2024-2025學(xué)年河南省項(xiàng)城市高一下冊(cè)第一次考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省項(xiàng)城市高一下學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)檢測試題本試卷分第1卷（選擇題）和第11卷（非選擇題）兩部分，所都寫在答題卷上.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則=A. B. C. D.【正確答案】C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.若，則角的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】根據(jù)象限角的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以角的終邊在第三象限，故選：C.3.函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，則“”是“”的（）條件A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】求出函數(shù)定義域及值域化簡集合，再利用充分條件、必要條件定義判斷得解.【詳解】函數(shù)中，，即，解得，即，函數(shù)的值域，集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理判斷即得.【詳解】函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，所以的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：A5.已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合中間值，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】依題意，，因此實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是.故選：B6.已知函數(shù).若恒成立，則的取值可以是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用恒成立的不等式分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，依題意，恒成立，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，因此，ABC不是，D是.故選：D7.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)的部分圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合排除法即可求解.【詳解】因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中，所以的單調(diào)性一定相反，且圖象均不過原點(diǎn)，故排除AD；在BC選項(xiàng)中，過原點(diǎn)的圖象為冪函數(shù)的圖象，由圖象可知，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故排除B，故選：C.8.如果函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（）A.2 B.3 C.4 D.－1【正確答案】C【分析】根據(jù)，可知：關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，要求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，代入即可得解.【詳解】根據(jù)，可知：關(guān)于對(duì)稱，那么要求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，即求函數(shù)在上的最大值與最小值之和，因?yàn)檫f增，所以最小值與最大值分別為：，，，故C.本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查了轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算量較小，思路要求較高，屬于中檔題.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，下列不等關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】由不等式性質(zhì)可判斷A；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷BD；由冪函數(shù)性質(zhì)可判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，結(jié)合不等式性質(zhì)可知，A正確；對(duì)于B，由于，故，B正確；對(duì)于C，，則冪函數(shù)上單調(diào)遞減，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故，D錯(cuò)誤；故選：AB10.[多選]下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則B.函數(shù)的值域?yàn)镽C.函數(shù)的圖象可以由向右平移一個(gè)單位得到D.函數(shù)恒過定點(diǎn)【正確答案】AD【分析】選項(xiàng)A：利用指數(shù)函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可，選項(xiàng)B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域求解即可，選項(xiàng)C：根據(jù)函數(shù)圖像的平移變化求解即可，選項(xiàng)D:根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)結(jié)合函數(shù)的圖像變化求解即可.【詳解】對(duì)于A，且，，A正確；對(duì)于B，不論，還是，值城都為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向左平移一個(gè)單位得到，C錯(cuò)誤：對(duì)于D，令，則，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，故D正確．故選：AD.11.（多選）已知函數(shù)，令，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的增區(qū)間為 B.當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的所有零點(diǎn)之和為 D.當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BD【分析】函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，作函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象找出單調(diào)增區(qū)間即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)圖象觀察函數(shù)和圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍即可判斷選項(xiàng)B；解方程即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)時(shí)，觀察函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，，，對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為和，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；的零點(diǎn)是函數(shù)和圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由和得或，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，和1，所有零點(diǎn)之和為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若冪函數(shù)是偶函數(shù)，則_________.【正確答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識(shí)來求得的值.【詳解】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，符合題意.故13.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則不等式的解集為_______________.【正確答案】【分析】根據(jù)給定的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)性，再分段求解不等式.【詳解】觀察圖象知，奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，不等式，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，所以不等式的解集為.故14.已知扇形OAB的圓心角為，其面積是則該扇形的周長是______cm【正確答案】6【分析】設(shè)扇形的半徑為,弧長為,然后根據(jù)圓心角和面積列方程組成方程組可解得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為,弧長為,依題意可得,,解得,所以扇形的周長為.故答案為:6本題考查了扇形中圓心角的弧度數(shù)公式和扇形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求值.（1）；（2）.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則性質(zhì)求解.【詳解】（1）；（2）.16.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)為奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，求.【正確答案】【分析】根據(jù)求出函數(shù)的周期為4，再利用奇函數(shù)性質(zhì)求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的周期?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所?17.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求不等式的解集．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，即可求出參數(shù)的值；（2）首先證明函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【小問1詳解】因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，則，即，整理可得，可得，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；【小問2詳解】由（1）可得，則在上的單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)，且，則，因?yàn)?，根?jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，則，，，所以，即，所以在上的單調(diào)遞增，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，不等式化為，又因?yàn)樵谏系膯握{(diào)遞增，所以，解得或，所以不等式的解集為或18.國內(nèi)某企業(yè)響應(yīng)國家號(hào)召，為打破國際芯片壟斷，投入大量研發(fā)力量，從零開始，研發(fā)出一款自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的芯片．為了盡快提高芯片產(chǎn)能滿足國內(nèi)需求，該企業(yè)制定了三個(gè)不同的增產(chǎn)方案，年產(chǎn)量（萬片）隨方案實(shí)施年數(shù)增加而增加，三個(gè)方案分別對(duì)應(yīng)三個(gè)函數(shù)模型：方案一：；方案二：；方案三：．如果該企業(yè)計(jì)劃在7年內(nèi)，盡快實(shí)現(xiàn)年產(chǎn)量15萬片的目標(biāo)，應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？【正確答案】應(yīng)該選擇方案二，理由見解析．【分析】計(jì)算出方案一需要6年時(shí)間，方案二的年產(chǎn)量將在5年后超過15萬片，方案三無法在7年內(nèi)達(dá)到年產(chǎn)量15萬片的目標(biāo)，得到答案.【詳解】應(yīng)該選擇方案二，理由如下：由題意可知，應(yīng)在滿足，且的情況下，選擇所需時(shí)間最短的方案，方案一：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則方案一可以在7年內(nèi)實(shí)現(xiàn)年產(chǎn)量15萬片的目標(biāo)，由，解得，所以方案一實(shí)現(xiàn)年產(chǎn)量15萬片需要6年時(shí)間；方案二：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則方案二可以在7年內(nèi)實(shí)現(xiàn)年產(chǎn)量15萬片的目標(biāo)，由得，又因?yàn)?，所以，即方案二的年產(chǎn)量將在5年后超過15萬片；方案三：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以方案三無法在7年內(nèi)達(dá)到年產(chǎn)量15萬片的目標(biāo)，故不能選擇方案三．綜上，應(yīng)該選擇方案二．19.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷的奇偶性，并加以證明；（3）如果在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）是奇函數(shù)，證明見解析；（3）【分析】（1）將點(diǎn)代入求得值即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷證明即可.（3）問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令,，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可．【小問1詳解】由題知，的圖象過點(diǎn)，所以，