2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，若向量，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選：C2.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由、，結(jié)合已知即可求.【詳解】∵，∴.故選：C3.已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由投影向量計(jì)算公式，可得答案.【詳解】在上的投影向量.故選：C.4.在中，若，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【正確答案】C【分析】利用正弦兩角和差公式即可判斷三角形的形狀.【詳解】由于，故，從而.所以是直角三角形，故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用兩角和差的正弦公式求出，，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，，由同角三角函?shù)的基本關(guān)系得，，故D正確.故選：D6.一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時(shí)的速度向北偏東30°航行，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時(shí)燈塔S與船B之間的距離為（）海里A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意作圖，利用正弦和角公式與正弦定理，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：在中，，，，，由正弦定理可得，則.故選：A.7.如圖，在直角，，，點(diǎn)，是邊上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋?在中，.故選：B8.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由得，由利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦求得，進(jìn)而得，再根據(jù)利用兩角差的正弦公式結(jié)合輔助角公式得到并求值域即可.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，，所以因?yàn)?，由正弦定理?所以，即，所以,由，解得所以，所以的范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.下列化簡結(jié)果是的選項(xiàng)為（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】逆用兩角和與差的正弦公式計(jì)算可判斷A；逆用二倍角的正弦公式可判斷B；逆用兩角和與差的正弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算可判斷C；與對(duì)比可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，.對(duì)于D，，故D不正確.故選：AB.10.下列命題正確的是（）A.在中，是的充要條件B.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則C.在中，角所對(duì)的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為D.在中，，則為銳角三角形【正確答案】AC【分析】利用正弦定理，可得判定A正確；結(jié)合正弦定理求得，的有兩種情況可判定B錯(cuò)誤；由正弦定理可得求得的取值范圍為，可判斷C正確；由正弦定理得，結(jié)合余弦定理得，可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；對(duì)于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；對(duì)于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；對(duì)于D，在中，，由正弦定理得，則，根據(jù)余弦定理知,所以是鈍角，故D不正確.故選：AC.11.在中，點(diǎn)分別滿足與相交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.B若，則C.D.若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為【正確答案】AC【分析】對(duì)于A，設(shè)，以向量為基底表示向量，根據(jù)共線求出即可判斷A正確；對(duì)于B，由得，再利用數(shù)量積求模即可判斷B不正確；對(duì)于C，由知分點(diǎn)的位置求出即可判斷C正確；對(duì)于D，由題意利用正弦定理求得得或，當(dāng)時(shí)，由此判斷D不正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)閯t，，由共線，得解得，所以，故A正確；對(duì)于B，由得，所以所以，故B不正確；對(duì)于C，由知是的中點(diǎn)，所以，，又，所以，所以，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據(jù)正弦定理得，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，，且，則，夾角的余弦值為________．【正確答案】【分析】首先根據(jù)得到，再利用夾角公式求解即可.【詳解】，解得，所以.故13.________．【正確答案】2【分析】利用余弦二倍角，輔助角公式和誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】.故214.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，，則________；的最小值為________．【正確答案】①.②.【分析】由題可知，設(shè)，化簡得出，根據(jù)平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)闉榈闹匦模娱L交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，由重心的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，所以，，因?yàn)椋?，則，，則，因?yàn)?、不共線，所以，，，則，，故，即，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由向量數(shù)量積定義與運(yùn)算律，可得答案；（2）由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為零，可得答案.【小問1詳解】，，所以.小問2詳解】由，則，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用差角的正切公式計(jì)算得解.（2）由（1）的結(jié)論，利用齊次式法計(jì)算得解.（3）由（1）及已知求出，再確定角的范圍即可.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】由（1）得.【小問3詳解】依題意，，由，，得，，而，則，所以.17.如圖，在中，已知，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求的值；（2）求的長；（3）求的面積.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用正弦定理求解即可.（3）首先利用正弦定理得到，從而得到，再利用面積公式求解即可.【小問1詳解】在中，，，，由余弦定理可得.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，在中，，，，由正弦定理可?【小問3詳解】在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，.18.已知函數(shù)．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知銳角中,，且的面積為，，求邊上的中線的長．【正確答案】（1），（2）2【分析】（1）根據(jù)題意得到，再求周期和值域即可.（2）首先根據(jù)題意得到，根據(jù)面積公式得到，利用余弦定理得到，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以在上的值?【小問2詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又，所以，即，因，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以.即邊上的中線的長為19.我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點(diǎn)，并且這些特殊點(diǎn)都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即稱為托里拆利點(diǎn)（以下簡稱“點(diǎn)”）.通過研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點(diǎn)”滿足到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為“點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為“點(diǎn)”.試用以上知識(shí)解決下面問題:已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）若，則①求；②若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，求；（2）若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，，求實(shí)數(shù)的最小值.【正確答案】（1）①；②；（2）.【分析】（1）①由正弦定理，邊化角，利用兩角和的正弦公式化簡，即可求解；②由三角形面積公式及向量數(shù)量積求解；（2）由三角恒等變換可知，再設(shè)，，，，得到，結(jié)合三個(gè)余弦定理表示，和，勾股定理確定等量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式