內(nèi)是否存在點(diǎn)尸，使得△尸CO,△POA和△以8中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊

情況）？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）令x=0,或y=0,可求8,。坐標(biāo)

（2）求出解析式，設(shè)A4（a,?工？+4?3）,則N（a,L?3）,用"表示MN的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)

333

最值問(wèn)題可求MN的最大值.

（3）由。，A,4都在工軸上，且要使△PCO,△POA,△以8中的任意兩個(gè)三角形均相似，則三個(gè)三角形都是

直角三角形.可得布J_x軸.分/。。。=90°和/OCP=9（）°,分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形所得的線段比

可求尸點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：（1）令x=0,則）=-6.

C（0,?〃?）：

令y=0,貝I0=--^+―(3w+l)x-m,

33

Axi=I,X2=3m,

且〃＞」■,

3

???A(1,0),B(3m,0)；

(2)當(dāng)〃?=3時(shí)，則拋物線解析式丁=-12+也廣3；

33

AC(0,-3),B(9,0),

:.直線BC解析式y(tǒng)=1x-3；

設(shè)M(a,--3),則N(a,L-3),

333

:,MN=--3-1+3=-1，3〃，

3333

.?.蘭時(shí)，MN的最大值為&；

24

⑶:。,4,8都在％軸上,

???要使△尸。?！鱌O4△%B中的任意兩個(gè)三角形均相似，則三個(gè)三角形都是直角三角形.

NOPB=90°,

???三邊形。4C尸是矩形，

???OA=CP=1,OC=AP=m；

.OA^AP

?下而

：,nr=(3in-1)X1,

'.nr-3/w+l=0,

_3-A/5

...m\_=-3--+--*^5,nn=-----

22

.?.尸(1,■百巫〉或(i,■3-恒;

22

如圖2,

當(dāng)NOPC=90°，且NOPB=90°,

???點(diǎn)8,點(diǎn)P,點(diǎn)C共線.

???△OCPS^POA,

?APOP.

**0P=oc,

：.OP2=APXOC,

?：NOAP=NOPB=9D°,ZBOP=ZBOP,

：.^POA^^HOPy

.OAOP

**0P=OB'

:.OP2=OAXOB,

：.APXm=lX3mt

：.AP=3,

：,P（L-3）,

綜上所述：尸（1,-3）,（1,匹），（1,-老心■）.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)的最值，相似三角形，利用相似三角形所得線段比例是本題的

關(guān)鍵.

楮品基礎(chǔ)教克教學(xué)資料，僅供參考，宥要可下我便見(jiàn)！

中考?jí)狠S題?題型組合卷（二）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，以正方形ABCD的邊CD為邊向正方形ABCD外作等邊△CZ）E,AC與BE交于點(diǎn)F,則NAFE的度數(shù)是（)

A.135°B.120°C.60°D.45°

2.如圖，在△ABC中，48=AC=2巫，8c=4.點(diǎn)E為8c邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,作/AE/EF與4ABC

的外角/AC。的平分線交于點(diǎn)?當(dāng)E凡LAC時(shí)，七戶的長(zhǎng)為

BECD

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.綜合與實(shí)踐?■旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)

問(wèn)題背景：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以兩個(gè)矩形為對(duì)象，研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問(wèn)題：己知矩形A/3CO

s矩形川夕C。'，它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)0,連接人人'，CC.請(qǐng)你幫他們解決下列問(wèn)題：

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若A'B'〃48,則44'與CC'的數(shù)量關(guān)系是;

操作探究：（2）將圖I中的矩形43CD保持不動(dòng)，矩形4'B'CD'繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a（0°<a<90°）,

如圖2,在矩形A'B'CD1旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

操作計(jì)算：（3）如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)矩形A'B'CD'繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至AA'_LA'D'時(shí)，若A8=6,

BC=8,A'B'=3,求AA'的長(zhǎng).

4.綜合與探究

如圖，拋物線y=■孚x2-^xrG與％軸交于A，8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與)，軸交于點(diǎn)C,直線

I經(jīng)過(guò)B,。兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，連接CM,將線段MC繞點(diǎn)M順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到線段M。，連接C。，3。.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/(/>()),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

備用圖

(1?求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線I的表達(dá)式;

(2)①直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)(用含，的式子表示)，并求點(diǎn)。落在直線/上時(shí)的f的值；

②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段CO長(zhǎng)度的最小值；

(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在直線/上是否存在點(diǎn)P,使得△BDP是等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，以正方形46C。的邊CQ為邊向正方形A6CD外作等邊△CQE,AC與交于點(diǎn)人則NAFE的度數(shù)是（）

A.135°B.120°C.60°D.45°

【分析】易得△回r與AA。小全等，ZAFD=ZAFB,因此只要求出NAFB的度數(shù)即可.

【解答】解：???四邊形ABCO是正方形.

：.AB=ADfNBAF=NDAF.

△AB/7與△AZ）/7全等.

/.ZAFD=/AFB.

?:CB=CE,:?/CBE=/CEB.

?：NBCE=NBCD+NDCE=90°-K）0°=150°,

AZCB￡=15°.

VZACB=45°,

ZAFB=NACB+NCBE=60°.

/.^AFE=\20Q.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形及等邊三角形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC=2^,BC=4.點(diǎn)E為8c邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,作N4E尸=/B,EF與4ABC

的外角NACZ）的平分線交于點(diǎn)凡當(dāng)EEL4C時(shí)，石十的長(zhǎng)為1壁.

【分析】當(dāng)AB=4C,NAE尸=N/3時(shí)，ZAEF=ZACB,當(dāng)EF_LAC時(shí)，N4C4+NCE6=90°=ZAEF+ZCEF,

即可得到AE_LBC,依據(jù)Rt^CFGgRtZXCF”,可得CH=CG=再根據(jù)勾股定理即可得到￡尸的長(zhǎng).

【解答】解：如圖，當(dāng)A8=AC,/A￡/=N8時(shí)，ZAEF=ZACB,

當(dāng)E/_LAC時(shí)，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,

???AE_L8C,

：,CE=^BC=2,

2

又???AC=2M，

，AE=4,￡G=AEX_CE=

AC

???^=7CE2-EG2=-|V5,

作FHLCD于H,

YCF平分NACO,

:,FG=FH,WCF=CF,

ARtACFG^RtACF//,

ACW=CG=-1^/5，

設(shè)EF=x,貝ljHF=GF=x-^x/^，

???RlZXEF”中，EH2+FH2=EF2,

,,,（2+~|^）2+（X-專用2=9,

解得x=l+加，

故答案為：1+J0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等腰三

角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.綜合與實(shí)踐--旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)

問(wèn)題背景：在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以兩個(gè)矩形為對(duì)象，研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問(wèn)題：已知矩形A/3CQS

矩形4夕CD1,它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)O,連接A4',CCf.請(qǐng)你幫他們解決下列問(wèn)題：

觀察發(fā)現(xiàn)：（I）如圖1,若A'B'〃AB,則A4'與CC'的數(shù)量關(guān)系是A4'=CC'；

操作探究：（2）將圖1中的矩形A8CD保持不動(dòng)，矩形A'B'C。'繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a（0°VaW900）,

如圖2,在矩形A'"CD'旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

操作計(jì)算：（3）如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)矩形A'B'CD'繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至AA'±A,。'時(shí)，若A8=6,BC

=8,/VB'=3,求/U'的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

【分析】（1）連接AC、A'C',根據(jù)題意得到點(diǎn)A、4'、C'、C在同一條直線上，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA

=OC,OA'=OC,得到答案；

（2）連接AC、A'C,證明04也△（?'0C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

（3）連接AC,過(guò)。作CEJ_A",交A*的延長(zhǎng)線于E,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出8'C,根據(jù)勾股定理

計(jì)算即可.

【解答】解：（1）AV=CC',

理由如下：連接AC、A'C,

???矩形ABCDs矩形A'B'CD',乙CAB=4C'4'B',

VA'B'//AB,

???點(diǎn)A、A'、C'、。在同一條直線上，

由赳形的性質(zhì)可知，OA=OC,OA'=OC,

???AA'=CC,

故答案為：AA'=CC；

（2）答：（I）中的結(jié)論還成立，AAf=CC'，

理由如下：連接AC、A'C,則AC、AfC都經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，NA'OA=ZCOC,

???匹邊形A8CO和四邊形A'B'CD,都是矩形，

：.OA=OC,OA'=0C,

在AA'04和0c中，

rOA=OC

?NA'OA=NC'OC，

ON=OCZ

???△A'o噲xcoc,

?W=cc；

(3)連接AC,過(guò)C作CE_LA8',交.AB'的延長(zhǎng)線于E,

:矩形A3cos矩形A'B'CD,

■:NEB，C=NB'C'C=ZE=90°，

???匹邊形"ECC為矩形，

：.EC=B'C=4,

AC=2S=10,

在Rt/XABC中，-7AB+BC

在中，

RtZ^AECAE=JAC2_C￡2=2V21?

?W+B'E=2揚(yáng)-3,又A4'=CC=B'E,

：.AAf=2收-3

2

A______________D

s

B\~^C

圖

/A______________D

圖2

AK_______________D

圖1

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.綜合與探究

如醫(yī)，拋物線y=?亞_乂2-^乂+75與x軸交于4

6兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），與y軸交于短C,直線/

33

經(jīng)過(guò)B,。兩點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，連接CM,將線段MC繞點(diǎn)M順

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線I的表達(dá)式；

(2)①直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)(用含f的式子表示)，并求點(diǎn)。落在直線/上時(shí)的f的值；

②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段C。氏度的最小值；

(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在直線/上是否存在點(diǎn)P,使得△8DP是等邊三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)當(dāng)y=0時(shí)，-返乂231xW§=。，解方程求得A(-3,0),B(I,0),由解析式得C(0,

33

的)，待定系數(shù)法可求直線/的表達(dá)式；

(2)分當(dāng)點(diǎn)"在人。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)”在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，進(jìn)行討論可求。點(diǎn)坐標(biāo)，將。點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析

式求得，的值；線段C。是等腰直角三角形CMO斜邊，若C。最小，則CM最小，根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)

的過(guò)程中線段CD長(zhǎng)度的最小值；

(3)分當(dāng)點(diǎn)M在40上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0V/V3時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3W/W4時(shí)，進(jìn)行討論可求尸點(diǎn)坐

標(biāo).

【解答】解：(1)當(dāng))=0時(shí)，.叵乂20巨乂地;。,解得工i=i,x2=-3,

33

???點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，

?"(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,?).

設(shè)直線/的表達(dá)式為)，=h+4將B,。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得〃成--然.

故直線/的表達(dá)式為)，=-a計(jì)加；

(2)當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖

由題意可知人M=1.OM=3-t,MCIM/).過(guò)點(diǎn)。作r軸的垂線垂足為M7DMN+7CMO=^(}°,/CMO+

NMCO=90°,

Z.ZMCO=ZDMN,

在△MCO與△OMN中，

fMD=MC

\ZDCM=ZDMN，

IZCOM=ZMND

；.4MCQg4DMN,

:,MN=OC=蕊,DN=OM=3-i,

：.D(f?3+近,/-3)；

同理，當(dāng)點(diǎn)M在08上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖,

0M=t-3,△MCOg△OMN,MN=OC=0ON=t-3+近,DN=0M=i-3,

：.D(/-3+VS-L3).

綜上得，D(L3+近，L3).

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得r=6-2%，

線段CO是等腰直角三角形CM。斜邊，若C。最小，則CM最小，

在48上運(yùn)動(dòng)，

???蘭CM_L/IB時(shí)，CM最短，CO最短，即CM=CO=J&,根據(jù)勾股定理得CO最小證;

(3)當(dāng)點(diǎn)M在A。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，即0V/U3時(shí)，

???NC4O=60°，

???△4。。是等邊三角形,

：.ZDBP=ZBDP=6（）°，BD=BP,

工NNBD=60。,DN=3-/,AN=l+近,NB=47-近,tan/N80=黑,

3-t=%，解得t=3-遭,

4-t-V3

經(jīng)檢驗(yàn)r=3-立是此方程的解,

過(guò)點(diǎn)P作k軸的垂線交于點(diǎn)Q,易知叢PQBq4DNB,

：.BQ=BN=4-t-43=^PQ=?，00=2,P（2,?代）；

同理，當(dāng)點(diǎn)M在08上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即3W/W4時(shí),

???△BQP是等邊三角形,

:,乙DBP=/BDP=6V,BD=BP,

，NN8Q=60°,DN=t?3,N8=1-3+加?1=，-4+第,tan/N8D=@,

NB

t3

-z-=V3＞解得尸3-加，

t-4+V3

經(jīng)檢驗(yàn)［=3-然是此方程的解，1=3-近（不符合題意，舍）.

故尸（2,-V3）.

【點(diǎn)評(píng)】考杏了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等功三角形

的性質(zhì)，三角函數(shù)，分類思想的運(yùn)用，方程思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

楮品基礎(chǔ)教克教學(xué)資料，僅供參考，宥要可下我便見(jiàn)！

中考?jí)狠S題?題型組合卷（H）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，在正方形ABCD對(duì)角線BD上截取BE=BC,連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,連接AE,過(guò)B作BG_LAE于點(diǎn)G,

交AD于點(diǎn)H,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AH=DF

B.S四邊形EHIG=SADCF+S&AGH

C.ZAEF=45°

D.AABH^ADCF

2.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2-4ax+aJ+2a-3在-1WXW3的范圍內(nèi)有最小值5,則a的值為

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.如圖，拋物線y=?2x2+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,Q）.

2

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷aABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一人動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

4.如圖1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向在AB上運(yùn)動(dòng),

以點(diǎn)M為圓心，MA長(zhǎng)為半徑畫(huà)畫(huà)，如圖2,過(guò)點(diǎn)M作NM_LAB，交。M于點(diǎn)N,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒?

(1)填空：BD=,BM=；(請(qǐng)用準(zhǔn)確數(shù)值或含t的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)0M與BD相切時(shí),

①求t的值；

②求ACDN的面積.

(3)當(dāng)4CND為直角三角形時(shí)，求出t的值.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，在正方形ABCD對(duì)角線BD上載取BE=BC,連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,連接AE,過(guò)B作BG_LAE于點(diǎn)G,

交AD于點(diǎn)H,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AH=DF

B.S四邊形EFHG=SaDCF+SaAGH

C.ZAEF=45°

【).AABH^ADCF

【分析】先判斷出NDAE=NABH,再判斷△ADEW^CDE得出/DAE=NDCE=22.5°,ZABH=Z1)CF,再判斷出

RtAABH也RtZ\DCF從而得到A、D正確，根據(jù)三角形的外角求出/AEF=45°,得出C正確；連接HE,判斷出S

△eHiWSaEFo得出B錯(cuò)誤.

【解答】解：〈BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

AZABE=ZADE=ZCDE=45°,AB=BC,

VBE=BC,

AAB=BE,

VBG1AE,

，BH是線段AE的垂直平分線，NABH=NDBH=22.5°,

在Rt^ABH中，ZAHB=90°?NABH=67.5°,

VZAGH=90°,

AZDAE=ZABH=22.5°,

'DE=DE

在AADE和ACDE中、ZADE=ZCDE=45°，

AD=CD

AAADE^ACDE,

???NDAE=NDCE=22.5°,

AZABH=ZDCF,

rZBAH=ZCDF

在RtAABH和RtADCF中＜AB=CD，

NABH二NDCF

ARtAABH^RtADCF,

AAH=DF,ZCFD=ZAHB=67.5°,

VZCFD=ZEAF+ZAEF,

A67.50=22.5°+ZAEF,

AZAEF=45°,故ACD正確;

如圖，連接HE,

BC.

???BH是AE垂直平分線,

AAG=EG,

???SAAGH=SAHEG?

VAH=HE,

AZAHG=ZEHG=67.5°,

AZDHE=45°,

VZADE=45°,

.-.ZDEH=90°,ZDI1E=ZHDE=45°,

AEll=ED,

???△DEH是等腰直角三角形，

???EF不垂直DH,

.??FHWFD,

SZkEFIlWSaEH），

啦l形田IGuS.iEG+SAEmuS&viG+SaEFH^SziDEF+SzXAGH，故B錯(cuò)誤,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和和三角形

外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出△AI)Eg/\Q)E,難點(diǎn)是作出輔助線.

2.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2-4ax+a+2a?3在?1WXW3的范圍內(nèi)有最小值5,則a的值為4或-8.

【分析】由y=ax2-4ax+a2+2a-3=a(x-2)2+(a2-2a-3)可知當(dāng)a>0時(shí),最小值是a2-2a-3=5,當(dāng)aV

0時(shí)，x=-l時(shí)，y有最小值5,則a+4a+a、2a-3=5,解關(guān)于a的方程即可求得.

【解答】解：y=ax2-4ax+az+2a-3=a(x-2)/+(a2-2a-3),

其對(duì)稱軸為x=2,

當(dāng)a>0時(shí)，最小值是a2?2a-3=5,解得a=4,a2=-2（舍去）；

當(dāng)a<0時(shí)，x=?1時(shí)，y有最小值5,貝ija+4a+a'+2a-3=5,整理得a'+7a-8=0,解得a1=l（舍去），a2=-

8,

所以a的值為4或-8,

故答案為：4或-8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，注意，只有當(dāng)自變量x在整個(gè)取值范圍內(nèi)，函數(shù)值y才在頂點(diǎn)處取最值.而

當(dāng)自變量取值范圍只有一部分時(shí)，必須結(jié)合二次函數(shù)的增減性及對(duì)稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值.

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.如圖，拋物線y=-2x?+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,Q）.

2

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）判斷AABC的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一人動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AACM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，求出b,利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）解一元二次方程求出0B,根泥勾股定理求出AC、BC,根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

（3〕連接BC交對(duì)稱軸于M,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到此時(shí)△ACM的周長(zhǎng)最小，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,

求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】解：（1）丁點(diǎn)A（1,0）在拋物線丫=?1x2+bx+2上，

2

:.-A+b+2=0,

2

解得，b=-3,

2

拋物線的解析式為y=--lx2-Wx+2,

22

y=--lx2-3X+2=-—（x+—）2+-55.,

22228

則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,空）；

28

（2）AABC是直角三角形，

證明：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）,即0C=2,

-Ax2-—x+2=0,

22

解得，X1=-4,x2=l,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4,0）,即0B=4,

0A=l,0B=4,

/.AB=5,

由勾股定理得，AC=加，BC=2加，

AC2+BC2=25=AB\

???△ABC是直角三角形；

（3）由拋物線的性質(zhì)可知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

連接BC交對(duì)稱軸于M,此時(shí)△ACM的周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b,

由題意得，（-4k+b=°,

lb=2

解得，/2,

b=2

則直線BC的解析式為：y=lx+2,

2

當(dāng)x=-3時(shí)，y=。，

24

???當(dāng)M的坐標(biāo)為（-3,?）.

24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)

解析式的一股步驟、軸對(duì)稱-最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

4.如圖1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向在AB上運(yùn)動(dòng),

以點(diǎn)M為圓心，MA氏為半徑畫(huà)圓，如圖2,過(guò)點(diǎn)M作NM_LAB,交0M十點(diǎn)N,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t杪.

（1）填空：BD=15,BM=9-t；（請(qǐng)用準(zhǔn)確數(shù)值或含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)。M與BD相切時(shí)，

①求t的值；

②求的面積.

（3）當(dāng)△（?!□為直角三角形時(shí)，求出I的值.

【分析】(1)先判斷出NBAD=90°,利用勾股定理求出Bl)=15,再由運(yùn)動(dòng)即可得出結(jié)論；

(2)①先判斷出NBEM=NBAD=90°,進(jìn)而得出△BMEs/\BDA,得出比例式建立方程士生上匕即可得出結(jié)

1512

論；

②先求出UN=4,Q)邊上的高為AD-MN=12-4=8,最后用面積公式即可得出結(jié)論；

(3)先得出FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12?2t,分兩種情況，建立方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)???四邊形ABCD是矩形,

AAD=BC=12,ZBAD=90°,

BD=2

在RlZV'BD中，AB=9,BC=12,根據(jù)勾股定理得，7AB+AD2=15,

由運(yùn)動(dòng)知,AM—t.

ABM=AB-AM=9-t,

故答案為：15,9-t；

(2)①如圖1,0M且BD于E,

AME1BD,

/.ZBEM=ZBAD=90°,

VZEBM=ZABD,

AABME^ABDA,

.BHME

???'—"9

BDDA

?9-2t2t

1512

At=2,

②?1祖=人吊=21=4,

ACD邊上的高為AD-MN=12-4=8,

:.S/xCD7=2X9X8=36；

2

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)N作直線FGJ_MN,分別交AD,BC于點(diǎn)F,G,

.\FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t,

.,.DN2=I)F2+FN2=(12-2t)2+(2t))

.\CN2=CG2+GN2=(12-2t)之+(9-2t)2,

①當(dāng)NDNC=90。時(shí)，DN2+CN2=CD)

(12-2t)%(2t)'+(12-2t)+(9-2t)'=81，

化簡(jiǎn)，得4t2-33t+72=0,

：△=(-33)2-4X4X72V0,

，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

②=NDCN=90°時(shí)，點(diǎn)N在BC上，BN=BA=2t=9,

At=4.5,

綜上所述，t=4.5秒.

圖1

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程,

利用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

楮品基礎(chǔ)教克教學(xué)資料，僅供參考，宥要可下我便見(jiàn)！

中考?jí)狠S題?題型組合卷史

(滿分：30分)

一、選擇、填空題(共2小題，每小題3分，共6分)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=，+2r+3繞著它與)，