專(zhuān)題 分類(lèi)討論思想在五種題型中的應(yīng)用 中考數(shù)學(xué)

專(zhuān)題15分類(lèi)討論思想在五種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

1.假設(shè)結(jié)論成立；

2.找點(diǎn)：當(dāng)所給定氏未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如不：

①當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿(mǎn)足直線(xiàn)的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與坐

標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；

②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定氏的垂直平分線(xiàn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)

有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添

加輔線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解

題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

1.設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長(zhǎng)的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點(diǎn)F（l,f）,

△BCF三邊長(zhǎng)為："=4+/，療=/+6/M0,BC=18；

2.找點(diǎn)：根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論：

①當(dāng)定長(zhǎng)（已知的兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)所成的線(xiàn)段）為直角三角形的直邊時(shí)（如本題（4）中的邊BC）,分

別過(guò)定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)（B和C）做其垂線(xiàn)，與所求點(diǎn)滿(mǎn)足的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)（本題是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸）有

交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；

②當(dāng)定長(zhǎng)為直角角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所有點(diǎn)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)有交

點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形各邊（表示線(xiàn)段

時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)），再利用相似三角形得比例線(xiàn)段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

題型三、不等式（組）中的分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問(wèn)題，在

求其解集時(shí)要對(duì)字母進(jìn)行分類(lèi)討論。

對(duì)含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時(shí)一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類(lèi)討論。

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論思想

在函數(shù)問(wèn)題中,分類(lèi)有兩種情況：?種是對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi),一種是分情況討論問(wèn)題,對(duì)概念進(jìn)行分

類(lèi)，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對(duì)概念的理解與掌握；分情況討論問(wèn)題，可以幫助我們?nèi)?/p>

面考察一個(gè)對(duì)象，得出可能的結(jié)論，也可以使問(wèn)題更容易人手，分類(lèi)思想方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)是比較

難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅(jiān)持用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行分類(lèi)，出現(xiàn)“重〃或“漏〃的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生

題型五、圓中的分類(lèi)討論思想

由于圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會(huì)出現(xiàn)多解問(wèn)

題。這類(lèi)題目重在考查同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯

思維能力。如果解題時(shí)考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢(shì)，就會(huì)漏解，從而造成錯(cuò)誤。在圓

中解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要利用分類(lèi)討論思想，在解題時(shí)可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。

壓軸題預(yù)測(cè)

題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

1.（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)y="+為常數(shù)，女工0）的匆象與反比例函數(shù)），='（帆為常數(shù)，〃叱0）

的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)8（-3,0）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)尸在x軸上，A/M是以?為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線(xiàn)丁=-%2+以+。與x軸交于點(diǎn)4—1,0）、B,與），軸交于點(diǎn)CQ3）,直

線(xiàn)/是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

（I）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;

（2）在對(duì)稱(chēng)軸/上是否存在點(diǎn)M,使AM4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.12023?婺城區(qū)模擬）在矩形ABCZ）中，AB=4,AD=10,石是4）上的一點(diǎn)，且AE=2,M是直線(xiàn)反

上一點(diǎn)，射線(xiàn)ME交直線(xiàn)CD于點(diǎn)尸，EG_LME交直線(xiàn)3CF點(diǎn)G,連結(jié)MG、FG,直線(xiàn)FG交直線(xiàn)AD于

點(diǎn)N.

（1）①當(dāng)點(diǎn)M為■中點(diǎn)時(shí)，求。尸與EG的長(zhǎng);

②求震的值.

(2)若AEGN為等腰三角形時(shí)，求滿(mǎn)足條件的AM的長(zhǎng).

D

4.：2023?濮陽(yáng)縣模擬)在等腰直角三角形ABC中，NAC8=90°,4c=BC,點(diǎn)P為直線(xiàn)/W上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

繞點(diǎn)C將射線(xiàn)CP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，交直線(xiàn)鉆于點(diǎn)Q.

在圖I中，將AAPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到A/M/C,連接MQ,

VZACP+ZBCC=45°,ZACP=ZBCM,

:"MCQ=45o=/PCQ,

又CP=CM,CQ=CQ,

.?.APCQ三AMCQ.

請(qǐng)閱讀上述過(guò)程，并完成以下問(wèn)題:

（1）得出APCQWAMCQ的依據(jù)是(填序號(hào)).

①SSS

②SAS

③A4S

?HL

(2)在以上條件下，如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段84的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：PQ，=AP?+BQL

(3)在等邊三角形力4c中，4c=2,點(diǎn)尸為射線(xiàn)84上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線(xiàn)CQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交直

線(xiàn)附于點(diǎn)Q,將AAPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到MMC,連接MQ,當(dāng)MMQ為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接

寫(xiě)出AP的長(zhǎng).

5.（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形A3CD中，AB=kBC（0<k<\）,將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

a度（0<。<90）得到線(xiàn)段AE,過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線(xiàn)交射線(xiàn)8于點(diǎn)”，交射線(xiàn)4）于?點(diǎn)M.

D

B'-------------fC

備用圖

［嘗試初探］

（1）當(dāng)點(diǎn)M在4）延長(zhǎng)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，㈤上與N4A柜始終相等，且AAEW與MDM始終相似，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

［深入探究］

（2）若k=L,隨著線(xiàn)段的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)”的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)C〃=?C。時(shí)，求tana的值;

24

［拓展延伸］

（3）連接￡D,當(dāng)AEDM為等腰三角形時(shí)，求tana的值（用含攵的代數(shù)式表示）.

3

6.(2023?虹口區(qū)一模)如圖，在A48C中，AB=AC=1O,sin5=-,點(diǎn)D、石分別在邊胡、BC上,

5

滿(mǎn)足NC7)E=N4.點(diǎn)/是￡陀延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且NECF=ZACD.

(1)當(dāng)點(diǎn)。是4?的中點(diǎn)時(shí)，求tanNBC/)的值;

(2)如果力。=3,求式的值：

DE

(3)如果ABZ龍是等腰三角形，求3的長(zhǎng).

7.(2023?文成縣一模)如圖，點(diǎn)石，尸分別為矩形A8CD邊4),8上的點(diǎn)，以的為直徑作O交BF

于點(diǎn)G,且與0。相切，連結(jié)EG.

(1)若AE=EG,求證：AABE^AGBE.

(2)若/W=2,tanZEBF=-.

2

①求OE的長(zhǎng).

②連結(jié)AG,若AA3G是以AG為腰的等腰三角形，求所有滿(mǎn)足條件的4c的長(zhǎng).

(3)連結(jié)CG,若CG的延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且旦)=EG,求生的值.

EF

8.(2023?涪城區(qū)模擬)如圖，已知：在AA8C中，ZC=90°,點(diǎn)P是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，PD工BC交AB于D,

以PD為直徑的。分別交人戶(hù)于點(diǎn)石，F(xiàn).

(1)求證：ZEFP=^EPB.

3

(2)若人4=20,sinB=-.

5

①當(dāng)Z4P8=4NAP￡),求尸C的長(zhǎng).

②當(dāng)4%方為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的A/%尸的腰長(zhǎng).

(3)若sinB=立，且。，尸，C在一條直線(xiàn)上，則OP與AC的比值為

9.（2023?河南模擬）如圖所示，在RlAABC中，NABC=90。，點(diǎn)O為射線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，作々。

過(guò)點(diǎn)、B作BELBD,交DE于點(diǎn)E,連接CE.（點(diǎn)A、七在4。的兩側(cè)）

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1所示，若NA=45。時(shí)，AD.CE的數(shù)量關(guān)系為，直線(xiàn)4）、CE的夾角為；

【類(lèi)比探究】

（2）如圖2所示，若NA=60。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

【拓展延伸】

（3）若NA=30。，AC=2y/3,且A/加）是以AB為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CE的長(zhǎng).

題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

I.12022?大連模擬)如圖，RtAABC中，ZC=9O°,AC=3cm,BC=4cm，點(diǎn)P在邊AB上，過(guò)點(diǎn)尸作AB

的垂線(xiàn)與邊AC或8c相交于點(diǎn)D,將點(diǎn)。繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)93。得點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)上作AB的垂線(xiàn)與邊AC或

8C相交于點(diǎn)尸.設(shè)AP的長(zhǎng)為x(cm),四邊形。尸所的面積為y(a/).

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)求)，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出自變量”的取值范圍.

(備用圖)

2.（2022?蓮池區(qū)校級(jí)二模）如圖，RtAABC中，NAC8=90。，AC=3,BC=4.動(dòng)點(diǎn)2從點(diǎn)A出發(fā)，以

每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AC-CB-H4方向繞行AABC一周，與8c垂直的動(dòng)直線(xiàn)/從AC開(kāi)始.以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，分別交回,CB于D,E兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)/也停止運(yùn)動(dòng)，

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

（1）當(dāng)點(diǎn)夕在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作分'_LOE于尸，

①當(dāng)產(chǎn)莊時(shí)，求證：APDF^AEPC；

②設(shè)AWE的面積為S,用含，的代數(shù)式表示S,并求當(dāng)/為何值時(shí)，S有最大值；

（2）當(dāng)直線(xiàn)/等分的面積時(shí)求/的值，并判斷此時(shí)點(diǎn)尸落在A48C的哪條邊上；

（3）直接寫(xiě)出叨=莊■時(shí)，的值.

3.(2022?濟(jì)南二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,0),四邊形。43C為平

行四邊形，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,與邊交于點(diǎn)。，若OC=2五,ianNAOC=l.

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)P(a,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，求|PC-77)|最大時(shí)”的值；

(3)連接6,在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得四邊形CUW為矩形，若

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.(2022??？谀M)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn))，=加+法+3(〃/0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交

于4-2,0)、8(4,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段相上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向5點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從4點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)

段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)AM3N

的面積為S,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，試求S與/的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；

(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻/,使AM8N為直角三角形？若存在，求出，的值；若不存在，

5.(2023?乳山市二模)過(guò)四邊形A8C￡＞的頂點(diǎn)A作射線(xiàn)AM,P為射線(xiàn)AW上一點(diǎn)，連接。P.將AP繞

點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至AQ,記旋轉(zhuǎn)角/E4Q=a,連接BQ.

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形/WC。是正方形，且a=90。.無(wú)論點(diǎn)尸在

何處，總有BQ=OP,請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.

(2)【類(lèi)比遷移】如圖2,如果四邊形是菱形，NZM8=a=60°,15。，連接。Q.當(dāng)PQ_L4Q,

=+時(shí)，求AP的長(zhǎng)：

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,如果四邊形A88是矩形，AD=6,A6=8,AM平分〃4C,a=90°.在

4

射線(xiàn)AQ上截取4?,使得AR=-AP.當(dāng)APR?是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng).

3

圖3備用圖

題型三、不等式（組）中的分類(lèi)討論思想

1.（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間

對(duì)團(tuán)隊(duì)*旅游實(shí)行門(mén)票特價(jià)優(yōu)惠活動(dòng)，價(jià)格如下表:

購(gòu)票人數(shù)用（人）1噫M5051即100心100

每人門(mén)票價(jià)（元）605040

，題中的團(tuán)隊(duì)人數(shù)均不少于10人.

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)共102人，計(jì)劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊(duì)不足50人，乙團(tuán)隊(duì)多于

50人.

（1）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別購(gòu)票，一共應(yīng)付5580元，問(wèn)甲、乙團(tuán)隊(duì)各有多少人？

（2）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)聯(lián)合起來(lái)作為一個(gè)“大團(tuán)隊(duì)”購(gòu)票，比兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各自購(gòu)票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元,

問(wèn)甲團(tuán)隊(duì)最少多少人？

2.（2021?商河縣校級(jí)模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問(wèn)題：求不等式（24-1）。+3）＞0的解集.

2x-1>02.v-l<0

解：根據(jù)“同號(hào)兩數(shù)相乘，積為正”可得：①成②

x+3>0/+3<0

解不等式組①得：解不等式組②得、＜-3.

二.穴等式（2X一1）。+3）＞0的解集為x＞,或xv-3.

2

請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問(wèn)題:

⑴求不等式（2x-3）（x+l）＜0的解集.

-x-1

⑵求不等式1一°的解集.

3.(2024?江門(mén)校級(jí)一模)先閱讀理解卜面的例題，再按要求解答下列問(wèn)題：

例題：解一元二次不等式4>0.

解:vx2-4=(x+2)(x-2),

.?.9一4>0可化為(x+2)(x,2)>0.

由有理數(shù)的乘法法則”兩數(shù)相乘，同號(hào)得正”，得

(

①I(mǎi)x+2>0，②1x+2<0，

U-2>0-[x-2<0

解不等式組①，得x>2,解不等式組②，得xv-2,

.?.。+2)(/-2)>0的解集為1>2或X<一2,即一元二次不等式/一4>0的解集為x>2或xv-2.

(1)一元二次不等式16>0的解集為—；

(2)分式不等式上>0的解集為—；

x-3

(3)解一元二次不等式2/一5工<0.

4.(2022?泰安三模)某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價(jià)是荔枝味飲料每

瓶告價(jià)的？倍.4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷(xiāo)化：6000()瓶，桔子味飲料銷(xiāo)售額為250000元，荔枝味

4

飲料銷(xiāo)售額為280000元.

(1)求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價(jià)；

(2)五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷(xiāo)活動(dòng)，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味

飲料的銷(xiāo)量不少于桔子味飲料銷(xiāo)量的』；不多于桔子味飲料的2倍.桔子味飲料每瓶7折銷(xiāo)售，荔枝味飲

2

料每瓶降價(jià)2元銷(xiāo)售，問(wèn)：該公司銷(xiāo)售多少瓶荔枝味飲料使得總銷(xiāo)售額最大？最大銷(xiāo)售額是多少元?

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論思想

1.（2024?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）共享電動(dòng)車(chē)是一種新理念下的交通工具；主要面向3切-1（小〃的出行市場(chǎng)，現(xiàn)

有A,8兩種品牌的共享電動(dòng)車(chē)，給出的圖象反映了收費(fèi)y（元）與騎行時(shí)間工（〃〃力）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中

A品牌收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)力，8品牌的收費(fèi)方式對(duì)應(yīng)為，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：

（1）說(shuō)出圖中函數(shù)凹、乃的圖象交點(diǎn)產(chǎn)表示的實(shí)際意義：

（2）求y、力關(guān)于上的函數(shù)解析式；

（3）①如果小明每天早上需要騎行A品牌或8品牌的共享電動(dòng)車(chē)去工廠上班，已知兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)的

平均行駛速度均為300/〃/〃而，小明家到工廠的距離為9A7〃那么小明選擇—品牌共享電動(dòng)車(chē)更省錢(qián)？（填

“A”或"8”）

②當(dāng)x為何值時(shí)，兩種品牌共享電動(dòng)車(chē)收費(fèi)相差3元？

y/元

x/min

2.（2023?西華縣三模）如圖1,拋物線(xiàn)），=一丁+加+°與工軸交于4、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)區(qū)左邊），與），軸

交于點(diǎn)C.直線(xiàn)y=；x-2經(jīng)過(guò)5、C兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)夕是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。且垂直于X軸的直線(xiàn)與直線(xiàn)及x軸分別交于點(diǎn)O、M.設(shè)例（見(jiàn)0）.

①點(diǎn)夕在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)。恰為線(xiàn)段尸M的中點(diǎn)，求此時(shí)，〃的值；

②當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在一點(diǎn)P,使ZPCB=ZACO.若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（圖1）備用圖

3.（2023?池州三模）在平面直角坐標(biāo)系/Oy中，點(diǎn)（2,〃。和點(diǎn)（6,〃）在拋物線(xiàn)），=0￥2+公（〃<0）上.

（1）若m=4,fi=-12,求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）已知點(diǎn)A（l,y）,8（4,必）在該拋物線(xiàn)上，且""7=0.

①比較片，%，0的大小，并說(shuō)明理由;

②將線(xiàn)段沿水平方向平移得到線(xiàn)段A廳，若線(xiàn)段A廳與拋物線(xiàn)有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)A，的橫坐標(biāo)大的取值

范圍.

4.（2023?河北模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)），=6口-6）+13=0）的頂點(diǎn)為A,與*?軸相交于8、C

兩點(diǎn)（C點(diǎn)在8點(diǎn)的右側(cè)）.

（1）判斷點(diǎn)（0/）是否在拋物線(xiàn)），=辦5-6）+1（〃工0）上，并說(shuō)明理由；

（2）若點(diǎn)A到x軸的距離為5,求a的值；

（3）若線(xiàn)段3C的長(zhǎng)小于等于4,求a的取值范圍.

5.（2023?鹽城二模）已知點(diǎn)M（.』，y）,N（X2,%）在二次函數(shù)）'=。@一3）2+2（1/0）的圖象上，且滿(mǎn)足

x2-x1=5.

（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）.

①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

②若乂=必，此時(shí)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)求NPWN的正切值；

③在M、N之間的二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-6,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)司效k七時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3,點(diǎn)M,N在對(duì)稱(chēng)軸的異側(cè)，則a的取值范圍為

6.（2023?錦州）如圖，拋物線(xiàn)丫=-32+/?+?交x軸于點(diǎn)A（-l.O）和4,交y軸于點(diǎn)C（0,3百），頂點(diǎn)

為D.

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式：

（2）若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上，四邊形OE花4的面積為76，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)尸是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)”是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否

存在點(diǎn)G,使以點(diǎn)E,F,G,〃為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，且H、G=60。，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的

7.（2024?肇東市模擬）綜合與實(shí)踐

如圖，二次函數(shù))，=一丁+桁+c的圖象與X軸交于點(diǎn)A和3,點(diǎn)8的坐標(biāo)是(4.0),與y軸交于點(diǎn)C(0.-3).點(diǎn)

■4

。在拋物線(xiàn).上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)如圖2.當(dāng)點(diǎn)。在第四象限的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接以)，CD,BC,當(dāng)ABC。的面積最大時(shí)，求點(diǎn)

D的坐標(biāo)及A5CD的最大面積；

(3)當(dāng)點(diǎn)￡在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，借助圖1探究以點(diǎn)勿，C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并直接寫(xiě)

出點(diǎn)石的坐標(biāo).

圖1圖2

8.(2023?扶余市二模)如圖,拋物線(xiàn)>=汰+市+c與x軸交于點(diǎn)4(1,0),8(5,0),頂點(diǎn)為尸.

(1)求該拋物線(xiàn)的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

(2)如圖，把原拋物線(xiàn)x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線(xiàn)工軸上方的部

分記作圖形M，在圖形M中，回答：

①點(diǎn)A,3之間的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為一:

②當(dāng);領(lǐng)k4時(shí)，求y的取值范圍；

③當(dāng)/倭上〃?+2,且m>3時(shí).，若最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為?，直接寫(xiě)出”的值.

9.(2024?南丹縣一模)如圖，拋物線(xiàn)〉1=加+法+?與x軸交于點(diǎn)4-3,0)，點(diǎn)4，點(diǎn)。是拋物線(xiàn)y的頂

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作X軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)C（-1,0）.

（1）求拋物線(xiàn)y所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）如圖1,點(diǎn)M是拋物線(xiàn)y上一點(diǎn)，旦位于k軸上方，橫坐標(biāo)為m,連接MC,

若NMCB=ZDAC,求，〃的值；

（3）如圖2,將拋物線(xiàn)x平移后得到頂點(diǎn)為8的拋物線(xiàn)乃.點(diǎn)尸為拋物線(xiàn)y上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?作），軸

的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)為于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)。作x軸的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)匕于點(diǎn)R.當(dāng)以點(diǎn)尸，Q,R為頂點(diǎn)的

三角形與A4CD全等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.（2022?長(zhǎng)春二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)），=/一2〃a+〃/與），軸的交點(diǎn)為4,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)/垂

直于y軸.

（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸（用含〃?的式子表示）：

（2）將拋物線(xiàn)在），軸右側(cè)的部分沿直線(xiàn)/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點(diǎn)MU，,），N（X2,y2）

為圖形G上任意兩點(diǎn).

①當(dāng)〃?=0時(shí)，若王＜々，判斷）1與內(nèi)的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若對(duì)于4x7=m+\,都有,＞、2，求/〃的取值范圍；

（3）當(dāng)圖象G與直線(xiàn)y=〃?+2恰好有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍.

題型五、圓中的分類(lèi)討論思想

1.（2（）23?花都區(qū)一模）如圖1,已知NMAN=60。，在射線(xiàn)AM、AN上分別截取點(diǎn)8、C,使AB=AC=8.

備用圖

（2）如圖2,以BC為直徑在BC的上方作一個(gè)半圓,點(diǎn)。為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4）交BC于點(diǎn)石

①當(dāng)時(shí)，求4）的長(zhǎng).

②在線(xiàn)段AC上取?點(diǎn)尸，連接所交4）于點(diǎn)G,若BF=AE,當(dāng)點(diǎn)。在半圓AC上從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)

求點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

2.（2023?裕華區(qū)二模）如圖1,平行四邊形44co中，AD=2&,DC=4y/3,N0=6O。，點(diǎn)M在4c延

長(zhǎng)線(xiàn)上且CW=8,石尸為半圓。的直徑且在_LBW,FE=6,如圖2,點(diǎn)石從點(diǎn)M處沿MB方向運(yùn)動(dòng),

帶動(dòng)半圓O向左平移，每秒百個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)。重合時(shí)停止平移，如圖3,停止平移后半圓O立

即繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動(dòng)5。，點(diǎn)尸落在直線(xiàn)AC上時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

圖3

(2)如圖2,當(dāng)半圓O與"t邊相切于點(diǎn)尸，求的長(zhǎng);

(3)如圖3,當(dāng)半圓O過(guò)點(diǎn)C,EF與DC邊交于點(diǎn)Q,

①求硬平移和旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積;

②求CQ的長(zhǎng);

(4)直接寫(xiě)出半圓O與平行四邊形A4C。的邊相切時(shí)，的值.(參考數(shù)據(jù)：sin35°=—,tan35°=

3

3.(2022?順平縣二模)如圖1,將半徑為2的。剪掉一個(gè)60。的扇形之后，得到扇形八OB,將扇形人04

放置在數(shù)軸上，使點(diǎn)〃與原點(diǎn)重合且04垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)，直至點(diǎn)A落在數(shù)軸上

時(shí)停止?jié)L動(dòng).記優(yōu)弧回與數(shù)軸的切點(diǎn)為點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)/平行于數(shù)軸，當(dāng)/與弧有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),

記另一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)C,將直線(xiàn)/繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線(xiàn)/〃，交數(shù)軸于點(diǎn)Q.

（1）當(dāng)點(diǎn)A落在數(shù)軸上時(shí)，其對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù)為一；

（2）當(dāng)直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度為—；

（3）當(dāng)CQ與扇形所在圓相切于圓的左側(cè)時(shí)，求弦AC的長(zhǎng)及點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的實(shí)數(shù);

（4）直接寫(xiě)出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中長(zhǎng)度的最大值.

備用圖

4.（2022?永嘉縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)），=-：為+6分別交/軸，y軸于點(diǎn)A,B,以回

為直徑構(gòu)造圓，點(diǎn)。在80運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在CA上，8交04于點(diǎn)P,且CO=OA.

(1)求C。的長(zhǎng).

(2)求證：OP=PD.

(3)CE//OA,交圓于另一點(diǎn)E,連結(jié)QE.若△C/小為等腰三角形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

5.(2022?溫州模擬)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),以為

直徑的M與)，軸的正半軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)尸是劣弧8C上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求sinZABC的值.

(2)當(dāng)APCA中有一-邊是BP的兩倍時(shí)，求相應(yīng)人P的長(zhǎng).

(3)如圖2,以4c為邊向上作等邊△C/3O,線(xiàn)段MO分別交4C和8C于點(diǎn)，，N.連結(jié)OP,HP.點(diǎn)、P

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，力尸與〃尸存在一定的數(shù)量關(guān)系.

【探究】當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，求把的值；

DP

【探究二】猜想：當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)N不重合時(shí)，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立.若成立，給出證明：若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

專(zhuān)題15分類(lèi)討論思想在五種題型中的應(yīng)用

壓軸地密押

通用的解題思路：

題型一、等腰三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

1.假設(shè)結(jié)論成立；

2.找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如工：

①當(dāng)定長(zhǎng)為腰時(shí)，找已知條件上滿(mǎn)足直線(xiàn)的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，

若所畫(huà)弧與坐標(biāo)軸或拋物有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與坐

標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)不存在；

②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長(zhǎng)的垂直平分線(xiàn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)

有交點(diǎn)時(shí)，那交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸或拋物線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)

不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒(méi)有相似三角形，可以通過(guò)添

加輔線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解

題型二、直角三角形的存在問(wèn)題分類(lèi)討論

1.設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，用變量表示出所求三角形三邊的長(zhǎng)的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點(diǎn)F（l,f）,

△BCF三邊長(zhǎng)為：臚=4+#,^=/+6A10,BC=18；

2.找點(diǎn)：根據(jù)更角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論：

①當(dāng)定長(zhǎng)（已知的兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)所成的線(xiàn)段）為直角三角形的直邊時(shí)（如本題（4）中的邊BC）,分別

過(guò)定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)（B和C）做其垂線(xiàn)，與所求點(diǎn)滿(mǎn)足的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)（本題是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸）有交

點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；

②當(dāng)定長(zhǎng)為直角角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與所有點(diǎn)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)或拋物線(xiàn)有交

點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn).

3.計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)的坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形各邊（表示線(xiàn)段

時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào)），再利用相似三角形得比例線(xiàn)段關(guān)系或利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

題型三、不等式（組）中的分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問(wèn)題，在

求其解集時(shí)要對(duì)字母進(jìn)行分類(lèi)討論。

對(duì)含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時(shí)一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類(lèi)討論。

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論思想

在函數(shù)問(wèn)題中，分類(lèi)有兩種情況：種是對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)，種是分情況討論問(wèn)題，對(duì)概念進(jìn)行分

類(lèi)，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對(duì)概念的理解與掌握；分情況討論問(wèn)題，可以幫助我們?nèi)?/p>

面考察一個(gè)對(duì)象，得出可能的結(jié)論，也可以使問(wèn)題更容易人手，分類(lèi)思想方法對(duì)于中學(xué)生來(lái)是比較

難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對(duì)概念進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，往往把握不住標(biāo)準(zhǔn)，不能堅(jiān)持用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)

行分類(lèi)，出現(xiàn)“重〃或“漏〃的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生

題型五、圓中的分類(lèi)討論思想

由于圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會(huì)出現(xiàn)多解問(wèn)

題。這類(lèi)題目重在考杳同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與運(yùn)用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯

思維能力。如果解題時(shí)考慮不嚴(yán)密，理解不透切，形成思維定勢(shì)，就會(huì)漏解，從而造成錯(cuò)誤。在圓

中解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要利川分類(lèi)討論思想，在解題時(shí)可以多考慮將圓進(jìn)行折疊或旋轉(zhuǎn)。

壓軸摩預(yù)測(cè)

題型一：等腰三角形中的分類(lèi)討論思想

1.（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，上*0）的到象與反比例函數(shù),~三為常數(shù)，

的圖象在第一象限交于點(diǎn)4Q/）,與'軸交于點(diǎn)8（一3?0）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)P在'軸上，是以，旬為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】（1）把點(diǎn)，4、B的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于土、”的方程組，通過(guò)解方程組求得

它們的值；然后將點(diǎn)X的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得加的值即可；

（2）設(shè)尸（&°）,利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理以及=列出方程，借助于方程求解即可.

1=.+?

【解答】解：（1）將4Q。"）、3（7.0）分別代入一次函數(shù)‘一'+得

t9

4

9

-U+-=0

4

4

解得“=3

故,4(1.3)

V=

將其代入反比例函數(shù)<,得

上=3

I

解得桁=3.

393

故一次函數(shù)的解析式為'‘=一了’'口,反比例函數(shù)的解析式為‘=一；；

（2）由（1）知，"QJ）、5（-3。，則域上，3。4'?5.

設(shè)PS.O）,

當(dāng)，"二,4P時(shí)，5二+3,

解得。=5或。=-3（舍去）.

故P（5.0）；

當(dāng)，"二PB時(shí)，y-3-M.

解得a--8或a―2.

故P（T0）或Q0）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，<））或（一&°）或（工（））.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定

理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用.

2.（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線(xiàn)+?「與?'軸交于點(diǎn)4-L°）、B,與）軸交于點(diǎn)。（。尸），直

線(xiàn),是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；

（2）在對(duì)稱(chēng)軸/上是否存在點(diǎn)A1,使&U4C為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點(diǎn),”的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

y

A

【分析】（i）運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式即可;

（2）由于沒(méi)有指明等腰的底邊，所以需要分類(lèi)討論：ACAC-CM,AAf=CAf,運(yùn)用兩

點(diǎn)間距離的求法列出相應(yīng)的方程，通過(guò)解方程求得答案.

-1-A+c■0

【解答】解：（1）把點(diǎn)4T?（））、點(diǎn)C（0.3）分別代入期得c■3

6-2

解得。3.

故該拋物線(xiàn)解析式為：￡??”.工.3

（2）由（1）知，該拋物線(xiàn)解析式為：F'T1.2*.3.

X=------=1

則該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)T<2.

故設(shè)

,.>4（-1,0）點(diǎn)C（OJ）,

/./ic2=io,41/=4+/,3J2

①若<C=/tM時(shí)，10=4+M,

解得加二土卡.

.?點(diǎn)M的坐標(biāo)為（L⑷或（1.一向；

②若,4C=C”時(shí)，1。?1?（“3》，

解得加=0或桁=6,

.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（L0）或0.6）.

當(dāng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（L6時(shí)，點(diǎn)乂、C、A/共線(xiàn),

.?點(diǎn)A/的坐標(biāo)為（1?°）；

③當(dāng)4A,=C"時(shí)，4*小/=1+（加—3「，

解得加=1,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（“）.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)A1的坐標(biāo)為在6）或（1「卡）或（L0）或（1」）.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，等腰

三角形的性質(zhì)，解題過(guò)程中，需要對(duì)等腰三角形的底邊或腰進(jìn)行分類(lèi)討論，以防漏解.

3.12023?婺城區(qū)模擬）在矩形-MC。中，,必=4,<0=10,E是,4。上的一點(diǎn)，旦.4￡=2,Af是直線(xiàn),S

上一點(diǎn)，射線(xiàn)A/F交直線(xiàn)于點(diǎn)尸，NG1AZEt交直線(xiàn)8c于點(diǎn)G,連結(jié)AQ、FG,直線(xiàn)/G交直線(xiàn).4。

于點(diǎn)M

（1）①當(dāng)點(diǎn)”為,43中點(diǎn)時(shí)，求。尸與8G的長(zhǎng)；

MG

②求行的值.

（2）若AEGV為等腰三角形時(shí)，求滿(mǎn)足條件的4”的長(zhǎng).

【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)G作明于點(diǎn)”，易得⑷3=GH=2,為等腰直角三角形

-。即=一出，=46，進(jìn)而得到八。后尸為等腰直角三角形，DF=a?=8,由EGJ.A怎可推出-Gm=49,

則AGJ8H為等腰直角三角形，HG=/H=4y/i；

②過(guò)點(diǎn)G作GAJ..4"于點(diǎn)穴，易得KG=J4B=4,D￡=8,易證AAGE,AKGE^DEF,得到

EM1G￡41…，KM-taiqFG=—=1

-——=-=-lan』GM=---

~GE2,E尸82,于是GE2,EF2,進(jìn)而可得』

(ai^lFG=—=1

由等角加同角相等得二）佃F=%°,在R3FGM中,FG2；

AM21

(2)易得得到"84,設(shè)4丫="，則8"=4-〃，DF=4a.CF=4+4<J,易訐

BGA/cACFG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得8G=%+2,CG=8-%,再分三種情況討論：（I）當(dāng)

NG=M7時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GP1AD于點(diǎn)P,則4P=BG=%+2,履=四,進(jìn)而求出PN=PE=2a,EN=4a,

DNDF

DN=8-4",再利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到M一方，以此建立方程求解即可；（H）當(dāng)EN=NG時(shí)，

過(guò)點(diǎn)H作笈0，3C于點(diǎn)0,則，NEG=U七尻」4=呢=2,，4=片0=4,進(jìn)而求出。G=為，由平

行線(xiàn)的性質(zhì)得到」、￡G=5窕，于是-EGQ-NGE,由等角的余角相等得-0R；=』FG,則

（811￡0尸G=tsii_EFG=_=—

2月。，以此建立方程求解即可；（IH）當(dāng)及V=EG時(shí)，則/EVG=5GV,由平

行線(xiàn)的性質(zhì)可得上及VG=Z5GC,于是』GN二5GC,由等先的余角相等得」FG=-C/G,進(jìn)而得到

tmx^CFG=Um5FG=1=—

2CF,以此建立方程求解即可.

【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)M為，”中點(diǎn)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH_LTO于點(diǎn)H,

則.GHA一90,

,.,四邊形4BC0為矩形，

.-4=」=90。，

四邊形為矩形，

AB=GH=2,

???點(diǎn)A/為,43的中點(diǎn)，

仙=3"=2,

AE-2,

.,仙=.4￡=2,DE=AD-A￡=8,

，AW為等腰直角三角形，，4E.”=4S,

_DEF=_?/=4夕，

為等腰直角三角形，=°￡=8,

???EGl\fEf

_.MG=90\

-GEH=W,

為等腰直角三角形，BG-CGH75,

。尸=8,￡G=4^;

②如圖，過(guò)點(diǎn)G作GK1.M于點(diǎn)火,

貝lj人工；.484,

a.,AE-2,

，切?=8,

EG1ME,

一4及“十_AXG=9(r,"GR+*G=90Q,-燈G+=90。,

一位M=_KGE=_DEF,

..^AEM^AKOE,AKGE^ADEF,

EAf.AEEAf21

：.~GE~~KGt即方■一丁3,

GEKGGB4I

EF~DEt即EF~2,

tmJGA/=—=1(ailJR;=—=1

GE2,EF2,

:」GM=』FG,

?/一EG尸+一E陽(yáng)=90°,

」G八」GM=90—即尸二%。，

.?ta>^rro=—=i

FG2：

(2)?,一4￡”=二。月產(chǎn)，工&/=UDF=90°,

WEMADEF,

.iMABAAf2\

/.DF~DEf即DF-8-4,

設(shè)AM-a,則BM=4-a,DF=4。，

CF=CD+DF=4+4d,

由(1)②可知，」行尸=%°,

UGM+_CGF=90°,

_CFG+"GF=9(r,

/.』G\I=_CFG,

,」=_C=90\

^BGM^&CFG,

BG8A/GMBG4-a1

..CFCGFG,g[j4+4nCG1,

BG=2a^2,CG=8-2^,

(I)當(dāng)=時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)G作GP,dZ)于點(diǎn)尸,

則/P=SG=2zi-2,PE=PN,

..PN=Pb=AP-AE=2a,

.EN2,

DN=DR-BN=R…,

AVBC,

DNDF8-4a4a

CGCF,即8—2zi4-4〃,

解得：q=T+#,E=T-3（舍去）,

=V5-i.

(II)當(dāng)EN=NG時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)￡作笈。18(7于點(diǎn)0,

則ZA?Gr=^.N