專題42 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（新高考專用）（解析版）

專題4.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【八大題型】

【新高考專用】

?熱點題型梳理

【題型1三角函數(shù)的定義域、值域問題】.........................................................2

【題型2三角函數(shù)的圖象識別與應(yīng)用】...........................................................4

【題型3由部分圖象求函數(shù)的解析式】...........................................................6

【題型4三角函數(shù)圖象變換問題】...............................................................10

【題型5三角函數(shù)的單調(diào)性問題】...............................................................12

【題型6三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】.......................................15

【題型7三角函數(shù)的零點問題】.................................................................18

【題型8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】....................................................20

?命題規(guī)律

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點內(nèi)容，其中函數(shù)產(chǎn)4sin(c?+0)的圖象變換以及三角函數(shù)的周期性、

對稱性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高考考察的重心.從近幾年的高考情況來看，比較注重對三角函數(shù)

的幾大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.

?知識梳理

【知識點1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：

⑴形如y=as\nx+bcosx+c的三角函數(shù)化為產(chǎn)Asin(a)x+3)+c的形式，再求值域(最值)；

⑵形如)=asin21+戾inx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=/,化為關(guān)的二次函數(shù)求值域(最值)；

⑶形如＞=asin.rcos.r+/?(sin,ricosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)/=sin.v±cosx,化為關(guān)于/的二次函數(shù)求值域(最

值).

【知識點2三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

⑴對于可化為於尸Asin(?x+?)(或兒t)=Acos(s+0))形式的函數(shù)，如果求人x)的對稱軸，只需令

，+E(k￡Z)(或令＜°x+9=E(k￡Z)),求x即可；如果求?r)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

Q)x-(p=kK(kQZ)(或令cox+(p=y+E(k￡Z)),求x即可.

Lrr

(2)對于可化為於)=Atan(5+5)形式的函數(shù)，如果求於)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令⑴x+(p=方(氏7)),

求工即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在尸Asin(3+9沖代入40,

若產(chǎn)0則為奇函數(shù)，若)，為最大或最小值則為偶函數(shù).

若產(chǎn)4sin(Qt+9)為奇函數(shù)，則(p=kn(k￡Z)；若尸4sin(cox+9)為偶函數(shù)，則伊:/+/at(k￡Z).

【知識點3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題思路】

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為更雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成尸Asin("x+p)形式，再求)=4sin(s+s)的單調(diào)區(qū)間，

只需把3+夕看作一個整體代入尸sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把3化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)s的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)

的單?調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選

擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

【知識點4三角函數(shù)的圖象變換問題】

1.三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法

解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：

(1)定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個函數(shù)的圖象變換得到另一個函數(shù)的圖象；

(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；

(3)選方法：即選擇變換方法.

?舉一反三

【題型1三角函數(shù)的定義域、值域問題】

【例1】(2023上?湖南株洲?高一?？茧A段練習(xí))函數(shù)y=tanx的定義域為()

A.RB.(x|x^y,/cGZ]

C.｛工區(qū)Hg+Anr,A￡z｝D.｛工+

【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

【解答過程】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)丫=12娥有意義，則滿足+WZ,

所以函數(shù)y=tanx的定義域為｛x|xW：+上立,女￡zj.

故選：C.

【變式1-1](2023上?陜西咸陽?高三?？茧A段練習(xí))困數(shù)/'Q)=sin(2x十號在?上的值域為()

A?[-今1]B,[號T]C-恰1]D.[0,1]

【解題思路】根據(jù)xc[0，￥，可得2%+三€口日]，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求解即可.

【解答過程】解:由“中,斗瓦得2%+當(dāng)仁，外

則/(x)=sin(2%+6[-y,l].

故選：A.

【變式1-2](2023?廣東廣州?廣東實驗中學(xué)校考一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(cox-(co>0)在[o,1上的值

域為[-1,2],則3的取值范圍為()

【解題思路】根據(jù)題意可得3%-7€上士；3一雪，再利用值域可限定5453-！4口+3解得3的取值范

6L6Z6J2266

圍為居?

【解答過程】由3G[。身及3>0可得3%—注[一號eT，

根據(jù)其值域為[-1,2],且2sin(-J=.l,

由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得；+

2Zoo

即可得;解得933匕3

3Zo33

故選:B.

【變式1-3](2023?四川成都?四川省?？寄M預(yù)測)當(dāng)XE恪m]時，函數(shù)/(乃=3(3%+*勺值域是

卜1,一日]，則，〃的取值范圍是()

AY有B.售用

仁去用D.曲用

【解題思路】解法一：畫出函數(shù)的圖象，由x的范圍求出3x+孑勺范圍，根據(jù)f(x)的值域可得答案：

解法二：由工的范圍求出3、+；的翹圍，根據(jù)y=cosX的圖象性質(zhì)和/(%)的值域可得答案.

?5

【解答過程】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由》€(wěn)匕，根1，可知+3m+3

LoJ633

碼=5。,C選項正確，D選項錯誤;

故選：C.

【變式2-1]（2023?高一課時練習(xí)）如圖所示，函數(shù)y=cosx代anx|（0Wx＜蓑且工工^）的圖像是（）.

【解題思路】取絕對值符號，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得解.

sinx,或穴工》<^

【解答過程】y=cosx|tanx|=

-sinx,^<x<TT

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如下圖所示,

函數(shù)/■（%）=患m的圖象大致為（）

【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)排除C、D,再計算/C)>0,可排除B,從而可得到答案.

【解答過程】f(x)的定義域為R，

因為/(—%)=-xsin(-x)xsinx=fW，

el—xl—1el*l-i

所以/(%)在R上為偶函數(shù)，可排除C、D；

乂/⑶=雷=會>。，可排除B?

故選：A.

【變式2-3](2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)y=f(x)部分圖象如圖所示，則函數(shù)/(%)的解析式可能為

()

A./(x)=xsin2xB./(x)=xsinxC./(x)=2|x|sinzD./(x)=2|x|sin2x

【解題思路】利用函數(shù)零點排除B,C兩個選項，再由奇偶性排除A后可得正確選項.

【解答過程】由圖像知f(x)=0,%€[0,可有三個零點經(jīng)驗證只有AD滿足，排除BC選項,

A中函數(shù)滿足/Xr)=-xsin(-2x)=xsin2x=/(x)為偶函數(shù)，

D中函數(shù)滿足/(一%)=2l-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=一/(%)為奇函數(shù)，

而圖像關(guān)于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A,選D.

故選：D.

【題型3由部分圖象求函數(shù)的解析式】

【例3】(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2sin(sr+0)(其中3>0,0<(p<K)的圖象

如圖所示，且滿足/XO)=/(x0)=一/1。+2=1，則/'(%)=()

A.2sin(2x+§B.2sin(2x-^)

C.2sin(3x+]D.2sin(3x-^)

【解題思路】根據(jù)題意得到函數(shù)的最小正周期，然后利用三角函數(shù)的周期公式得到3=3,再結(jié)合f(0)=1可

得到3進(jìn)而求解.

6

【解答過程】設(shè)/(X)的最小正周期為T,根據(jù)/(&)=-/?(與+小及函數(shù)圖象的對稱性知，\=卜0+9-%,

所以7=§=",得3=3.

33

由/(。)=1，得sin(3x0+樞)=；,因為0<gVm

由圖知故/'(%)=2sin(3x+J.

故選：C.

【變式3-1](2023.陜西咸陽?武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測)函數(shù)f(>)=3sin(d)x+>)3>0,0V3V

TT)的部分圖象如圖所示，則()

A.f(x)=3sin{2x+y)

B./(%)圖象的一條對稱軸方程是x=-等

8

C.f(x)圖象的對稱中心是kwz

D.函數(shù)y=f(x+是奇函數(shù)

【解題思路】根據(jù)圖象可求得函數(shù)/'(%)的解析式為/(無)=3sin(2x+})，可判斷A錯誤；將為=一拳弋入

可得/(%)取到最小值，可知B正確；由整體代換法可得/'(X)的對稱中心是?4口-費(fèi),0)，k￡Z,即C錯誤:

根據(jù)奇偶性的定義可得D錯誤.

【解答過程】由函數(shù)f(x)=3sin3v+w)的圖象知;7=1—(—9=/，可得T=n；

28\8/2

即詈=口，解得3=2,即/'(無)=3sin(2%+*),

又因為/(一;)=3sin(9—3)=3,可得@一：=；+2〃TI,kWZ,即@=:+2/nr,kGZ,

又0VqVn,可得q=/(x)=3sin(2x+y),故A錯誤.

對選項B,f(一我)=3sii)H+9=3sin(_：)=_3取至lj最小值,故B正確.

對選項C,令2%+亨=依，kWZ,解得柒kEZ,

因此八》)的對稱中心是《如一毛,0),kez,故C錯誤.

對選項D,設(shè)g(x)=/(x+y)=3sin(2x+y+y)=3sin(2x+：)=3cos2%,

則g(x)的定義域為R,g(-x')=3cos(-2x)=3cos2x=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，即D錯誤.

故選：B.

【變式3-2](2023上?陜西榆林?高三?？茧A段練習(xí))函數(shù)/(無)=/lsin(6jx+9)(4>0,3>0,|初V]的部

分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.點管,0)是/?(》)的對稱中心

B.直線％=g是/?(%)的對稱軸

C.f(x)的圖象向右平移,個單位得y=sin2x的圖象

D./Xx)在區(qū)間曲引上單調(diào)遞減

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)部分圖象求出解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】由題意可知，A=l,

:丁二答一去解得「二元，

4126

所以7=71=空，解得3=2,

將。0)代入/(%)=sin(2x+0)中，得sin(2xe+0)=0,解得卬二5一三，kWZ、

因為所以

/44

當(dāng)k=0時?(p=-

3

所以/O)的解析式為/(%)=sin(2%-；).

對干A，/0D=sin(2x工一力=1區(qū)0,所以點(工,0)不是八外的對稱中心，故A錯誤；

對于B,/?(m)=sin(2xg-9=0M±l,所以直線％=￡不是/(%)的對稱軸，故B錯誤；

對于C,/(x)=sin(2%-§的圖象向右平移得個單位得f(%)=sin12-§一外=sin(2%-為=cos2x

的圖象，故C錯誤；

對于D,當(dāng)時，2x-；€[y,Tr]cg,7T],所以/(%)在區(qū)間Rg]上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：D.

【變式3-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=3sin(tox+@)[€R,a)>0,\(p\<的部分圖象如圖

所示，則下列說法正確的是()

A./(x)=3sinQx-^)

B-/(T)=T

C.不等式fQ)>|的解集為［6kn+^,6kn+^\kez

D.將f(x)的圖象向右平移看個單位長度后所得函數(shù)的圖象在［6m8可上單調(diào)遞增

【解題思路】由圖象求出/(%)的表達(dá)式后逐?驗證選項即可.

【解答過程】由函數(shù)圖象可知，最小正周期為7=4(1-苧)=6n,所以3=署=/

將點管,3)代入/(無)=3sin(tox+(p),得3=3sinx苧+0)，

又M|v］，所以3=與故f(%)=3sinG”+3，故A錯誤；

所以/?(B)=3sin：=￥，故B錯誤；

令/(%)?：,則sin(：x+S)N］，所以2kn++弓W2kir+?,kEZ,解得6kir+；WxW6/CTT+手,

4工上J/b05<14OT,T"

k￡Z,

所以不等式/(x)>|的解集為卜E+：,6/nr+弓］上￡Z,故C正確；

將/(x)=35由d+3的圖象向右平移盤個單位長度后，得到/⑴=3sinQx+白的圖象，令2而一三

4--^<2/CTT4-pkWZ,

解得6kir-g6%-6/CTT+kGZ>

令A(yù)=1得詈4%工等，因為［6R,8TT］0［等,等］,故D錯誤.

故選：C.

【題型4三角函數(shù)圖象變換問題】

【例4】(2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模)為了得到函數(shù)y=sin2x+cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=V^cos2x的圖

象()

A.向右平移g個單位長B.向右平移T個單位長

o6

C.向左平娓個單位長D.向左平提個單位長

o6

【解題思路】逆用三角函數(shù)的和差公式化簡丫=$訪2%+852%,再利用三角函數(shù)的平移法則即可得解.

【解答過程】因為y=sin2x+cos2x=V2cos(2x一；)=V2cos2-)

則y=&cos2x向右平移^個單位長可以得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象.

8

故選:A.

【變式4-1］(2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)外幻=71cos(2x+(p)(A>0,|如Vn)是奇函數(shù)，且/(?)=

-1，將/(幻的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x),則()

A.g(x)=sin4xB.g(x)=sinx

C.g(x)=cos(4x+?D.g(x)=cos(x+

【解題思路】根據(jù)題設(shè)有w=±]再結(jié)合/(弓)=-1求得力=1,最后根據(jù)圖象平移寫出g(x)解析式.

【解答過程】由fCt)是奇函數(shù)，則“=碗+￡k￡Z,又|wl<m可得W=±￡

當(dāng)少/(x)=?lcos(2x+^)=-i4sin(2x),M/(y)=-/Isiny=>4>0,不合題設(shè)；

當(dāng)障=-]/(x)=Acos(2x-^)=i4sin(2x),則f管)=Asi嗎=-4=-1,故4=1；

所以/(x)=sin(2x),

將/(%)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，故g(x)=sin(4x).

故選:A.

【變式4-2](2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測)函數(shù)/'(x)=Asin(Mr+@)(其中4>0,3>0,|@|<9的圖象

如圖所示，為了得到g(x)=cos2力的圖象，則只需將/(%)的圖象()

A.向右平移?個單位長度B.向右平移5個單位長度

612

C.向左平移T個單位長度D.向左平移限個單位長度

61Z

【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出/G)的解析式，再逐項判斷即得.

【解答過程】由圖知，4=1，函數(shù)/?(%)的最小正周期丁=4?-》=口，于是3=^=2,

即/Q)=sin(2x+8),顯然/(工)二-1,即2X號+8=g+2kn#EZ,

而卜。Ivp則k=0,*=%因此f(x)=Sin(2x+|),

對于A,將/(x)的圖象向右平移個單位長度，得曠=sin[2(x-；)+勺=sin2x,

6□3

此函數(shù)圖象與y=g0)圖象不重合，A錯誤；

對于B,將/1(%)的圖象向右平移三個單位長度，得〉=sin[2(x-自+*=sin(2x+,

此函數(shù)圖象與y=g(x)圖象不重合，B錯誤；

對干C,將/(x)的圖象向左平移*個單位長度，得y=sin[2(x+》+g]=sin(2x+g),

此函數(shù)圖象與y=g(x)圖象不重合，C錯誤；

對于D,將/(%)的圖象向左平移祗個單位長度，得、=sin[2(x+巳)+§=sin(2x+/)=cos2x,D正確.

故選：D.

【變式4-3](2023?四川成都?統(tǒng)考二模)將最小正周期為Tt的函數(shù)f(x)=2sin(2wx-^)+l(o>>0)的圖象

向左平租個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的說法正確的是()

A.對稱軸為％=-聲:，/CGZB.在[0圖內(nèi)單調(diào)遞增

C.對稱中心為(―2+蕓1),kEZD.在他可內(nèi)最小值為-1

【解題思路】根據(jù)周期可得3=1,再通過平移變換可得g(x),然后由正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性求解即可.

【解答過程】因為f(%)=2sin(2(ox-^)+1(3>0)的最小正后期為IT,

所以羽二口，解得3=1,

則由平移變換可得g(%)=2sin2(x+：)-,+1=2sin(2x+；)+1,

A選項：令2%+；E+而得對稱軸方程為x=2+?,k€Z,A錯誤；

B選項：由一三2x+三拊一工GW*所以g(x)在[。目上單調(diào)遞增，

由仁2%+三日得巳G工有所以g(均在傳曰上單調(diào)遞減，B錯誤；

C選項：令2x+g=kir得'=—g+弓，kWZ,所以g(x)的對稱口心為(―3l),kEZ,C正確：

D選項：因為g(0)=2sin^+1=V5+l,gQ=-2sin^+1=1-V3,g(0)>g(])，

所以結(jié)合B中分析可得g(x)在[。曰內(nèi)的最小值為gQ)=1-V3,D錯誤.

故選:C.

【題型5三角函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例5】(2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列區(qū)間中，函數(shù)/(幻=3$而1+9單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.鋁)

B（祥）

C.管產(chǎn))D.(n,2n)

【解題思路】首先求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)選項判斷.

【解答過程】令2kn-三W'+mW2/rn+工，/c6Z,得2kir-茫WxW2/or+q，keZ,

24244

當(dāng)4=0時，增區(qū)間是卜詈月,當(dāng)上=1時，增區(qū)間是傳，外

其中只有管,分是增區(qū)間的子集.

故選：C.

【變式5-1](2023上?內(nèi)蒙古包頭?高三?？茧A段練習(xí))函數(shù)/1(%)=cos(s:+W)的部分圖象如圖所示，則/(%)

A.,71一：,而+三,kezB.[2后一％2而+和kez

C.卜-3，憶十,，kezD.[2k一：,2k十口，kez

【解題思路】根據(jù)圖象可得fG)的最小正周期和最小值點，根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.

【解答過程】設(shè)/(%)的最小正周期為T，

可知《=3一：=1,即7=2,

且當(dāng)％=手=：時，/(X)取到最小值，

由周期性可知：與》=：最近的最大值點為無二：一1=一：，如圖所示，

444

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［2k-；,2k+》kez.

故選：D.

【變式5-2］(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=cos(2x+樞)(0<(p<2n)在［一局上單調(diào)遞增，

則3的取值范圍為()

A.TX<(p<—B.-<(p<—

-4n,)n4TT,,3n

C.—<(P<2TTD.—<(p<—

【解題思路】由x的取值范圍求出2x+*的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【解答過程】由不￡［—,；］,所以2x+0W［―g+w，B+w］,

又0W0V2m所以

且函數(shù)/(外在卜精］上單調(diào)遞增，

所以2n,解得手工/三￥，即@的取值范圍為：工0工?.

---F<Z)>TT3232

I3*

故選：D.

【變式5-3］(2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/■(￡)=25m(3%-9(3>0)在(0,9上存在最值，且在

(g,n)_L單調(diào)，則3的取值范圍是()

A.(喝B.［詞C.居D.借］

【解題思路】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對X￡(0,9進(jìn)行最值分析，對區(qū)間X€(g/n)上進(jìn)行單調(diào)

分析：

【解答過程】當(dāng)0VXV?時，因為3>0,則

36636

因為函數(shù)/?(%)在(o,9上存在最值，則詈/冶，解得儂>2,

當(dāng)空<X<n時，--<6OX—7<neo—7?

336o6

因為函數(shù)/'⑺在售同上單調(diào)，

則(等一也叫一9C+m(fcEZ),

/2nco-->/CTT—

所以6其中kEZ,解得；k—

TTO)--<kn+

6

所以，一三k+芯解得k號

又因為3>0,則kE{0,1,2}.

當(dāng)A=0時，0<w<I；

當(dāng)A=1時，1<<d<I；

當(dāng)A=2時，|<（o<1.

又因為3>2,因此3的取值范圍是住,胃.

故選：C.

【題型6三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運(yùn)用】

【例6】（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)"%）=sin（3x+3）（-]V卬在管需）內(nèi)單調(diào)遞減,

%=費(fèi)是函數(shù)f（x）的一條對稱軸，且函數(shù)y=f（"+錄為奇函數(shù)，則/管）=（）

A.--B.-1C.-D.—

222

【解題思路】利用止弦型函數(shù)的對稱性、奇偶性、單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【解答過程】因為函數(shù)/（X）在借得）內(nèi)單調(diào)遞減，％=費(fèi)是函數(shù)/3的一條對稱軸，

I」士7n3TT一1E7n3n_12ni?一c

所以有片一片W5T

ooZooZ|u?|

所以3?軍+0=2kTT+wZ）（1）,

82

因為y=/（"+；）=sin（3%+詈+w）是奇函數(shù)，

所以詈+0=nur(mWZ)⑵，由⑴一(2)可得：co=4(2/c-m)+2,

而|訓(xùn)42,所以|G|=±2,

當(dāng)o>=2時，g+9=rmx(mEZ)=w=mn-?(mEZ),

因為—gvgv所以g=

224

即/(%)=sin(2x—；),

當(dāng)借與時，顯然此時函數(shù)單調(diào)遞減，符合題意，

所以fG)=sin(2x^-2)=sin|=y；

當(dāng)3=-2時，―券+@=mn(mEZ)=0=znn+：(m￡Z),

因為-所以0=：，

即/(x)=sin(2x+；),

當(dāng)管蔣時’2x+；e(n,2n),顯然此時函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意，

故選：D.

【變式6-1］(2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=tanhx+§,則下列說法正確的是()

A.f(x)為奇函數(shù)B./(外在區(qū)間片君上單調(diào)遞增

C./(%)圖象的一個對稱中心為悟,0)D.f(x)的最小正周期為兀

【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的定義域、對稱中心、周期、單調(diào)性逐項判斷即可得解.

【解答過程】因為f(x)=tan(2%+*所以2%+旨而+］解得％0弓+^k￡Z

即函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所以/(切不是奇函數(shù)，故A錯誤；

當(dāng)％=巳時，2%+：》此時/W無意義，故人幻在區(qū)間片馬上單調(diào)遞增不正確，故B錯誤；

當(dāng)“巳時，2x+^=p正切函數(shù)無意義，故語,0)為函數(shù)的一個對稱中心，故C正確；

因為/(無+；)=tan［2(x+}+；］=tan(2x+；+TC)=tan(2x+；)=/(x),故］是函數(shù)的一個周期，故D錯

誤.

故選：C.

【變式6-2］(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=COS(G)X+。)(0V3V10,0<cp<n)圖象的一個

對稱中心是4&,0),點8(0，日)在/?(乃的圖象上，下列說法錯誤的是()

A./(x)=cos(2x+9B.直線x=曰是/'(%)圖象的一條對稱軸

C.f(x)在［g,詈］上單調(diào)遞減D./■1+§是奇函數(shù)

【解題思路】由八0)二日可得9=%由對稱中心力&0)可求得必=2,從而知函數(shù)/(%)的解析式，再根據(jù)

余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一分析選項即可.

【解答過程】因為點8(0,號)在/⑴的圖象上，所以/'(0)=cose=冬又。<9<n，所以0V.

因為圖象的一個對稱中心是4尊0)，所以『+：=］+—kEZ,

則3=2+84,左￡2.又0<3<10,所以3=2,則/'(%)=cos卜工+：),A正確.

f(y)=cosY=0?則直線％=日不是f(x)圖象的一條對稱軸，B不正確.

當(dāng)巖］時，+“幻單調(diào)遞減，C正確.

f('+：)=cos。%+；)=-sin2x,是奇函數(shù)，D正確.

故選：B.

【變式6-3］(2023?山東?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/'(%)=asin2x4-bcos2x^abH0)的圖象關(guān)于直線％=?對稱，

6

則下列說法正確的是()

A./［一勺是偶函數(shù)B./(口的最小正周期為2冗

C./(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.方程/'(%)=2b在區(qū)間［0,2g上有2個實根

【解題思路】利用賦值法可求a,b的關(guān)系，從而可得/?a)=2bsin(2x+9,利用公式可判斷B的正誤，結(jié)

合珈勺符號可判斷C的正誤，結(jié)合特例可判斷A的正誤，求出方程八切=2力在區(qū)間。2口］上解后可判斷D

的正誤.

【解答過程】因為/1(幻的圖象關(guān)于直線％寸稱，故/(0)=/6)，

所以b=asing+bcosg,所以a=V5b,

所以/(x)=\f3bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+'),

此時f(9=2bsin(2x>勻=2b,故函數(shù)圖象關(guān)于直線”=利稱.

f(Y-J=2bsin(2x—2x4-^|=2bsin(2x—5

令0(%)=f1一9=2bsin(2%-J,

則0(12)=2bsin弓一J=0,而g(—g=2bs\n(一2xJ=-6b工0,

故以幻=/(無一J=2bsin作一J不是偶函數(shù)，故A錯誤.

/(x)的最小正周期為知=口，故B錯誤.

因為b的正負(fù)無法確定，故/(%)在卜的單調(diào)性無法確定，故C錯誤.

令/(幻=2b,xW［0,2記，因2匕H。，則sin卜工+')=!.，

因為xW［0,2ir］,故2%+￡w［g,等］,故2x+gT片即％=

oLooJoZZoo

故方程/QO=2b,xe［。,如］共2個不同的解，故D正確.

故選：D.

【題型7三角函數(shù)的零點問題】

［例7］(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=sincox+75cos3X-V2(to>0)在(0,n)內(nèi)恰有一個零點，

其圖象在(0,n)內(nèi)恰有一條對稱軸，則3的取值范圍是()

A?隱噂B.信中C.信刁D.總曰

【解題思路】由輔助角公式、化簡函數(shù)式，然后求得整體的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的零點得出不等關(guān)

系，從而得參數(shù)范圍.

【解答過程】由題意得：/(%)=sino>x+VScoscox-&=2sin(cox+&3)>0).

因為XE(0,TT),所以gV+g<(co+1)11.由/'(x)=0,得sin(3%+g)=?.

因為/(x)在區(qū)間(0,n)內(nèi)恰有一個零點，則3%十日=斗，它的圖象在此區(qū)間內(nèi)恰有一條對稱軸，

?5T

f^<(a)+r)TT<22!

則+T=3所以-3：'解得34?故A項正確.

K<(?+如斐

故選:A.

【變式7-1］(2023?安徽?蕪湖一口校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=cosIR-2|sinx］,以下結(jié)論正確的是

()

A.TT是/■(%)的一個周期B.函數(shù)在［o,g］單調(diào)遞減

C.函數(shù)/'(%)的值域為［一遍,1］D.函數(shù)/'(')在［一2n,2司內(nèi)有6個零點

【解題思路】對于A,根據(jù)fg+n)工即可判斷；對于B,當(dāng)％e［0,g］將f(x)化簡，然后檢驗即可；

對于C,求出函數(shù)求化)在一個周期［0,2TT］的值域,先求當(dāng)％€［0河,再求當(dāng)％W的值域即可判斷;對于

D,根據(jù)函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，可通過區(qū)間［0,2可上零點個數(shù)從而確定其零點個數(shù).

【解答過程】因為/@+口)工/(3,所以A錯誤;

當(dāng)小唱/(%)=cosx-2sinx=V5('cos%--^sinx)=\^5cos(x+(p),其中cosw=熹,sing=專,

不妨令3為銳角,所以己<3<］所以94工+3^^+0,因為g+w>TT,所以B錯誤：

因為2n是函數(shù)/?(%)的一個周期，可取一個周期［0,2可上研究值域，當(dāng)不￡［0,河，

f(x)=cosx-2sinx-V5(+cosx—奈sinx)—V5cos(x4-</>)?(p<x-\-(p<ix-\-(p,所以VScosrr<f(x)<

小cos(p,即/(%)€［-V5,1］；因為/(%)關(guān)于%=ir對稱,所以當(dāng)xG時/■(%)G［-x/5,1］,故函數(shù)/(x)在

R上的值域為［一遍,1］,故C正確；

因為函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間［-2殖2可上零點個數(shù)可通過區(qū)間［0,2可上零點個數(shù)，由〉=5也因，y=

2|cosx|在［0,2句圖像知由2個零點，所以在區(qū)間［-2n,2n］上零點個數(shù)為4個，所以D錯誤.

故選:C.

【變式7-2］(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/'(%)=2COS(MT+@)(co>0且一：<9V；),設(shè)T為

函數(shù)/Q)的最小正周期，/?(；)=-1,若/(外在區(qū)間［0,1］有且只有三個零點，則3的取值范圍是()

A?件,等］B.段，宓)C.管卷］D.浮等)

【解題思路】根據(jù)題意可確定7為函數(shù)/?(%)=285(3%+@)的最小正周期，結(jié)合f(9=-l求出"，再根據(jù)

f。)在區(qū)間［0刀有且只有三個零點，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列出不等式，求得答案.

【解答過程】由題意知T為函數(shù)/(無)=23(3%+?)的最小正周期，故T吟

由/(：)=-1得2cosc+3)=-1'即cos(]+*)=-p

由于一Tvgv%故W=g

NN6

f(x)在區(qū)間［0,1］有同只有三個零點，故3%+*白3+勺，

666

且由于y=cos%在(0,+8)上使得cosx=0的x的值依次為日,…，

故?工3+已<^，解得〈等，即等)，

故選：D.

【變式7-3］(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=\/2sin(6JX+(p)(a)>0)的最小正周期T<%，/(>=

1.m/⑺在支=白處取得最大值.現(xiàn)有下列四個結(jié)論:①。皿=%②口的最小值為最③若函數(shù)/Xx)在(白,》

1U42NU4

上存在零點，則3的最小值為當(dāng)；④函數(shù)/（%）在（察，關(guān)）上一定存在零點.其中結(jié)論正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用對稱性計算判斷①；探討出3值的表達(dá)式及范圍判斷②：對口的取值驗證

判斷③④即可作答.

【解答過程】因為函數(shù)人外在處取得最大值，即函數(shù)/（幻的圖象關(guān)于直線X=2對稱，

因此/（0）=/（g）=1,即應(yīng)sin*=1,解得sin（/）=?,①正確；

因為函數(shù)/（%）在x=巳處取得最大值，則巳3+0=2"+6Z,即樞=2/nr+W-WZ,

有sin>=sin（^一卷e）=cos^to=￥，于是=2nir±^,nGZ,

又3>0,7=空V爪，即3>2,因此3=20九+三,〃€N或3二20九一三,九EN*,從而6）min=三，②錯誤；

co222

當(dāng)A€Z時,/（%）=V2sin（tdx+2kn+；一4①）=y/2s\n（a）x+^―^co）=V2cos3（%—熱），

當(dāng)3=g時，/（%）=岳0$（）一》由“￡（弟》得梟一襄（一：》此時人乃>0,

當(dāng)3=弓時，/（X）=V2COS（Y%-'）=V2cos（^x+：）,

由XW臉小得齊+各片，等），當(dāng)片+江河片與朗時,/W=0,

當(dāng)s=20n±￡nWN*時，］二胃工々，而區(qū)間或，》長度>3=（>T

即當(dāng)3=20九土;,716N*時，函數(shù)f（%）在（2鄉(xiāng)上存在零點，3min=手③正確；

//U4/

當(dāng)3=泄，/（%）=岳0S（|%-》由％6（詈,詈）得"一江（詈,詈），

顯然當(dāng)=?時，/。）=°，即函數(shù)/（%）在（嶗，手）上存在零點，

/44uUAO

當(dāng)3=2072士”wNW,T=而區(qū)間（詈，詈）長度空一繆=巳>）,

函數(shù)/■（%）在（黑,手）上存在零點，綜上得函數(shù)/（外在（嶗,日）上一定存在零點，④正確,

/UX?94UXO

所以結(jié)論正確的個數(shù)是3.

故選:C.

【題型8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例8】（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/'（幻=45皿（3》+§3>0）在611］上單調(diào)遞減

(1)求3的最大值:

⑵若/(%)的圖象關(guān)于點傳,0)中心對稱，且/(外在［一第向上的值域為［-2,4］,求〃］的取值范圍.

【解題思路】(1)將&X+T看作整體，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得結(jié)果；

(2)根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱中心及第一問可得/'(X)解析式，再利用正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.

【解答過程】(1)由條件知,，T，則+g60+；"3+3］,

《3+”71

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：,k6Z,a)e\l+12k,-+12k\,keZ

nw+^<y+2/cn16」

又有==0<W<^,

66235

當(dāng)A=0時，133工；符合題意：

當(dāng)AN1時，不等式13<3<1+12,舍去，

6

所以3的最大值為:.

O

(2)因為/(%)的圖象關(guān)于點(g,0)中心對稱，所以^3+：=kir(kWZ).

即3=g-€Z),

由(1)得：所以3=弓，則/(X)=4sin(日工+§,

當(dāng)卜茄，加］時,Vx+7el-?Tm+^

因為f(%)在［-弟m］上的值域為［-2,4］,所以sin(孩x+§€［―；,1?

則三”小+上胃，解得霽工小工引，

zV3bzuq

所以加的取值范圍是篇，外

【變式8-1］(2023上?山東泰安?高一?？计谀?已知函數(shù)/'(%)=sin(2x—§.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(2)當(dāng)不￡卜*］時，求不等式/lx)對的解集.

⑶求f(x)在區(qū)間上，工］上的最大值和最小值.

【解題思路】(1)整體法求出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而利用7=空求出最小正周期；

3

⑵工￡卜],卵寸，2x-^G[-y,y],數(shù)形結(jié)合解不等式，求出解集；

(3)整體法求解函數(shù)最值.

【解答過程】(1)令-T+2/HTW2x-TwT+2kn,k￡Z,

解得一TZ+ku<x<4-ku,kWZ,

X￡?XLa

故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[—2+/E居+/同，々WZ,

最小正周期為

⑵x十罰時，2.何智,胃

fW>|=>sin(2x->1,

故拉-對wU[消,解得Xe[-=,-f=]U居;

⑶〃葉身時，2A髀■科

由于y=sin￡在t￡卜黑上單調(diào)遞增，在日膏上單調(diào)遞減，

故當(dāng)即3凈寸，fQ)=sin卜9取得最大值，最大值為1,

當(dāng)&*=一%即3凈j，八乃=而卜》—9取得最小值，最小值為一(

故/⑺在區(qū)間七君上的最大值為1,最小值為，

【變式8-2](2023上?廣東江門?高一?？计谀?已知函數(shù)/'(%)=Asin(s:+3)(力>0,co>0,\(p\<

圖象的相鄰兩條對稱軸的距離是g當(dāng)％=:時取得最大值2.

N6

(1)求函數(shù)/(%)的解析式；

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間[。目的最大值和最小值：

(3)若函數(shù)g(x)=f(x)-軟勺零點為如求cos得一2%0).

【解題思路】⑴根據(jù)對稱軸可得周期7=驀=2X；,由最大值可得4=2,再將點%