華中師范大學(xué)新2025屆高考模擬考試（即一模）數(shù)學(xué)試題

華中師范大學(xué)新2025屆高考模擬考試（即一模）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若集合，，則（）A． B． C． D．3．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減4．已知向量，且，則m=()A．?8 B．?6C．6 D．85．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則()A． B． C． D．6．過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B． C． D．7．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．8．，則與位置關(guān)系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交9．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．11．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．12．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題；“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關(guān)，要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，求該人每天走的路程.”由這個(gè)描述請(qǐng)算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則當(dāng)_____時(shí)，外心的橫坐標(biāo)最大．14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則______．15．已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n，兩個(gè)不同平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若，且，則.其中正確命題的序號(hào)為______.16．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點(diǎn)E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點(diǎn)M，N分別在AE，CD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AM＝CN，則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，．求證：（1）平面；（2）平面平面．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求線段長的最小值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程．20．（12分）在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.21．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22．（10分）在△ABC中，分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.2、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用，集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.3、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得.【詳解】由于，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，所以公比為.所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

聯(lián)立方程解得M(3，)，根據(jù)MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.8、D【解析】結(jié)合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交．選D．9、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.11、A【解析】

推導(dǎo)出，分別取的中點(diǎn),連結(jié)，則，推導(dǎo)出，從而，進(jìn)而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.12、C【解析】

設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設(shè)第一天走里，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的某一項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知可得、的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設(shè)，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題．14、18【解析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，與圖像的交點(diǎn)為，，…，,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.故答案為：18【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.15、③④【解析】

由直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷．【詳解】①若且，的位置關(guān)系是平行、相交或異面，①錯(cuò)；②若且，則或者，②錯(cuò)；③若，設(shè)過的平面與交于直線，則，又，則，∴，③正確；④若，且，由線面垂直的定義知，④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，面面垂直的判定定理和線面垂直的定義，考查空間線面間的位置關(guān)系，掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ)．16、32π【解析】

設(shè)ED＝a，根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計(jì)算可以證明出CE⊥ED.AM＝x，根據(jù)三棱錐的體積公式，運(yùn)用基本不等式，可以求出AM的長度，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)ED＝a，則CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，當(dāng)四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設(shè)AM＝x.則四面體C﹣EMN的體積（a﹣x）a×xax（a﹣x），當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a＝2.此時(shí)三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積＝4πa2＝32π.故答案為：32π【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，，，，根據(jù)線段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接，，，如下圖所示：因?yàn)?，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因?yàn)槠矫妫?（2）由（1）知，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易求，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量，則即令，則，，故.設(shè)平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解：證明：連結(jié)是菱形對(duì)角線的交點(diǎn),為的中點(diǎn),是棱的中點(diǎn),平面平面平面解：在菱形中,且為的中點(diǎn),,,平面平面,平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，利用幾何法求弦長即可.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心，半徑，曲線為過定點(diǎn)的直線，易知在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，線段長最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，化簡得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，也滿足上式，故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以當(dāng)，即時(shí)，.【方法點(diǎn)睛】解三角形問題基本思想方法：從條件出發(fā)