專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷1

專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷1（共8

套）

（共224題）

專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共10題，每題1.0分，共10分。）

C、1

D、2

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

lim——=0.

知識點(diǎn)解析：注意所給極限為XT8,它不是重要極限的形式，由于一/

即當(dāng)xt8時，”為尢窮小量,而sin2x為有界函數(shù)，利用尢窮小量性質(zhì)可知

lim河2"=lim—,sin2i—0.

rXJ-故選A.

2、下列關(guān)系式正確的是（）

A、djRx）dx=f[x）+C

B、ff（x）dx=f（x）

C、和⑴

=/（x）4-C

D、業(yè)」

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：A,dff(x)dx=f(x)dx；B,ff(x)dx=f(x)+C；C

mj/(x)dr=(j/(x)dr)—/(-r)

,則選C,由C知D不正確.

小"也=

2

3、?J-4-1

A、一A9ar

B、一1

C、0

D、1

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

4也士1與密=o.

知識點(diǎn)解析：因為被積函數(shù)二+1是奇函數(shù)，所以在對稱區(qū)間內(nèi)J、1+11r

4、方程Z=x?+y2表示的二次曲面是（）

A、橢球面

B、柱面

C、圓錐面

D、拋物面

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：要熟記主要的幾個二次曲面的方程表達(dá)式，根據(jù)旋轉(zhuǎn)拋物面的方程知

本題應(yīng)選D

5、若D為x2+y2q所確定的區(qū)域,

A、2

B、兀

C、4兀

D、8兀

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：因為D：x2+y2<l,所以此圓的面積SD=/兀=兀,

所以||土=jjdrdy==兀故選H

If,,w,,-1-ln(cos2j-)

6、已知導(dǎo)函數(shù)y=ktan2x的一個原函數(shù)為3,則k=()

入A——30B-2C-4D——3

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

[|ln（cosar）]=_|x二畸/=一?tan",所以有

知識點(diǎn)解析：由題意.

AtanNr=一JtanZi.則k=—

33故選D.

級數(shù)卻“目

7、M+a(a>0為常數(shù))

A、絕對收斂

B、條件收斂

C、發(fā)散

D、收斂性與a有關(guān)

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：因為原級數(shù)為

（-D"

2(一1尸丁丁?而[?且級數(shù)為。=

A2+.a

■-1M3nntn?級數(shù)，收

<vD"

斂.所以級數(shù)?一收斂.因此原級數(shù)絕對收斂.故選A。

||im/（—+2力）―/（/：>）_

8、設(shè)r（xo）=i,則…h(huán)

A、2

B、1

1

C、2

D、0

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

Hm-2公―

知識點(diǎn)解析：由「(xo)=l可知應(yīng)考慮將?，吧卜化為導(dǎo)數(shù)定義的等價形

lim/（一+2力）一/（&）=lim繆二△乜U=2/（xo）=2.故選A

式.…h(huán)-Lh

9、函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo),且P(x)>0,f'(x)<0,則曲線y=f(x)在(a,b)

內(nèi)()

A、單調(diào)增加且上凹

B、單調(diào)增加且下凹

C、單調(diào)減少且上凹

D、單調(diào)減少且下凹

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：因為F(x)>0,所以函數(shù)Kx)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的，又「(x)V

0,所以函數(shù)f(x)是下凹的，即曲線f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加且下凹.故選B

10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則.J。

A、f(b)=f(a)

B、f(b)

C、一f(a)

D、0

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：由于f(x)為連續(xù)函數(shù)，可知［bf(x)dx存在，它表示一個確定的常數(shù)

值,因此凱，“出=°；故選D

二、填空題(本題共70題，每題1.0分，共70分。)

11、函數(shù)」丁在［1,2］上符合拉格朗日中值定理的爐

標(biāo)準(zhǔn)答案：?二

知識點(diǎn)解析：由拉格朗三中值定理有

"2；升1)=/(￡),解得=2Y=土笈,我中￡=一女(含),得9=女.

12、?y=(1+x2)arctanx,則y'=

標(biāo)準(zhǔn)答案：l+2xarctanx

]

知識點(diǎn)解析：因為y=(l+x2)arctanx,所以y'=2xarctanx+(l+x?)J+"=2xarctan

x+l.

lim/(x)=2,則lim/Xz)=

13、設(shè)f(x)在x=l處連續(xù)，——

標(biāo)準(zhǔn)答案：2

知識點(diǎn)解析：由連續(xù)函數(shù)的充要條件知f(x)在xo處連續(xù)，則

lim/(J)=/(xc)<=>Um/(x)lim/(x)=/().

Y

lim/(-r)—2.

ilim造壬」

14、極限一：才

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

知識點(diǎn)解析：因為所求極限中的X的變化趨勢是趨近于無窮，因此它不是重要極限

,HmA=n.即當(dāng)71-?(8R#?L

的形式，由于,丁為無窮小量.而cosX—1為有界函

I；E1=lim§?(cosi-1)-0.

數(shù).利用無窮小量性質(zhì)知—Xi萬

15、J(x?—l)dx=

Xy3-

標(biāo)準(zhǔn)答案：3”

__JLjj一7+r

知識點(diǎn)解析：J(x~—1)dx=Jx~dxTdx=3

基Jsinr2ck=

16、

標(biāo)準(zhǔn)答案：2xsinx4

Wjsin?dr=([sin/2d/)=sinx**2x=Zxsiru3.

知識點(diǎn)解析：&J。

dzr_j=_______.

17、設(shè)Z=x3y2,則

標(biāo)準(zhǔn)答案：12dx+4dy

2

一0、i空—3/y,孕=a&LI

知識點(diǎn)解析：由z=x12彳導(dǎo)"dy,故dz=3x-y“dx+2x3ydy,尸，

=12dx+4dy.

|IIr2drd>

18、設(shè)區(qū)域D：x2+y2<a2(a>0),y>0,則”化為極坐標(biāo)系下的二重積分的表

達(dá)式為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：Jo7cdM0aAx^Odr

[JTNrcos8,

知識點(diǎn)解析：因為D：x?+y匕2(a>0),yK),所以令‘='即且O0r&,04)q,

@2drdy..、.、

則%._=foIld0joar2cos2O.rdr=fo7ld9foar3cos2Odr.

19、設(shè)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo),且在點(diǎn)xo處取得極小值,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,

f(xo))處的切線方程為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：y=f(xo)

知識點(diǎn)解析：y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，且y=f(x)有極小值f(xo),這意味著xo為f(x)的

極小值點(diǎn).由極值的必要條件可知，必有r(xo)=O,因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo，f(xo))

處的切線方程為y—f(x())=f(x())(x—x())=0,即y=f(xo)為所求切線方程.

v”

20、嘉級數(shù)…"2”的收斂半徑為

標(biāo)準(zhǔn)答案：?女

gL.1

知識點(diǎn)解析:因為級數(shù)為2所以用比值判別法有

處I箕詈卜也I而窘F?衿卜對商不引

2

當(dāng)恬|V1時收斂，即/<2.收斂區(qū)間為(-氏年)，故收斂半徑R=區(qū)

三、簡單解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)

21設(shè)之(工2)=5，求/(1)?

標(biāo)準(zhǔn)答案：令U=x2,則f(x2)=f(u).由于

關(guān)/(/)二二呼4.￡=呼2.2x.

由髓設(shè)存嚕2?2萬=+?即嚕1=/=息從而行，⑺一杰

知識點(diǎn)解析：暫無解析

計算［：警業(yè)?

22、

標(biāo)準(zhǔn)答案：令‘=石3=也dx=2tdt.當(dāng)x=4時，t=2；當(dāng)x=9時，t=3.則有

小嚅丸=1平sinI

'2tdt=2f23sintdt=-2cost|23=2(cos2一cos3).

知識點(diǎn)解析：暫無解析

(In

23、設(shè)f(x)=°3x,求3x

=J/dr=yx1+C.

標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x尸3c3x,f(lnx)=3c3lnx=3x3,

知識點(diǎn)解析：暫無解析

24、試證：|arctanb—arctana|<|b一a|.

標(biāo)準(zhǔn)答案：對于所給不等式，可以認(rèn)定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)

系.因此可以設(shè)y=f(x)=arctanx,不妨設(shè)a<b.則y=arctanx在閉區(qū)間［a,b］上連

續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).進(jìn)而可知，y=arctanx在［a,b］上滿足拉格朗日中直定

理條件，因此必定存在點(diǎn)樂(a,b),使得f(b)-f(a尸F(xiàn)C)(b-a).由于

(arctani)'=,J、？,

1-+-y

從而有

arctanb-arctana=?(a<6),

Iarctanh-arctana\~丁匕|6-a!

1-rc?由于1+42>1,因此

larctanb-arctana|<|b-a|.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

可+?業(yè)dy,

25、計算噂，其中D為x2+y2g2y與xK)的公共部分.

X

標(biāo)準(zhǔn)答案：采用極坐標(biāo)，則D可表示為把把彳，0<r<2sin9,

J4~一心力=9r-rdr=J：y/=呈,sii?掰

=—(1-cos汨)decs0二竽.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

2LHz3z

26、設(shè)z=f(u,v),而u=x?y,v=*其中f(u,v)存在偏導(dǎo)數(shù)，求證辦

Jzf)zdu.f)Zt)VOzt)zi)udz<iv

標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t有以'“以加山力八'?！?由

迦=2z,也=上?.匹=一無蟲=_L

于所給Z=f(u,V)為抽象函數(shù)，而紅.川女尸川小于是

空=M?2Q+弘?(-3)=2Q笠-4￥，

己工dut)vXXft)U.r*etv

%=2?？+U._L=/U+_L.U.

f)ut)uj,t)uJTdu

知識點(diǎn)解析：暫無解析

27、判定級數(shù)名?的收斂性.若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？

標(biāo)準(zhǔn)答案：所給級數(shù)是任意項級數(shù)，不是交錯級數(shù).由于

(_])”0IsinfI&與.之士為戶=5

?川水又由于￡晨2的p級數(shù)，因而收斂.由正項

y(_i).題五

收斂?從而￡(一1尸四1聲絕對收斂.

級數(shù)的比較判別法可知瞋々/

知識點(diǎn)解析：暫無解析

28、求y”+6y'+l3y=0的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為J+6r+13=0,故『一3±2i為共輛復(fù)根，于是通解為y=e「

3x（Cicos2x+C2sin2x）.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套

一、選擇題（本題共10題，每題1.0分，共10分。）

所3

1、設(shè)f（o）=o,且r（o）存在，則上7x=（）

A、r（o）

B、2f（0）

C、f（0）

力（0）

D、2

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

“2”衛(wèi)

知識點(diǎn)解析：此極限屬于不型，可用洛必達(dá)法則，即石，故選B。

/-1=■+2_z.工=y+1=z+5

2、設(shè)有直線h：12A*2：24-一1,當(dāng)直線h與［2平

行時,入=()

A、1

B、0

1

D、-1

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：本題考查的知識點(diǎn)為直線間的關(guān)系。直線

小口=山=84.3=x±l=￡±i

12；24-1,其方向向量分別為S尸{1,2,

1_2一21

九），S2={2,4,-1）.又hlim則24-1,從而入=2,故選c。

3、設(shè)Mf（t）dt=xsinx,則f（x）=（）

A>sinx+xcosx

B、sinx-xcosx

C、xcosx-sinx

D、-(sinx+xcosx)

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：在Mf(l)dl=xsinx兩側(cè)關(guān)于X求導(dǎo)數(shù)，有f(x)=sinx+xcosx。故選A。

4、設(shè)f(x)=sin2x,則『(0)=()

A、-2

B、-1

C、0

D、2

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：由f(c)=sin2x可得E(x)=cos2x(2x)'=2cos2x,f(0)=2cos0=2,故選D。

衛(wèi)

5、設(shè)2=*丫+丫，則辦uh=()

A、e+1

C、2

D、1

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

必=三mz+1,所以衛(wèi)

知識點(diǎn)解析：因為力力Ce,l)=elne+1=e+lo故選A。

6、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,0上可導(dǎo),且f(x)>0,則()

A、f(l)>f(O)

B、f(l)<f(O)

C、f(l)=f(O)

D、f(l)與f(0)的值不能比較

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：由r(x)>()說明f(x)在［0,1］上是增函數(shù)，因為i>o,所以f(i)>

f(0)o故選A。

7、曲線y=x-3在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為()

A、-1

B、-2

C、3

D、-4

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，若y=f(x)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)(xo,f(xo))處必定

存在切線，且該切線的斜率為r(xo)。由于y=x,,y，=-3x",y1x=l=-3,可知曲線

丫二乂小在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為-3,故選C。

8、方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是()

A、橢球面

B、錐面

C、旋轉(zhuǎn)拋物面

D、柱面

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：對照二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，可知所給曲面為錐面，故選B。

9、設(shè)yi，y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p?'+p2y=0的兩個特解，則

Ciyi+C2y2()

A、為所給方程的解，但不是通解

B、為所給方程的解，但不一定是通解

C、為所給方程的通解

D、不為所給方程的解

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：如果yi，y2這兩個特解是線性無關(guān)的，即“WC,則Ciyi+C2y2是其

方程的通解?，F(xiàn)在題設(shè)中沒有指出是否線性無關(guān)，所以可能是通解，也可能不是通

解，故選B。

oog

WaS

10、設(shè)UnWaun(n=l,2,...)(a>0),且”】收斂,則…()

A、必定收斂

B、必定發(fā)散

C、收斂性與a有關(guān)

D、上述三個結(jié)論都不E確

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

ooOQ

知識點(diǎn)解析：由正項級數(shù)的比較判定法知，若UnWUn，則當(dāng)”7收斂時，也

OO

X4

收斂；若-I也發(fā)散，但題設(shè)未交待Un與Un的正負(fù)性，由此可分析此題選D。

二、填空題(本題共70題，每題1.0分，共70分。)

：lim3

U、若isinx=_2,則@=

標(biāo)準(zhǔn)答案：-2

Uim皿3=limacos(ar)

因為IsinxCOSX_

知識點(diǎn)解析:-an，所以a=-2o

12、設(shè)sinx為f(x)的原函數(shù)，則f(x)=o

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

知識點(diǎn)解析：因為sinx為f(x)的一個原函數(shù)，所以f(x尸(sinx)，=cosx,f(x)=-sinxo

13、設(shè)y=/+sinz,則丫，=o

sin7一-cos工

標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+sina：/

'-2+sin彳一7(1+cosT)_sin/—axos彳

知識點(diǎn)解析：一(x4-sinx)2(x+sinz)2,

14s/x(x^-5)4dx=o

?d-5>+C

標(biāo)準(zhǔn)答案：10

JxCx2—5)4d,r=yj(x2—5)4d(xz—5)

=-yX~(x2-5)5+C=^(x1-5)5+C.

知識點(diǎn)解析：L>10

15、如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

。使得f(b)-f(a尸。

標(biāo)準(zhǔn)答案:f?(b-a)

知識點(diǎn)解析：由題目條件可知函數(shù)f(x)在［a,b］上滿足拉格朗日中值定理的條件,

因此必定存在一點(diǎn)樂⑶b),使f(b)-f(a尸r?(b-a)c

dz

16、設(shè)z=sin(x2y),則=。

標(biāo)準(zhǔn)答案:x2cos(x2y)

dzHzHu

2222

知識點(diǎn)解析：設(shè)u=xy,則z=sinu,因此=cosu.x=xcos(xy)0

d2z

17、二元函數(shù)z=x2+3xy+y2+2x,則"內(nèi)=。

標(biāo)準(zhǔn)答案：3

所以學(xué)=2o:+3y+2,=3.

知識點(diǎn)解析：因為z=x2+3xy+)2+2x,"

18、交換二重積分次序Jo】dxJx2Xf(x,y)dy=

/(z,y)cLr.

所以先對x的積分為

19、設(shè)中(x尸H]n(]+i)d【，則①"(x尸.

]

標(biāo)準(zhǔn)答案：1+”

]

知識點(diǎn)解析：用變上限積分公式(Hf⑴dt)=f(x),則①，(x尸ln(l+x),①”(x尸1+工

20、微分方程y=x的通解為。

工2

?Xi八

y=方十C

標(biāo)準(zhǔn)答案：2

知識點(diǎn)解析：本題考查可分離變量的微分方程.分離變量得dy=xdx,兩端分別積

分JdyTxdx,"親"C

三、簡單解答題(本題共5題，每題7.0分，共5分0)

21、求函數(shù)y=Gsin3”在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)y,|

X=Qx=0o

標(biāo)準(zhǔn)答案：

y=^xsin3x,則

y=(工F)'sin3z+匹(sin3ar)'=-Az=.sin3x4-3^xcos3x.

在點(diǎn)］=0處導(dǎo)函數(shù)？'=T=^sin3z+3江cos3z沒有定義.由導(dǎo)數(shù)定義有

3vxz

即￡3二八°)=limfe3x2L0=3.般?*=0,

知y'|x=o=O。

知識點(diǎn)解析：此題如果先求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)y'后，再代入x=0便得y，沒有意義。所

以此題只能利用導(dǎo)數(shù)的定義式，即Rx())=尸?］一例的方法來求。

22、計算I1,

1.e2j-l1,2腎

lim-----=lim-r-=29

標(biāo)準(zhǔn)答案：利用洛必達(dá)法則：才「71o

Q

知識點(diǎn)解析：本題考查的知識點(diǎn)為利用洛必達(dá)法則求“亍”型極限，或利用等價無窮

小量代換簡化求極限運(yùn)算。

4(一—1)

23、設(shè)丫=/-2,求所給曲線的水平漸近線與鉛直漸近線。

［11lim/(x)=lim虻三飛———2=2

標(biāo)準(zhǔn)答案：->L/」，可知y=2為水平漸近線：

由四八幻=為［9/-2b8可知x=0為鉛直漸近線。

知識點(diǎn)解析?：解本題的關(guān)鍵是要知道函數(shù)y=f(x)的水平漸近線和鉛直漸近線的判定

lim/(x)lim/(x)

方法。即：(1)如果L"=00,則稱X=xo是一條鉛直漸近線；(2)如果LX

=C,則稱廣C是一條水平漸近線。

24、求由曲線y=2-x2,v=x(xK))與直線x=0所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生

成的旋轉(zhuǎn)體體積。

標(biāo)準(zhǔn)答案：由平面圖形agxgb,OWygy(x)所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成

b2

的旋轉(zhuǎn)體體積為Vx=7tfay(x)dxo畫出平面圖形的草圖(如圖所示)，

則所求體積為0<x<l,0W加2-x?所圍成的平面圖形繞x軸

旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積減去0<x<l,0<y<x所圍成的平面圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)一

周所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。

當(dāng)時,由°=2_〃，得了=：,

a=1\y=1.

22

V=Trf[(2-x*)—xAr=K(4—5v+z')d_r

J00

知識點(diǎn)解析：就一般情況而言，如果有兩條曲線y二f(x),y=g(x)(假設(shè)f(x)Ng(x))與

x=a,x=b(a0b)所圍成的平面繞x軸旋轉(zhuǎn)一周后所成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式為：

b22

Vx=7lfalf(X)-g(X)]dXo

1+z

arctan

25、將f(x)二】一/展開為x的累級數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)答案：所給f(x)與標(biāo)準(zhǔn)展開級數(shù)中的形式不同，由于

■"tan罟)'=/=￡(一1)?).

QO

=Z(-Di，-1VzV1,

w-0

因而￡(arctandr=(arctan|；

=JoE(一1尸產(chǎn)"山=1)”產(chǎn)dz

，I2<

2f1

即有arctan------arctanl=—1)*s—L—rx*.

仁2〃+】

故arctan1^二手+￡(-1尸(一[<z<1).

r/\.1T-JC

f\x）=arctan-：----

知識點(diǎn)解析：不容易直接展開為累級數(shù)形式.但是對其求導(dǎo)

,（X_]

后所得函數(shù)，即“-1+父是常見函數(shù),它的展開式是已知的。這樣我們就

得到r（x）的累級數(shù)展開式，然后對其兩邊積分，就可以得到f（x）的展開式。

四、復(fù)雜解答題（本題共3題，每題1.0分，共3分0）

yOzdz

26、設(shè)z=f(u,u),而u=x2y,i,)=x,其中f(u,u)存在偏導(dǎo)數(shù)，求az'ay；

標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t有

~8z—d—z—d—uI,~dz~—d—v',dz,■■—3―zdu-I.dz1dv1.

8x3udxdydudydvdy

由于所給Z=/(u,v)為抽象函數(shù)，而非=2xy,|^==—j噂=3

是

于

=泉?2卬+戈?(一號12xy與￡一a5A

dudv\X/duXidv

=紅.工2+紅.工=12亞+_1.亞

duduIduXdu

知識點(diǎn)解析：本題考查的是抽象函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法。題中已給出u=x2y,u=

N,所以直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t即可。

點(diǎn)_]）■嗎

27、判定級數(shù)“T的收斂性，若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂?

標(biāo)準(zhǔn)答案；所給級數(shù)是任意項級數(shù)，不是交借級數(shù)。由于

（7尸呼=1^盧之彳為

〃1力又由于'的p級數(shù)，因而收

斂。由正項級數(shù)的比較判別法可知

g（一1尸呼1

收斂,從而它（一1尸嗎反

絕對收斂.

n2

知識點(diǎn)解析：這是一道任意項級數(shù)判斷斂散性的題，首先清楚如果給了一個任意項

級數(shù)

（一1）\“那么先看看￡|（一Dk|是否收斂.如收斂，則原級數(shù)W（T）k絕對收

??】1T-1

斂.如玄1（一I發(fā)散，但原級數(shù)士（一1），“收斂惻稱￡;（一D&條件收斂?具體如

用一IR-1!!?】

法如下：

28、求y”+6y'+l3y=0的通解。

標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為J+6r+13=0,故r=-3±2i為共規(guī)復(fù)根，于是通解為y=b

3x（Cicos2x+C2sin2x）。

知識點(diǎn)解析：本題考查二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解.。

專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套

一、選擇題（本題共70題，每題74分，共加分0）

1、

若XT/時，a（x）＞A㈤都是無窮小3工0），則XT%時，烏3

B（x）

A.為無窮小B.為無窮大

C.不存在，也不是無窮大D.為不定型

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：

根據(jù)無窮小運(yùn)算性質(zhì)，當(dāng)a(x)、夕㈤是無窮小時，誓為

PW

不定型；當(dāng)XTO時，％(x)=x,a3(x)=2x,則

由啦?為非零數(shù)值；

…%(x)

lim冬尹為無窮?。?/p>

11m任?為無窮大.

若記＜=xsinL,則li1n412不存在，也不為無窮大.

X3卬X)

2、

X2-3x+29

設(shè)f(x)在點(diǎn)x=2處連續(xù)，且f(x)=~x-2-'?貝Ua=

ax=2

A.0B.1

C.2D.任意值

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：

由于limf(幻=lim--3%+2=.巾'二2)(x二D=匕又f(x)在％=2

12i2x-2J2X-2

處連續(xù)，tta=/(2)=Hm/(x)=l

因此選B.

3、

設(shè)y=sin2x,則y，二

A.2COSJCB.cos2r

C.2cos2xD.cosx

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：由鏈?zhǔn)椒▌t可得(sin2x)'=co§2x?(2x)'=2cos2x,故選C.

4、

函數(shù)/(x)=2?-9x2+12x-3單調(diào)減少的區(qū)間為

A.(-00,11B.[1,21

C.[2,+?)D,[l,+oo)

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

/(X)=2?-9f+12x-3的定義域為(YO,R),

fXx)=6X2-18X+12=6(X2-3X4-2)=6(X-1XX-2)

令f'(x)=0得駐點(diǎn)XI=1,Xj=2.

當(dāng)x<l時，/'(x)>0,單調(diào)增加.

當(dāng)lvx<2時，r(x)<0,/(x)單調(diào)減少.

知識點(diǎn)解析：當(dāng)">2時，/^)>0,f(x)單調(diào)增加.因此知應(yīng)選B.

5、

設(shè)/(x)=e3",則在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f=(0)=

A.1B,3

C.9D.9e

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：/(x)=e"，/'(x)=3e3x，/?a)=9e3x，r(o)=9,因此選c.

設(shè)】nx是f(x)的一個原函數(shù)，貝IJ/3二

C.一

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

由原困數(shù)概念，Inx是f(x)的一個原函數(shù)時，有f(x)=(lnxy=L

f'(x)=

知識點(diǎn)解析:

7、

設(shè)貝仔二

A.yx'TyxJ

C.xy\nxx'lny

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

求衿,可以將y認(rèn)定為常數(shù)，則z/認(rèn)定為x的零函數(shù),

察=盧尸)應(yīng)選A.

知識點(diǎn)解析：dx

設(shè)區(qū)域0=((x,y)ITWxWl,OWy近2},則Jjdxd產(chǎn)

A.1B.2

C.3D.4

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：

JJdxdy的值等于區(qū)域。的面積，。為邊長為2的正方形，面積為

D

4,因此選D.

9、

設(shè)￡（一1廣&滿足4+1>0,n=L2,…,且lima”=0,則該級數(shù)

n-i…

A.必條件收斂

B.必絕對收斂

C.必發(fā)散

D.收斂但可能為條件收斂，也可能為絕對收斂

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：

級數(shù)是交錯級數(shù)，由題設(shè)條件可知其收斂.如工條件收斂，

2n

■1

￡（一1）1々?絕對收斂，因此選D.

Mln

10、

微分方程=的一個特解應(yīng)具有形式為（式中〃、b為常數(shù)）

A.ae'B.axe”

C.aex+bxD.axex+hx

A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B

知識點(diǎn)解析：

方程/-y=0的特征方程是，2一1=0,特征根為門=1,rz=-l.

方程y"-y=e"中自由項力（x）=e"，a=1,是特征單根，故應(yīng)設(shè)定,axex.

二、填空題（本題共10題，每題1.0分，共10分。）

11、

設(shè)lim一^——=1>貝Ua=________.

Hsin（x-1）

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

知識點(diǎn)解析：

當(dāng)*T1時，sin（r-l）->0,故xf1時，好一1應(yīng)為無窮小量，從而《一t.

12、

加）=*的間斷點(diǎn)為——

標(biāo)準(zhǔn)答案：x=-3

，、-j.由于x=-3時，呵二2沒有定義，因此x=-3為間斷點(diǎn).

知識點(diǎn)解析：x+3

13、

設(shè)fa）=Hx-i）,貝廳'（1）=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：1

知識點(diǎn)解析：J'=2x-Ly'k=l-

14、

如果y=ax是y=lnx的切線，則。=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：1/e

知識點(diǎn)解析：

設(shè)切點(diǎn)為（4，%）,則該點(diǎn)是y=ax與y=lnx的公共點(diǎn)，

故應(yīng)有axo=lnxo，又y=ax的斜率。應(yīng)為何比次，即有a=—?x0=—.

XQa

"。=加/11

由《1有l(wèi)=ln—,可解出。=一.

xQ="ae

15、

定積分J^sinx3dx=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：0

設(shè)/（xWsinF

知識點(diǎn)解析：則佝為奇函數(shù),積分區(qū)間為對稱區(qū)間，故定積分為整

16、

設(shè)z=/Q，y)=7+y2-研則改=.

標(biāo)準(zhǔn)答案：(2x-y)dx+(2y-x)dy

f(x,y)^x2+y2-xy

從而廣：a，，)=2x-y；:f；(x,y)=2y-x,于是

知識點(diǎn)解析：氏=(2ay)dx+(2y-乃??

17、

函數(shù)〃幻=，廣孑山的上凹區(qū)間是.

標(biāo)準(zhǔn)答案：（心,2）

知識點(diǎn)解析：

fXx）=e0-?/#（x）=（4-2x）e0-?

令/，（幻=0,由4-2x=0得x=2?當(dāng)x<2時，/*（x）>0；當(dāng)x>2時，/*（x）<0,故

/（X）的上凹區(qū)間是（7,2）.

18、

過點(diǎn)Mi（L2,-1）且與平面x-2y+4z=0垂直的直線方程為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

x-ly-2_z+1

由于直線與平面x-2y44z=0垂直，可取直線方向向

量為（1,-2,4）,因此所求直線方程為?=釁=年.

知識點(diǎn)解析：1一24

19、

若級數(shù)￡-（-i）i1々條件收斂（其中加）為常數(shù)），則％的取值范圍是.

萬?】〃

標(biāo)準(zhǔn)答案：OVkWl

知識點(diǎn)解析：

匕＞1時，級數(shù)各項取絕對值，得正項級數(shù)￡」，是收斂的p一級

數(shù)，從而原級數(shù)絕對收斂.當(dāng)04W1時，由萊布尼茨交錯級數(shù)收斂性條件可判明原級數(shù)收斂且

條件收斂.因此應(yīng)有0V&&1.

20、

二階常系數(shù)齊次線性方程y”=0的通解為.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

y=G+

r=o,特征方程為/=o,特征根為=o（二重根），于是

知識點(diǎn)解析：二階常系數(shù)齊次線性方程的通解為）=G+CK,

三、簡單解答題（本題共5題，每題1.0分，共5分。）

21、

求."4皿

IJsin/dz

標(biāo)準(zhǔn)答春

解原式=lim匚竿

Dsinx

日

r~2

=iim-5-

*一。x

as1■■

2

知識點(diǎn)解析：暫無解析

22、

求JjCr+y）dzdy,其中區(qū)域。是由曲線y=1+/1=/心=0與2=1所圖成.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解積分區(qū)域D如右圖所示.

D可以表示為

原式=[dij2(x4-yydy

riii+/

=]4+獷)/dx

=I*(xJC24-

Jo./

=(9+。+尹1

4O40

=_￡

一~3

知識點(diǎn)解析：暫無解析

23、

已知廣=：.求X作時空的值.

\y=ecost3dz

標(biāo)準(zhǔn)答案：

立

=-cost-e'sinf

dxe'sinr+e'cost

cos￡—sine

sine+cost

nn

COSy—Siny

故影

K.n

sin—+cos—

J3

=用—2.

知識點(diǎn)解析：暫無解析

24、

求微分方程xyf—V=x2的通解.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

/1

y——y=x.

y=e-8([①J加di+c)

=(pre-81rd;r+c)

—eXfxe-Xdx+c)

=x(jx?+<lz+c)

知識點(diǎn)解儲卷無鐮斤

25、

設(shè)z=z（z,y）由3+4+3//2+2%=1確定,求張,

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解將所給方程兩端關(guān)于X求偏導(dǎo)數(shù)，可得

2x+3>'（^+2xz1^）+2,=0,

可解得

dz2#+31yg

dx2{3iyz+1），

將所給方程兩端關(guān)于y求偏導(dǎo)數(shù)，可得

3.+3工（.+2尸'）+2.=0.

可解得匹=_.3（/十我2）

J冊華dx2（3邙+1”

知識點(diǎn)解析：暫無解析

四、復(fù)雜解答題（本題共3題，每題7.0分，共3分0）

26、

rfsinzcosz

計算dx.

o1+cos2x

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解原式=一『.qos%dcosz

Jo1H-COSX

____d(l+cos21)

2Jo1+cos2x

=—^-ln(l+cos2x)

Zo

=W"ln2?

知識點(diǎn)解析：暫無解析

27、

設(shè)區(qū)域D為：7+丁44Q20,計算j在不丁也

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

0《?！杜?04廠<2,

0+「dxdy=J。曲J。r2dr

=J：R)

=J；I"/=%?

知識點(diǎn)解析：暫無解析

28、

曲線/十2叩+3=0上哪點(diǎn)的切線與x軸正向所夾的角為十?

標(biāo)準(zhǔn)答案：

解將3?+2xy+3=0對“求導(dǎo)，得

2yyf+2（y+q'）=0

欲使切線與x軸正向所夾的角為手，只要切線的斜率為1,即

4

——=1?

x-Vy

亦即z+2y=0,

設(shè)切點(diǎn)為Gr。，”）?則

x0+2%=0①

又切點(diǎn)在曲線上，即

%2+21royo+3=0②

由①，②得”=士1,10=干2

即曲線上點(diǎn)（一2,1）,（2,—1）的切線與#軸正向所夾的角為手.

4

知識點(diǎn)解析：暫無解析

專升本（高等數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套

一、選擇題（本題共70題，每題1.0分，共10分。）

1、當(dāng)x-0時，下列變量中為無窮小的是（）

A、1山?

sinl/x

C、cotx

D、-1z

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：本題考查了無窮小量的知識點(diǎn).x-0時，Iglxl—~~co,sinl/x無極

限，coix-s,G77-。，故選口.

2、設(shè)函數(shù)y=2x+sinx,則y'=()

A^1-cosx

B、1+cosx

C、2-cosx,；C

D^2+cosx

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：本題考查了一階導(dǎo)數(shù)的知識點(diǎn).因為y=2x+sinx,貝ijy=2+cosx。

3、設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(sin2x)=cos2x,且f(0)=0,則f(x)=()

2

A、cosx+1/2cosx

2

B、sinx—l/2sinx

C^sin2x一l/2sin4x

D、x—l/2x2

標(biāo)準(zhǔn)答案：D

知識點(diǎn)解析：本題考查了已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)的知識點(diǎn).由P(sin2x)=cos2x,知

f(sin2x)=l—sin2x.令Fsi/x,故F(u尸=1一u.所以f(u)=u-l/2u2+C?由

f(0)=0,得C=0.所以￡x)=x—1/2x2.

4、?Jf(x)dx=x2+C,則Jxf(l—x2)dx=()

A、一2(1—x2『+C

B、2(1-x2)2+C

C、一1/2(1-x2)2+C

D、1/2(1-x2)2+C

標(biāo)準(zhǔn)答案：C

知識點(diǎn)解析：本題考查了換元積分法的知識點(diǎn).Jxf(l—x2)dx=l/2jf(l—x2)d(l—

x2)=-1/2(1—x2)2+C.

<1+x)(l4-2x)(1+3i)+u

hm--------------------------------------

5、lim"J=6,則a的值為()

A、一1

B、1

C、一1/2

D、2

標(biāo)準(zhǔn)答案：A

知識點(diǎn)解析：本題考查了洛必達(dá)法則的