專題241銳角的三角函數(shù)（舉一反三）（華東師大版）

專題24.1銳角的三角函數(shù)【十大題型】

【華東師大版】

頁(yè)

I艮

-銳角的三角函數(shù)概念辨析】..............................................................

一11

世

兌2直接根據(jù)定義求銳角的三角函數(shù)值】.....................................................4

世

鬼3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】...................................................6

世

頁(yè)

一4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】.........................................................9

.

頁(yè)

一5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】..................................................12

世

龍6求特殊角的三角函數(shù)值】...............................................................15

世

龍7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】......................................................17

世

頁(yè)

一互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】......................................................

世820

頁(yè)

一9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】..................................................22

旦

10三角函數(shù)在等腰直角三角形中的應(yīng)用】..................................................24

【知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】

在.RtAABC中、NC=90、則/力的三角函數(shù)為

定義表達(dá)式風(fēng)值范圍關(guān)系

正弦彳的對(duì)邊0<sin^<1

smA=sinJ=—

斜邊C（ZA為銳角）sinA=cos5

余弦,乙4的鄰邊,bcos=sinB

cos4=一0<cos/4<1

斜邊c（ZA為銳角）sin2A+cos2A=1

正切“的對(duì)邊tanJ>01

‘a(chǎn)”=NA的鄰邊tanJ=—tanA=------

b（ZA為銳角）tanB

【知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】

三角函數(shù)30n45c60"

叵V3

sina

722

GJ_

cosa222

V3

tana1

3

【題型1銳角的三角函數(shù)概念辨析】

【例1】（2022?廣東?佛山市南海區(qū)金石實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）在△48C中，NC=90。塔=：,

AB5

則（）

3344

A.cosA=-B.sinB=-C.tanA=-D.tanB=-

【答案】D

【分析】設(shè)止5a,BC=3a,則力。=4〃，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可.

【詳解】解：設(shè)力8=5a，3C=3a,則％C=4a,

則cosA=^=^-=：,故/I錯(cuò)誤；

AB5a5

S加4=需=4=!，故3錯(cuò)誤；

AB5a5

tanAP故C錯(cuò)誤；

AC4a4

tanB-^-—?=g，故Q正確.

￡/CJK?5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為

解答本題的關(guān)鍵.

【變式II】（2022?上海?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在RtA/14C中，C。是斜邊力B上的高，

N/1H45。，則下列比值中不等于cosB的是（）

CDBD八CDcCB

AA?元B.百C.-D.-

【答案】C

【分析】根據(jù)已知可得NB=N4?Q,然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】A.?：CD人AB,

：.ZCDB=ZADB=90°,

???NB+/8CO=90。，

???ZACB=90°t

:.ZACD+ZBCD=9Q°,

:?NB=/ACD,

在H/A4C。中，cosNACD號(hào),

cos8=翌，

AC

故A不符合題意；

B.在M△力中，cos於黑，故8不符合題意；

C.在RfADBC中,cosNBCQ=孕，

CB

???乙力45。，

，/8工45°,

：./B±/BCD,

JcosB琮，

故。符合題意；

rp

D.在mZUAC中，COS8=3，故D不符合題意；

AB

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)

關(guān)是解題的關(guān)鍵.

【變式12］（2022.全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△力2C中，NC=90。，ZA.NR、/C的對(duì)邊

分別是4、b、C,下列結(jié)論正確的是()

A.b=a*s\r\AB.b=a?tarUC.c=a?s\nAD.a=c*cosB

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義：(1)正弦：我們把銳角力的對(duì)邊。與斜邊。的比叫做N4的

正弦，記作sirvl.(2)余弦：銳角4的鄰邊6與斜邊c的比叫做的余弦，記作cos4(3)

正切：銳角力的對(duì)邊a與鄰邊〃的比叫做N力的正切，記作tan/.分別進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：在直角△力8c中，ZC=90°,則

則a=?力，故選項(xiàng)錯(cuò)誤、選項(xiàng)錯(cuò)誤；

sin/1=C-,csinAC

tan4=m則》故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

btan/1

cosB=-,則故選項(xiàng)正確；

Ca=ccos8,D

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了說(shuō)角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義.

【變式13】(2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))圖①、圖②是兩張形狀、

大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)4、點(diǎn)8和點(diǎn)C在

小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D①、圖②中各畫一個(gè)圖形，滿足以下要求：

⑴在圖①中以和8。為邊畫四邊形48CE,點(diǎn)￡在小正方形的頂點(diǎn)上，且此四邊形有

兩組對(duì)邊相等.

(2)在圖②中以為邊畫△ABD,使tan^ADB=

【答案】⑴作圖見(jiàn)解析；

⑵作圖見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊

形的對(duì)邊互相平行即可作出；

(2)根據(jù)正切值的定義即可作出△48D.

(1)

解：作圖如下：

根據(jù)該四邊形有兩組對(duì)邊相等可知這個(gè)四邊形是平行四邊形，

再山平行四邊形的對(duì)邊互相平行可知，AD//BC,

由8c平移可以得到力0,

???點(diǎn)8向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，得到點(diǎn)4

???點(diǎn)C向上平移三個(gè)單位，向右平移一個(gè)單位，即可得到點(diǎn)Q.

(2)

^ABD如下圖，

BE=3,DE=4,NBED=90",

，AE=t-2.

3_AE_AB-BE

/.cosA5-AD-AD

?3t-2

=

>?一9

5t

AAE=5-2=3.

DE=VAD2-AE2=、52-32=4.

/.tanZDBE=^=^=2.

BE2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系.

【變式22］（2022?廣東?惠州一中二模）如圖，在等腰三角形力中，AB=AC=6,BC=8,

點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，DE工AB于點(diǎn)E,則cos4BDE的值等于（）

V5Vsc2C3

AA.—nB.-C.-D.-

2334

【答案】B

【分析】如圖所示，連接4。，由。為8C中點(diǎn)得出80=DC=4,ADLBC,從而根據(jù)勾

股定理得出40=2西，然后由+=90。，匕8+匕區(qū)40=90。得出乙8?！?=4840,

最后根據(jù)三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】如圖所示，連接AD,

vAB=AC=6,BC=8,。為中點(diǎn)，

AD1BC,BD=DC=4,

AD=yjAB2-BD2=V62-42=275,

Z.B+Z.BDE=90°,/.BAD=90°,

???乙BDE=LBAD,

???CQSLBDE=cos^BAD=—=—=

AB63

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是通過(guò)等

量代換得巾NBOE=々BAD,進(jìn)而得出答案.

【變式23］（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形力ACO中，AB=5,AD=3,

點(diǎn)￡在48上，點(diǎn)尸在8C上.若4E=2,CF=1,則sinQl+42）=（）

iVz「晅八6

AA.-DB.-C.-D.—

2223

【答案】B

【分析】連接EG求證△。暇7是等腰直角三角形，得/口W=45。，所以乙1+乙2=45°,即

可求解.

【詳解】解：連接￡兒

;四邊形48CO是長(zhǎng)方形，

AZJ=Z^=ZC=ZJDC=90°,BC=AD=3,CD=AB=5,

在R/Z\/1OE中，AD=3,AE=2,

ADE2=心+招=32+22=13,

*；AB=S,

；,BE=AB4E=3,

VCF=1,

:?BFnBCCF=2,

在在處AEBF中,

：.EF2=BE2+BF2=32+22=13,

:,EF=DE

在R/ZXCQ”中，

：.DF2=DC2+CF2=52+l2=26,

V26=13+13,BP：DF2=DE2+EF2,

:.ZDEF=90°,

：,NEDF=NDFE=45。,

：.Z-1+Z-2=^ADC-Z.EDF=45°,

Asin（zl+z2）=sin450=y.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、正弦函數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理

證明出/是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【題型3構(gòu)造直角三角形求銳角的三角函數(shù)值】

【例3】（2022?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A,B,C,。均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段18

與CD相交于點(diǎn)P,則ZAPD的正切值為（）

A.3B.2C.2x/2D.3四

【答案】A

【分析】過(guò)。作。過(guò)。作。NJ_"C于N,從而可得N4PD=NNCD,然后利用勾

股定理求出CMDV的值，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】：連接CM,DN,

由題意得：CM//AB,

/.ZAPD=ZNCD,

由題意得：

CAT2=12+12=2,

0M=32+32=18,

：.CN=42,DN=V18=3V2,

../ncDN3^2_

..tanZDCN=-=^=3,

???/力尸。的正切值為：3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)與勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)、勾股定理

的應(yīng)用、正切函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.

【變式31](2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，在RtA4BC中，斜邊力B=3,BC=1,

點(diǎn)。在上，且器=$貝ljtan/BC。的值是()

A.孑B.1C.—D.—

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DEYBC于點(diǎn)￡,構(gòu)造含N8CQ的RtACDE,分別算出DE、CE的長(zhǎng)，

利用正切的定義計(jì)算即可.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)。作。E_L8C于點(diǎn)E,

*/NACB=NDEB=90°,

/.AC//DE

/.N4=/EDB

:.XACBS^DEB(AA)

..BD_1

?—一，

AD3

.BD

?.--=一1

AB4

又??"8=3,BC=1

???BE=：,CE="=

444

?:RiABDE

：.DE=yJBD2-BE2=(

2

*：BC=1

3

：,CE=BC-BE=-

4

AtanzFCD=^=^

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正切值定

義的成立條件是在直角三角形中，這點(diǎn)是容易被忽略的易錯(cuò)點(diǎn).

【變式32】(2022?浙江?寧波市興寧中學(xué)九年級(jí)期中)如圖，將沿著CE翻折，使點(diǎn)

A洛在點(diǎn)。處，CO與AB交于點(diǎn)F,恰好有CE=CF,若DF=A版,AF=12,則tan/CK/7

【答案】V7

【分析】如圖，作CHVAB于，.設(shè)CF=EC=x.由CF=CE,CHlEF，i^出FH=EH,設(shè)FH=EH=y,

根據(jù)勾股定理可得/一產(chǎn)=（%+4V2）2-（12-y）2,證明△EFQS/XCE4可得耗；=孑，

解方程組，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，作C〃_L48于〃.設(shè)CF=EC=x,

?:C卜.=CE,CHIEF,

:,FH=EH,設(shè)FH=EH=y,

則有%2—y2=（%+4&）2—（12-y）2,

整理得&%+3y=14①，

?：NCFE=NCEF,NCFE=ND+NFED,NCEF=NA+NECA,NA=ND,

:?/FED=/ECA,

:.△EFDsRCEA,

.DF__EF_

??族

???辭；=:§，整理得應(yīng)x=：6y-y2②，

由①②可得X=4A2y=2,

CH=y/x2—y2=2x/7,

..CH2V7r=

..tanzCEF=—EH=—2=v7,

故答案為V7.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變疾、求正切、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)

等知識(shí)，解題的關(guān)犍是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題

【變式33］（2022?江蘇?陽(yáng)山中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△48C中，NACB=90。，點(diǎn)D

在44的延長(zhǎng)線上，連接CQ,若48=2夕。，tan/8CQ=：則在的值為_(kāi)____.

2DC

【答案W

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DMLCM,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,可得/OMC=90。，在RtZ\DWC中，

利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)。"=小則CM=2m然后證明8字模型相似三角形

△ACBSADMB,從而利用相似三角形的性質(zhì)可得黑=需=照=2,進(jìn)而可得4C=2o.CB

HDDMHM

=》,最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DW1,CM,交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

???NOMC=90°,

在RtZXOMC中，tanZ5CD=1,

/.tanZDCA/=7^=7?

CM2

設(shè)則C"=2a,

VZJCT=ZPMC=90°,NABC=NDBM,

:?△ACBS^DMB,

?AB_AC_CB_

:?AC=2DM=2a,

33

.AC_2a_3

??正一至■-5'

3

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)銳角的三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)】

【例4】（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖,等腰4A48C中,N4=90°,AB=AC,BD為

△ABC的角平分線，若CD=2,則AB的長(zhǎng)為（）

A.3B.2遮+2C.4D.V2+2

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)。作QE_L4C于點(diǎn)￡,設(shè)力4=/lC=x,則力D=x2,根據(jù)等腰RtMAC中，cA=

90°,AB=AC,得到/C=45°,根據(jù)8。為△48c的角平分線，乙人90°,DE上BC,推出

DE=AD=x2,運(yùn)用NC的正弦即可求得.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DELBC于點(diǎn)￡,則NQE8=NQEC=90°,

AB=AC=x,WOAD=x2,

???等腰RtA48C中，，N,4=90°,AB=AC,,

AZC=（180°ZJ）=45。，

???8。為的角平分線，

：.DE=AD=x2,

,?..右..DE&

sinC=sin45=C—D=2—?

.x-2,—■\fl

2-2'

Z.x=V2+2,BPAB=\12+2.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形，角平分線，解直角三角形，熟練掌握等腰直角三

角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正弦的定義和45。的正弦值，是解決問(wèn)題的關(guān)健.

【變式41］（2?！?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考直題）如圖.菱形力中，/A^C-

60。，矩形8EFG的邊防經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且點(diǎn)G在邊力D上,若8G=4,則8E的長(zhǎng)為（）

A.|B.乎C.V6D.3

22

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)G作GMLBC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CNA.AD于點(diǎn)N,由菱形的性質(zhì)得出AB=

BC=CD=2炳,AD=BC,ZABC=ZD=60°,AD//BC,由直角三角形的性質(zhì)求出MG=

3,證明△GBMS/XBCE由相似三角形的性質(zhì)得出整二警，則可求出答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)G作GW_L8C于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CALL/。于點(diǎn)M

???四邊形48CO為菱形，

:.AB=BC=CD=2聒,AD=BC,/ABC=/D=60。，AD〃BC,

/MGN=90。,

???四邊形GMCN為矩形，

:?GM=CN,

在△CON中，NO=60。，CD=2?

.\C/V=CZ）*sin60o=2V3Xy=3,

???MG=3,

???四邊形8EFG為矩形，

.*.ZE=90°,BG//EF,

J4BCE=/GBM,

又,：/E=/BMG,

：,AGBMS/\BCE,

,BGGM

?■———，

RCBE

,4_3

,?麗一靛’

：.BE=^,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式42］（2022?黑龍江?哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在ZUBC中，48=4。.點(diǎn)

D在△ABC內(nèi)部，ADLCD,Rz-ADB=2z.ACB,若BD=2,tanzB/lC=^則AC的長(zhǎng)為.

【答案】V41

【分析】取點(diǎn)，在力。上，使4H=BD,連接C”,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的

判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用求解即可解答.

【詳解】解：取點(diǎn)〃在4）上，使4/=8。，連接C”,

?；AB=AC,乙ADB=2乙ACB,

:.乙BAD+UBDMBAC,

二乙4BDUD4C,

在△48。和△C4”，

(AB=AC

\^ABD=Z.DAC,

(BD=AH

???△力8。熱△G4H(SAS),

，乙BAD=LACH,乙B4C=BAD+乙DAC,

/.乙BAC"CH+乙DAC,

又?:乙DIIC="1CII+乙DAC,

:.乙DHC=cBAC,

tanz.DHC=\

3

ADLCD,

HD3

：.HD=-DC,

4

：?AD=HC=24DC,

4

?：HD2+DC2=HC2,

.\QDC)2+DC2=(2+|DC)2,

解得：DC=4,

?"O=5,

A/lC=V/)C2+y4D2=V424-52=V41.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，解決

本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線.

【變式43](2022?安徽?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，ZMBC三△ABD,點(diǎn)E在邊48上，CEII8D,

連接DE.

⑴求證：四邊形8CE0是菱形.

(2)已知點(diǎn)尸為8C中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作GF18C交力8于點(diǎn)G,BG=5,cos￡ABC=0.6,請(qǐng)直

接寫出BE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)7.2

【分析】(1)通過(guò)三角形全等證明相應(yīng)角和相應(yīng)邊相等，再根據(jù)CEII8D證明內(nèi)錯(cuò)角相等,

從而得到CE=BD,從而證明四邊形BCED為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形進(jìn)行證明；

（2）先連接CD,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的比值求出8尸的長(zhǎng)度，從而求出BC的長(zhǎng)度，再求

出8H的長(zhǎng)度，從而求出BE的長(zhǎng)度.

（1）

解：\'^ABC^^ABD

：.^ABC=Z.ABD,CB=BD

*：CEWD

:.乙CEB=Z.ABD

：.Z.CEB=LABC

：.CE=BC

：,CE=BD

:CE=BD,CEWBD

...四邊形BCED為平行四邊形

?:CB=BD

二四邊形RCED為菱形

⑵

解：連接CO交＜8與點(diǎn)H,如圖所示

???四邊形BCEZ）為菱形

：.BH=EH,BELCD

LCHB=90°

'：GFIBC

：.Z-GFB=90°

‘：BG=5,cos乙48c=0.6

.BF,

?,記二n66

：,BF=3

???點(diǎn)尸為BC中點(diǎn)

:?BC=6

VcosZi45C=^=0.6

:.BH=36

EH=3.6

：.BE=7.2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)】

【例5】（2022?安徽?桐城市第二中學(xué)九年級(jí)期末）已知△力OC中，點(diǎn)。為。。邊上一點(diǎn)，

則下列四個(gè)說(shuō)法中，一定正確的有（）

①連接AD,若。為8c中點(diǎn)，且平分乙8AC,則AB=4C：

②若N84C=90。，且BC=24C,WUfi=30°；

③若NB=30。，且8c=2AC,則NB4c=90°；

④若48=8C,乙C=6（F,且AZ）平分匕BAC,則△ABC的重心在AD上.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】①根據(jù)三角形的中線性質(zhì)，可得SAM。=SMCD，再利用角平分線性質(zhì)得到力8=AC；

②因?yàn)?c=24C根據(jù)直角三角形特殊三角函數(shù)值即可解答；③43=30。，且8c=2AC,

根據(jù)三角形中的特殊角的角邊關(guān)系即可確定匕847=90。；④三角形重心在三角形中線上，

根據(jù)等腰三角形三線合一可確定力。為中線，故重心在上.

【詳解】①因?yàn)镈為8C口點(diǎn)，所以SAAB。=SAACD，又因?yàn)榱?。平?84C,則點(diǎn)D到線段AB.

4C的距離相等，所以48=4。，故①正確；

②若48AC=90。，HBC=2AC,則匕8的正弦值為右則48=30。，故②正確；

③若M=30°,且6C=2AC,過(guò)點(diǎn)C作線段AB的垂線段恰好與AC重合，則4ZMC=90。,

故③正確；

④若4B=BC,"=60。，且4D平分NB4C,根據(jù)三線合一，40為8C邊中線，則△48C

的重心在4。上.

故答案選D

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，特殊角三角行的角邊關(guān)系，熟練學(xué)

握三角形的角平分線性質(zhì)，中線性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形角邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式51】（2022?黑龍江?綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校一模）在AABC中，若，卜由8-寸+0M一

V3）2=0,則“=度.

【答案】90

【分析】用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值解答.

【詳解】V|sin5—1|+（tan/1-V3）2=0,

AsinB—1=tanA-V3=0,

sinB=tan71=V3,

2

ZB=30°,ZA=60°,

ZC=180（ZA+ZB）=90°.

故答案為90.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)和特殊角的三:角函數(shù)，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和特殊角的三

角困數(shù)值，是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式52］（2022?湖南?長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）若菱形的周長(zhǎng)為8企，高為2,則菱形

兩鄰角的度數(shù)比為（）

A.6：1B.5：1C.4：1D.3：1

【答案】D

【分析】如圖，力”為菱形/WCD的高，AH=2,利用菱形的性質(zhì)得到718=2企，利用正

弦的定義得到=45°,則4C=135°,從而得到NC2B的比值.

【詳解】解：如圖.4H為菱形/國(guó)7。的高,AH=2,

???菱形的周長(zhǎng)為8VL

:.AB=2VL

在RtAABH中，sinB=^=2=￥，

AB2v22

:.Z.B=45°,

vAB//CD,

???Z.C=135°,

:.乙C:乙B=3:1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；

菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了直角三角形斜邊上

的中線性質(zhì).

【變式53】（2022?山東日照?三模）如圖，直線力+g與坐標(biāo)軸相交于48兩點(diǎn)，

動(dòng)點(diǎn)。在線段46上，動(dòng)點(diǎn)。在線段04上，連接OP,且滿足480P=40QP,則當(dāng)

乙P0Q=度時(shí)，線段。。的最小值為.

【答案】302

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作PMJ.04于點(diǎn)憶設(shè)P（t,—gt+g）,由三角形相似可得MQ的長(zhǎng)，

設(shè)0Q=m,則可得方程4￡2一（6+3m）t+9=0,再由根的判別式與根的關(guān)系以及二次函

數(shù)圖像與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸Ml。4于點(diǎn)M,

???動(dòng)點(diǎn)。在線段48上，

???設(shè)時(shí)-*+回，

:.PM=-yt+V3,0M=t,

???乙BOP+NPOM=90ZMQP+乙QPM=90°,乙BOP=(OQP,

4POM="PM,

???乙OMP=乙PMQ=90°,

???△OPMPQM,

.PM_OM

''"QM~'PM'

PM2（—當(dāng)t+b）2

??MQf=-t—

設(shè)OQ=m,

vOQ=OM+MQ,

整理得：4t2-(6+3m)t+9=0?

???A=/J2—4ac=36+367n+9m2—144>0,

整理可得：m24-4m-12>0,

設(shè)y=m?+47n-12,

則其與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(-6,0),(2,0),

va=1>0,開(kāi)口向上，

，當(dāng)y=機(jī)2+4m-1220時(shí)m<-6或者m>2,

OQ=m>0,

7n>2,

???0。的最小值為2,

將？n=2代入4t2-(6+3m)t+9=0,

可得：4t2-12t+9=0,

解得t=；，

...PM=_3+V5=W，0M="

322

在RtAPOM中，tan"0M=黑=當(dāng)x|=與，

/-POM=30°,

即"OQ=30°.

故答案為:30,2.

【點(diǎn)睛】本題考兗了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系等知識(shí)，牢固掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的

關(guān)鍵.

【題型6求特殊角的三角函數(shù)值】

【例6】(2022?廣東?東莞市東華初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))由4個(gè)形狀相同，大小相等的

菱形組成如圖所示的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4B,。都在格點(diǎn).匕ZO=60%則

tanZJ5C=()

【答案】c

【分析】證明四邊形WD6C為菱形，求得/48C=30。，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】解：連接力。，如圖：

???網(wǎng)格是有一個(gè)角60。為菱形，

小AOD、△8CE、〉BCD、△力。都是等邊三角形，

:.AD=BD=BC=AC,

???四邊形為菱形，且NO8C=60。，

/.N4BD=N4BC=3。。,

tanZABC=tan30°=^.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，證明四邊形力Q4C為菱形

是解題的關(guān)鍵.

【變式61】（2022?廣東?深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：

（l）3tan300+tan450+2sin30°.

（2）cos230°+tan30°xsin600-V2cos45°.

【答案】⑴K+2

再

【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解決此題.

（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及一次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算:即可解決此題.

（1）

解：原式=3X?+1+2XT

=V3+1+1

=75+2：

（2）

解:原式=（豕

3.1,

=；+尸

"4,

【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)

值是解決本題的關(guān)鍵.

【變式62］（2022?江蘇?漣水縣麻垛中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在中，ZACB=90°,

若N4=60。，AC=6,HOsinAABC=.

【答案w

【分析1利用直角三角形的兩銳角互余求得N48c的度數(shù)，再利用特殊角的三角函數(shù)即可

求得sinz.ABC的值.

【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示.

???在即△力8C中，乙408=90°,乙1=60。，

???〃8C=90°-4力=30,

.-.sinz/lFC=sin30^=l

故答案為：

【點(diǎn)睛】考查了直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握直角三角形的兩銳角互

余是解題的關(guān)鍵.

【變式63】（2022?河南?油田十中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為

1,點(diǎn)、A、B、。都在格點(diǎn)上，則乙力。8的正切值是.

【答案】1

【分析】連接力5,由勾股定理求得力尻AO.80的長(zhǎng)，判斷△440是等腰直角三角形，即

可求得答案.

【詳解】解：連接力從

由勾股定理得：48="2+32=同,Z4O=V12+32=V10,OB=y/22+42=2%/5,

：?AB=AO,0A2+AB2=（VTo）2+（V10）2=20=OB2,

“ABO是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，

tanZ-AOB=tan45°=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、

特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵.

【題型7同角的三角函數(shù)值的證明或求值】

【例7】（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論中（其中a,/?均為銳角），正確的是

.（填序號(hào)）

①sin2a+cos2a=1；②cos2a=2cosa；③當(dāng)0。Va</?V90。時(shí)，0<sina<sin/?<1；

④sina=cosa-tana.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①如圖，在RtUBC中，

...BCAC

.sina=—,cosa=—,

..2.28c2a2BC2+AC2AB2.

..sin2a+cos2a=^+^=^-=^=l,故①正確;

②若a=30°,則cosa=苧,

2a=60°,cos2a=；

2

cos60°*2cos30°

，cos2aH2cosa,故②錯(cuò)誤；

③當(dāng)0。VaV0V90。時(shí)，sina=冬,

???a越大，對(duì)邊越大，且越接近斜邊，

，sina越大，

???當(dāng)0?！纯凇?<90。時(shí)，0<sinaVsin/?<1,故③正確;

??.對(duì)邊鄰邊.對(duì)邊

?sina=,cosa=TTT，tona=——

?斜邊斜邊鄰邊

Asina=cosa-tana,故④正確.

故答案為：①⑶④.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的概

念是解題的關(guān)鍵.

【變式71】(2022?江蘇?鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模)已知sina?cosa=g且0。Va<45。，

8

則cosa-sina的值為_(kāi)__.

【答案】曰

【分析】首先證明sin2a+cos2a=1,把已知條件兩邊都乘以2,然后再根據(jù)cos?。+sin%=

1，進(jìn)行配方，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出cosa與sina的取值范圍，從而得到cosa-

sina>0,然后開(kāi)方即可得解.

【詳解】解：如圖，中，ZC=90°,

sinA=

cccos/l=

而+b2=c2,

:.sin2/l+cos2/l=p-+^2="旨=1=1，

即sin2a+cos2a=1,

i

vsina-cosa=

8

2Csi.nctacosct=:1，

4

???cos2a+sin2a—2sina-cosa=1-

即(cosa—sina)2=

v0°<a<45°,

0^2

???—<cosa<1,0<sina<—,

22

二cosa—sina>0?

V3

???cosa-sina=-.

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用好coS2a+sin2a=l,并求出cosa-

sina>0是解題的關(guān)鍵.

【變式72］（2022?福建甭田?一模）求證:若a為銳角,則siMa+cos2a=1.

要求：①如圖，銳角a和線段〃，用尺規(guī)作出一個(gè)以線段冽為直角邊，a為內(nèi)角的RS/BC保

留作圖痕跡，不寫作法）

②根據(jù)①中所畫圖形證明該命題.

【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析

【分析】①點(diǎn)A為圓心，m長(zhǎng)為半徑,在射線4W上截取4c=m；以點(diǎn)C為圓心作弧，與

射線交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于其距離的一半為半徑作兩條弧，交于一點(diǎn)，

連接點(diǎn)C與這一點(diǎn)，得到過(guò)點(diǎn)。的4H的垂線，該垂線交力N于點(diǎn)從RtAABC即為所求.

②根據(jù)三角函數(shù)的定義以及勾股定理證明即可.

【詳解】解:①如圖，RS/8C即為所求.

（2）???在RtAABC中，乙4CB=90°,

222

,\sina=—,cosa=―,AB=BC4-ACt

2,28c2?AC28c2+心AB2

s,na+3%=#+#=

赤=1.

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識(shí).

【變式73］（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知sina,cosa為方程國(guó)+px+q=0的兩根,

則p、q應(yīng)滿足的關(guān)系式為.

【答案】p2-2q-1=0

【分析】由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得sina+cosa=p①，sin?cosa=^@,①兩邊平方,

代入②和sin2?+cos2?-l即可得到結(jié)論.

【詳解】解：:sina,cosa為方程x2+px+c/=0的兩個(gè)根，

.*.sina+cosa=/?（l）?sinacosa=q②，

①兩邊平方得：（sina+cosflpup2,

/.sin2?+cos2a+2sin?cos?=p2,

Vsin2?+cos2a=l,sinacos?=t/?

l+2q=p，

即p?2ql=0.

故答案為62如=0.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和同角三角函數(shù)的關(guān)系，熱記根與系數(shù)的關(guān)

系和同角正弦和正切的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

【題型8互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的計(jì)算】

【例8】（2022?全國(guó)?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在aABC中，ZC=90°,sinA=|,則sinB等于（）

A-tB-Jc-iD-；

【答案】c

【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：siMA+siMB=l解答.

【詳解】???在R3ABC,NC=90°,

AZA+ZB=90°,

.*.sin2A+sin2B=l,sinB>0,

VsinA=p

,\sinB=Jl—（；）2=：

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式81】（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）若a為銳角，且cosa=9,則sin（90。-a）的值是

JIO

（）

5c12…5c12

AA.-B.-C.-~D.--

1313125

【答案】R

【分析】根據(jù):若a+0=90。，則cosa=sin。.

【詳解】由銳角三角函數(shù)性質(zhì)可知：sin（900-a）=cosa=y|

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，利用已知條件對(duì)角進(jìn)行分解是解題關(guān)鍵.

【變式82］（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）已知a,0都是銳角，且a+0=9O。，sina+cos/?=

V3,則a=.

【答案】600

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系得出cos/?=sina,求出sina二4,即可得出答案.

【詳解】解：???a+/?=90。

/.cosp=sina,

Vsina+cosp=x/3,

2sina=V3,sina=y,

???銳角《=60。.

故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，解此題的關(guān)

鍵是求出sina的值.

【變式83】（2022?福建?龍海二中九年級(jí)階段練習(xí)）李華在作業(yè)中得到如下結(jié)果：

tan70?tan83°=1

tan22°-tan68°=1

tan29°-tan61°=1

tan37°-tan53°=1

tan450-tan45°=1

根據(jù)以上，李華猜想：對(duì)于任意銳角a,均有tana?tan（90。一a）=1

（1）當(dāng)a=30。時(shí)，驗(yàn)證tana?tan（90。-a）=1是否成立；

（2）李華的猜想是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)反例.

（3）小明發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)解析式中的k值（一次項(xiàng)系數(shù)的值）其實(shí)就是該一次函數(shù)圖像與無(wú)

軸所形成的夾角的正切值，已知平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線互相垂直，月=的％+仇，

Z2：y2=k2x+b2（b^b2）,（自?七H0）根據(jù)以上結(jié)論，探究當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線

垂宜時(shí)七和七的數(shù)量關(guān)系,并畫圖證明.

【答案】（1）成立，見(jiàn)解析；（2）成立，見(jiàn)解析；（3）自,七=一1，見(jiàn)解析

【分析】（1）通過(guò)直角三角形兩銳角互余求出另一角為60。，再利用特殊角三角函數(shù)直即

可得證；（2）作直角三角形，利用正切的定義用線段比表示互余兩角的正切值，發(fā)現(xiàn)其互

為倒數(shù)，即可得證：（3）在直角坐標(biāo)系中作兩條直線相互垂直且垂足不在坐標(biāo)軸上，一直

線k>0,一直線k<0,在兩直線與x軸圍成的直角三角形中同（2）的方法即可得證.

【詳解】（1）當(dāng)a=30。時(shí)，90°-a=60°,

tana-tan（90°—tz）=tan30°xtan600=1,

.?.當(dāng)a=30。時(shí)tana?tan（90°—a）=1成立.

（2）答：成立.

證明：如右圖，作Rt/kABC,其中=1夙?二90。，4C為斜邊，BA,為兩直角邊.

設(shè)4A-a貝1J乙C-90c_出

tana=tanA=—,tan（90°—a）=tanC="，

ABCB

tana-tan（90°-a）='.==1'

???tana-tan（90°-a）=1成立.

（3）作如圖平面直角坐標(biāo)系％Oy,1Z2?垂足為人

設(shè)，i交工軸于B,y軸于D,%交匯軸于ay軸于工

???A1，2于力二48/1。=90。，

???^LABC+Z-ACB=90°,:.乙48c=90°-乙4cB

依題意得"i=tan乙4BC=萼，k=—tan乙4cB=—2，

BO2OC

ki,k2=tanz.ABC?(—tanz.ACB)=tan(90°—Z.ACB)?(—tanZ-ACB)

=-tan(90°—Z-ACB)?tanz.ACB.

由(2)知tana?tan(90°-a)=1.

:.k1?k2=-1.

【點(diǎn)睛】木題主要考查J'正切的概念、一次函數(shù)增減性求參數(shù)、互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系.充

分理解正切的概念和一次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【題型9利用增減性判斷三角函數(shù)的取值范圍】

【例9】(2022?福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中)三角函數(shù)sin40。、8sl6。、tan50。之間的

大小關(guān)系是()

A.tan50°>cos16°>sin40°B.cos16°>sin40°>tan50°