2025屆雙鴨山市重點(diǎn)中學(xué)高三年級五月模擬考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
2025屆雙鴨山市重點(diǎn)中學(xué)高三年級五月模擬考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷_第2頁
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文檔簡介

2025屆雙鴨山市重點(diǎn)中學(xué)高三年級五月模擬考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則等于()A. B. C. D.2.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.3.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.5.三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.6.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測繪,將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點(diǎn),測得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.7.點(diǎn)在曲線上,過作軸垂線,設(shè)與曲線交于點(diǎn),,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0,則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”,則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.38.直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),直線,且l與C相切,切點(diǎn)為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.9.已知展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-8110.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.411.已知點(diǎn),是函數(shù)的函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線與直線AB平行,則()A.,b為任意非零實(shí)數(shù) B.,a為任意非零實(shí)數(shù)C.a(chǎn)、b均為任意實(shí)數(shù) D.不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b12.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,則函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_________.14.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.16.,則f(f(2))的值為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時(shí),;(2)若對任意存在和使成立,求實(shí)數(shù)的最小值.18.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(diǎn)(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,1),設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求的最大值.20.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn),該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤,的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤最大?22.(10分)在中,、、的對應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng).【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時(shí),令,,則,,排除B、C選項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),令,,則,排除A選項(xiàng).故選:D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng),是一種簡單有效的方法,屬于中等題.3、A【解析】

由拋物線的焦點(diǎn)得雙曲線的焦點(diǎn),求出,由拋物線準(zhǔn)線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準(zhǔn)線方程為,拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn),.拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點(diǎn)的弦長求離心率.弦過焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.4、A【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點(diǎn)睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個(gè)連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來描述,則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.6、A【解析】

由已知,設(shè).可得.于是可得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.7、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.8、D【解析】

設(shè)出坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】設(shè),,聯(lián)立,得則,則由,得設(shè),則,則點(diǎn)到直線的距離從而.令當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),故,即的最小值為本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.9、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因?yàn)椋?,則,解得令,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),以及通過賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題11、A【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù),結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實(shí)數(shù).【詳解】依題意,在點(diǎn)處的切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實(shí)數(shù).故選:A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,求切線的斜率,考查兩點(diǎn)的斜率公式,以及化簡運(yùn)算能力,屬于中檔題.12、D【解析】

因?yàn)?,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因?yàn)?,,所以,所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式,再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意整體思想的運(yùn)用.14、【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn),此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時(shí)的點(diǎn)此時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因?yàn)殡p曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點(diǎn)位置,寫出雙曲線的漸近線方程的對應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、1【解析】

先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對應(yīng)性以及基本求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(1)不等式等價(jià)于,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立,從而原不等式成立.(2)由題設(shè)條件可得在上有兩個(gè)不同零點(diǎn),且,利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值,結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),則,當(dāng)時(shí),由,所以在上是減函數(shù),所以,故.因?yàn)?,所以,所以?dāng)時(shí),.(2)由(1)當(dāng)時(shí),;任意,存在和使成立,所以在上有兩個(gè)不同零點(diǎn),且,(1)當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),不合題意;(2)當(dāng)時(shí),,由題意知在上不單調(diào),所以,即,當(dāng)時(shí),,時(shí),,所以在上遞減,在上遞增,所以,解得,因?yàn)?,所以成立,下面證明存在,使得,取,先證明,即證,令,則在時(shí)恒成立,所以成立,因?yàn)?,所以時(shí)命題成立.因?yàn)?,所?故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用,前者注意將欲證不等式合理變形,轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式,后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì),再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì),本題屬于難題.18、(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】

(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設(shè)直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設(shè),利用韋達(dá)定理求出,然后化簡求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(diǎn)(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設(shè)直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設(shè),則,所以,又,所以,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查了方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于,采用參變分離的方法分離出,并將的部分構(gòu)造成新函數(shù),分析與最值之間的關(guān)系;(2)通過對的導(dǎo)函數(shù)分析,確定有唯一零點(diǎn),則就是的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),計(jì)算的值并利用進(jìn)行化簡,從而確定.【詳解】(1)由題意知,在上恒成立,所以在上恒成立.令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以.(2)當(dāng)時(shí),.則,令,則,所以在上單調(diào)遞減.由于,,所以存在滿足,即.當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,因?yàn)?,所以,所以,所?【點(diǎn)睛】(1)求函數(shù)中字母的范圍時(shí),常用的方法有兩種:參變分離法、分類討論法;(2)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不易求零點(diǎn)時(shí),需要將導(dǎo)函數(shù)中某些部分拿出作單獨(dú)分析,以便先確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性從而確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,再分析整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,最后確定出函數(shù)的最值.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,判斷

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