2024-2025學(xué)年吉林省延邊朝鮮族自治州延吉市高一下冊3月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年吉林省延邊朝朝鮮族自治州延吉市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B.1 C. D.2【正確答案】C【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】若，則.故選：C.2.設(shè)，為一組基底，已知向量，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值是（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】利用向量的加法法則求出，將，，三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為與共線即可求解.【詳解】，，，又，且，，三點(diǎn)共線，，即，，.故選：C.3.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則B=（）A. B.或 C. D.或【正確答案】A【分析】利用正弦定理進(jìn)行求解即可．【詳解】在中，已知，，可知，所以．由正弦定理得，所以，則．故選：A．4.平面向量與向量滿足,且，,則向量與的夾角為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，得到，代入已知等式得到，設(shè)向量與的夾角為，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和，，算出，最后根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍，可得答案【詳解】，則又，解得設(shè)向量與夾角為，則，即解得，，故選本題給出兩個(gè)向量的模，并且在已知它們的和向量與其中一個(gè)向量數(shù)量積的情況下，求兩個(gè)向量的夾角，著重考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和兩個(gè)向量夾角等知識，屬于基礎(chǔ)題．5.已知，向量與向量夾角為，與向量共線同向的單位向量為，則向量在向量方向上的投影向量等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】．故選：C.6.已知，，點(diǎn)P在直線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或【正確答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，表示出，的坐標(biāo)，由且P在直線上，故分或兩種情況討論，根據(jù)向量相等得到方程組，解得．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則，．由且點(diǎn)P在直線上，得或．∴或解得或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．故選：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.中，角的對邊分別為，且，則的形狀是（）A等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角和兩角和的正弦公式得，再分和討論即可.【詳解】由正弦定理得，因?yàn)樵谥校瑒t，則，即，即，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式成立，此時(shí)為直角三角形；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則有，因?yàn)?，則，此時(shí)為等腰三角形；綜上，為等腰三角形或直角三角形.故選：B.8.在中，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算及三點(diǎn)共線求得，由此求得的值，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴.∵A，P，D三點(diǎn)共線，∴.∵，∴.∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴.∵E，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.復(fù)數(shù)是方程的解 D.【正確答案】AD【分析】由復(fù)數(shù)的除法，可得標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、幾何意義、模長、乘方運(yùn)算，可得答案.【詳解】，，故A正確；復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為，則該點(diǎn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；由，則，解得，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：AD.10.若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則與同向的單位向量為C.若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.若，則的最小值為【正確答案】BD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算可判斷AB選項(xiàng)，再根據(jù)向量夾角公式可判斷C選項(xiàng)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】由，，A選項(xiàng)：，則，解得，則，，所以不存在，使，即，不共線，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，則，解得，即，，，所以與同向的單位向量為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．我們通過類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形．對于圖2．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.這三個(gè)全等的鈍角三角形可能是等腰三角形B.若，則C.若，則D.若是的中點(diǎn)，則的面積是面積的5倍【正確答案】ACD【分析】對于A選項(xiàng)：由，即可判斷A；對于B選項(xiàng)：在中，利用正弦定理求得，進(jìn)而可判斷B；對于C選項(xiàng)：在中，設(shè)，利用余弦定理即可求得，進(jìn)而可判斷C；對于D選項(xiàng)：利用三角形的面積公式，可得，進(jìn)而可判斷D．【詳解】對于A，根據(jù)題意，題圖2是由三個(gè)全等的針角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對于B，在中，，所以，而，所以，由正弦定理得，解得，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；對于C，不妨設(shè)，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，若是的中點(diǎn)，，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ACD．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式進(jìn)行分析，由此即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，．若，則________．【正確答案】【分析】由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算即可．【詳解】由題可得,即故答案為本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．13.如圖，在海面上有兩個(gè)觀測點(diǎn)B，D，點(diǎn)B在D的正北方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在C處，此時(shí)測得，5分鐘后該船行駛至A處，此時(shí)測得，，，，則該船行駛的距離為_______km【正確答案】【分析】在中得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理得.【詳解】依題意，,，在中，，，則，又，則km，在中，，，則，由正弦定理，得AB=km，在中，，由余弦定理得，所以該船行駛的距離km.故14.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，若，則的取值范圍是_______．【正確答案】【分析】利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用求出的值，再由正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換把變形成正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】銳角中，由正弦定理及，得，整理得，由余弦定理得，而，則，又，由正弦定理，得，又為銳角三角形，則，因此，由，得，則，所以的取值范圍是.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)．（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合第二象限點(diǎn)的特征即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解的解得，；【小問2詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以解之得得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知向量和，則,,求：（1）的值；（2）的值；（3）與的夾角θ的余弦值．【正確答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解；（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．【小問1詳解】∵,,.∴；【小問2詳解】∵,∴；【小問3詳解】∵,∴17.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為．求的周長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用和差角正弦公式化簡即得.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由，得，則，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由，得，即，又，則，整理得，因此，解得，所以的周長為.18.折紙是一項(xiàng)玩法多樣的活動(dòng).通過折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動(dòng)物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識.在紙片中，，，所對的邊分別為，，，的面積為，.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若，是的中點(diǎn)，現(xiàn)需要對紙片做一次折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理和面積公式即可證明；（2）利用面積代換，再結(jié)合三角恒等變形，即可求解；（3）設(shè)對應(yīng)邊長，再利用余弦定理得到邊角關(guān)系，然后利用方程組思想來求解即可.【小問1詳解】證明：由正弦定理可得，則，又因?yàn)椋?；【小?詳解】將代入，得即，所以，即，解得：，又因?yàn)?，所以；【小?詳解】由余弦定理得，則，即，所以解得則；設(shè)折痕為線段，其中在上，在上，設(shè)，，則，，，在中，由余弦定理得，解得在中，由余弦定理得，解得重疊部分的面積為的面積，.因?yàn)樗?所以19.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條射線，分別為同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系.在仿射坐標(biāo)系中，若，記.（1）在仿射坐標(biāo)系中.①若，求；②若，且，的夾角為，求；（2）如圖所示，在仿射坐標(biāo)系中，B，C分別在x軸，y軸正半軸上，，E，F(xiàn)分別為BD，BC中點(diǎn)，求的最大值.【正確答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①由題意，，將其兩邊平方，再開方即可得到；②由表示出和，再由已知用表示出，因?yàn)榕c的夾角為，然后由，即可得到；（2）由題意，設(shè)出坐