河南省商丘市2025屆高三第三次診斷性考試數(shù)學試題

河南省商丘市2025屆高三第三次診斷性考試數(shù)學試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則()A． B． C． D．2．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F(xiàn)處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F(xiàn)處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm3．已知雙曲線的一個焦點為，且與雙曲線的漸近線相同，則雙曲線的標準方程為()A． B． C． D．4．函數(shù)與在上最多有n個交點，交點分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．6．已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（）A． B．C． D．7．已知，滿足約束條件，則的最大值為A． B． C． D．8．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點與拋物線的焦點F重合；②雙曲線E與過點的冪函數(shù)的圖象交于點Q，且該冪函數(shù)在點Q處的切線過點F關于原點的對稱點．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．10．若，則()A． B． C． D．11．已知，，則（）A． B． C．3 D．412．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，其中，.且，則集合中所有元素的和為_________.14．二項式的展開式中項的系數(shù)為_____．15．在中，已知，，是邊的垂直平分線上的一點，則__________.16．設O為坐標原點,,若點B(x,y)滿足，則的最大值是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）設點，若直線與曲線相交于、兩點，求的值18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）求直線的直角坐標方程與曲線的普通方程；（Ⅱ）已知點設直線與曲線相交于兩點，求的值.19．（12分）已知，函數(shù)．（1）若，求的單調遞增區(qū)間；（2）若，求的值．20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．21．（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.22．（10分）為了加強環(huán)保知識的宣傳，某學校組織了垃圾分類知識竟賽活動.活動設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對應的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機選取名選手，以表示這名選手中得分不超過分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解不等式得出集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．2、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據(jù)，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.3、B【解析】

根據(jù)焦點所在坐標軸和漸近線方程設出雙曲線的標準方程，結合焦點坐標求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同，且焦點在軸上，∴可設雙曲線的方程為，一個焦點為，∴，∴，故的標準方程為.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點求解雙曲線的標準方程，易錯點在于漏掉考慮焦點所在坐標軸導致方程形式出錯.4、C【解析】

根據(jù)直線過定點，采用數(shù)形結合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結果.【詳解】由題可知：直線過定點且在是關于對稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關于對稱所以故選：C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應用，數(shù)形結合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎函數(shù)的性質，屬難題.5、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.6、C【解析】

由題意可知，，由可得出，，利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域為，對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，則，，則，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調遞增；當時，，此時函數(shù)單調遞減.所以，.故選：C.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.7、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論．【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．8、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，利用函數(shù)單調性求解不等式即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域為，所以，則函數(shù)在上為單調遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用函數(shù)單調性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，屬壓軸題.9、B【解析】

由已知可求出焦點坐標為,可求得冪函數(shù)為,設出切點通過導數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點坐標,然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點為，F(xiàn)關于原點的對稱點；，，所以，，設，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點睛】本題考查雙曲線的性質,已知拋物線方程求焦點坐標,求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導數(shù)的幾何意義,考查了學生分析問題和解決問題的能力,難度一般.10、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結果．【詳解】∵，∴，故選D【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．11、A【解析】

根據(jù)復數(shù)相等的特征，求出和，再利用復數(shù)的模公式，即可得出結果.【詳解】因為，所以，解得則.故選：A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模，屬于基礎題.12、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項A,C，當正數(shù)越來越小，趨近于0時，，所以函數(shù)，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2889【解析】

先計算集合中最小的數(shù)為，最大的數(shù)，可得，求和即得解.【詳解】當時，集合中最小數(shù)；當時，得到集合中最大的數(shù)；故答案為：2889【點睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.14、15【解析】

由題得，，令，解得，代入可得展開式中含x6項的系數(shù).【詳解】由題得，，令，解得，所以二項式的展開式中項的系數(shù)為.故答案為：15【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，考查了利用通項公式去求展開式中某項的系數(shù)問題.15、【解析】

作出圖形，設點為線段的中點，可得出且，進而可計算出的值.【詳解】設點為線段的中點，則，，，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，涉及平面向量數(shù)量積運算律的應用，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】,可行域如圖，直線與圓相切時取最大值，由三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標方程化為普通方程；（2）設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設點、所對應的參數(shù)分別為、，利用韋達定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標方程為；（2）設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，則，設、兩點對應參數(shù)分別為、，，，，，.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）直線的直角坐標方程為；曲線的普通方程為；（Ⅱ）.【解析】

（I）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（II）將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標方程為由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點在直線上，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，并整理得.設是方程的兩根，則有.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）由得出，并求出的值，利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】（1）當時，，由，得，因此，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；（2），，，，，，．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵，屬中等題．20、（1）；（2）【解析】

（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.21、（1）（2）最大值.【解析】

（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，，，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.22、（1）所抽取的人中得分落在組和內的人數(shù)分別為人、人；（2）分布列見解析，.【解析】