廣東省廣州市白云區(qū)2023屆高三下學(xué)期期初綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題（解析版）

第24頁/共24頁2022學(xué)年第二學(xué)期初高三綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)本試卷共6頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號、試室號、座位號填寫在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解絕對值不等式求集合A，由對數(shù)函數(shù)值域確定集合B，應(yīng)用集合交運算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，而，則，所以.故選：A2.已知復(fù)平面內(nèi)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對應(yīng)點寫出復(fù)數(shù)z，應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡，即可得其虛部.【詳解】由題意，則，其虛部為.故選：B3.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解．【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：D．4.當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點，當(dāng)圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用和差角正弦公式、誘導(dǎo)公式及倍角余弦公式即可求值.【詳解】.故選：D6.從裝有個紅球和個藍(lán)球的袋中(，均不小于2)，每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為，“第一次摸球時摸到藍(lán)球”為；“第二次摸球時摸到紅球”為，“第二次摸球時摸到藍(lán)球”為，則下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件分別求出，，，可判斷A和C是否錯誤；然后利用條件概率分別計算，，可判斷B和D是否錯誤.【詳解】由題意可知，，，，，從而，故AC正確；又因為，，故，故B正確；，故，故D錯誤.故選：D.7.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均R，若為偶函數(shù)，且滿足，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由偶函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合已知有易得，進而求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由為偶函數(shù)，則，即關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，由，則，故關(guān)于對稱，所以，則有.故選：C8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點，設(shè)橢圓方程，，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列命題正確的是（）A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.66和，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強；B.在檢驗A與B是否有關(guān)的過程中，根據(jù)數(shù)據(jù)算得，已知，，則有99%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)；C.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則；D.在回歸分析中，殘差平方和與決定系數(shù)都可以用來刻畫回歸的效果，它們的值越小，則模型的擬合效果越好．【答案】AC【解析】【分析】A比較相關(guān)系數(shù)的絕對值大小即可判斷；B由獨立檢驗基本思想，先判斷與大小關(guān)系，進而確定相關(guān)性的把握程度；C由正態(tài)分布的對稱性求概率；D根據(jù)殘差平方和與決定系數(shù)的意義判斷.【詳解】A：由知：乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強，正確；B：由，即，則有97.5%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)，錯誤；C：由已知：隨機變量X的分布曲線關(guān)于對稱，故，正確；D：殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，但決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好，錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若，則B.將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱C.若在上有且僅有4個零點，則的取值范圍為D.是的導(dǎo)函數(shù)，令．則在上的值域為【答案】ACD【解析】【分析】由，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷A；寫出圖象平移后的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)判斷B；由且，結(jié)合正弦函數(shù)的零點情況求參數(shù)范圍判斷C；首先求導(dǎo)，再應(yīng)用倍角正弦及誘導(dǎo)公式得，即可判斷D.【詳解】由，A：由，故必有一個最大值和一個最小值，則為半個周期長度，正確；B：由題意的圖象關(guān)于y軸對稱，錯誤；C：，在上有且僅有4個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)知：，則，正確；D：由題意，則在上，故值域為，正確.故選：ACD11.如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，，．將△ADE沿DE折起到△的位置，如圖2．則正確的有（）A.當(dāng)折起使得面面BCED時，B.幾何體的最大體積是4CDE與面始終平行D.與平面BCED所成角的范圍是【答案】ABC【解析】【分析】A由等腰三角形、面面垂直、線面垂直的性質(zhì)即可判斷；B由到面的距離最大使的體積最大，結(jié)合棱錐體積求法求結(jié)果；C應(yīng)用線面平行的判定判斷；D根據(jù)題設(shè)翻折過程分析知面時與平面BCED所成最大平面角為，求出最大角即可判斷.【詳解】A：因為D，E分別為AB，AC的中點且，即，又O為DE的中點，則，故，面面BCED，面面，面，所以面，面，則，正確；B：由題設(shè)，若為中點，則翻折軌跡是以為直徑的半圓弧（不含端點A、F），如下圖示，要使的體積最大，只需到面的距離最大，即面且，而，故最大，正確；C：由題意，折起后始終有，面，面，則DE與面平行，正確；D：過作面，則必在線段上（不含端點A、F），構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，則，令且，則，故，面（即面）一個法向量為，若與平面BCED所成角為，則，若，而，所以，僅當(dāng)時等號成立，所以范圍是的真子集，錯誤.故選：ABC12.已知函數(shù)，過點作曲線的切線，下列說法正確的是（）A.當(dāng)，時，有且僅有一條切線B.當(dāng)時，可作三條切線，則C.當(dāng)，時，可作兩條切線D.當(dāng)時，可作兩條切線，則b的取值范圍為或【答案】AD【解析】【分析】分點為切點、不為切點兩種情況，求出切線方程可判斷A；設(shè)切點坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程為，當(dāng)時，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，結(jié)合圖象可判斷B；當(dāng)時，求出，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，結(jié)合圖象可判斷C；當(dāng)時，由切線方程為得則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】A：當(dāng)時，點在上，，若為切點，則切線斜率為，所以切線方程為，若不為切點，設(shè)切點坐標(biāo)為，所以，切線斜率為，所以，，即切點為原點，所以時，有且僅有一條切線，正確；B：設(shè)切點坐標(biāo)為，所以，，則切線的斜率為，切線方程為，當(dāng)時，，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時有極小值，為，時有極大值，為，時，畫出的圖象，當(dāng)時，若有三條切線，則與有3個交點，由圖得，錯誤；C：當(dāng)時，由切線方程得，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，且，如圖，所以當(dāng)，時，與有且只有一個交點，所以只能作一條切線，錯誤；D：當(dāng)時，由切線方程為得，則，設(shè)，則，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，時，有極小值為，時，有極大值為，的圖象為若有兩條切線，則的取值為或，正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)零點問題主要有兩中方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最（極）值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想，其本質(zhì)就是在含參函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上再判斷函數(shù)零點個數(shù)問題；（2）分離參變量，即由分離參變量，得，研究與圖象交點問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則在上的投影向量為________．【答案】【解析】【分析】由投影向量的定義求結(jié)果即可.【詳解】由題意，在上的投影向量為.故答案為：14.的展開式含的系數(shù)是________（用常數(shù)表示）．【答案】【解析】【分析】原多項式中寫出含的項，然后再從中寫出含的項，即可得含的系數(shù).【詳解】由含的項中對應(yīng)的指數(shù)分別為6,2，所以，對于中含的項為，所以含的系數(shù)是.故答案為：15.過拋物線：焦點的直線交該拋物線于，，若，為坐標(biāo)原點，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)，利用拋物線的定義結(jié)合圖形求解作答.【詳解】解：拋物線的焦點，準(zhǔn)線，，依題意，不妨令點在第一象限，過作于，過作于，過作于，交軸于，如圖，令，則，，所以，，因，則有，即，解得，因此，所以.故答案為：16.在三棱錐中，△ABC為等腰直角三角形，，△PAC為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二面角定義找到二面角平面角，利用線面垂直、面面垂直的判定證明面面，進而確定在面上的射影，結(jié)合三棱錐外接球球心的位置，外接球半徑為有求半徑，最后求表面積.【詳解】若分別是中點，則，又△ABC為等腰直角三角形且，所以，則，且，，由△PAC為正三角形，故，且，面，故面，綜上，二面角平面角為，在△中，，則PD=OD=1，又面，則面面，面面，則在面上的射影在直線上，所以到面的距離為，三棱錐外接球球心在過垂直于面的直線上，如上圖，過作面于，且在直線上，過作交延長線于，連接，顯然為矩形，令，外接球半徑為，所以，則，所以，可得，故，外接球表面積為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)棱錐側(cè)面的性質(zhì)確定外接球球心位置，再結(jié)合棱錐在該側(cè)面外的一點到該面的距離，利用幾何關(guān)系列方程求球體半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A、B、C成等差數(shù)列，且．（1）求；（2）若角B的角平分線交AC于點D，，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，進而得結(jié)合即可求；（2）由題意，再應(yīng)用三角形面積公式列方程求a，即可得結(jié)果.【小問1詳解】由A、B、C成等差數(shù)列且，則，所以，故，且，所以，則，故，則.【小問2詳解】由（1）知：，則，而，故到距離，所以，而，即，所以.，即，得，所以.18.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝6，a7＝14．（1）求數(shù)列{an}的通項公式及Sn；（2）若_____，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．在①bn＝an；②；③bn＝()nan這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并對其求解．【答案】（1）an＝2n；Snn2+n；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式求基本量，進而寫出通項公式和前n項和公式.（2）根據(jù)所選的條件，結(jié)合（1）應(yīng)用錯位相減、裂項求和及分類討論求前n項和Tn．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得d＝2，所以，．【小問2詳解】選①：由（1）知：，所以，，兩式相減得：，所以；選②：由（1），所以；選③：由（1），則，當(dāng)n為偶數(shù)時，，當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以.19.如圖，在三棱錐中，底面，，、分別是、的中點，與交于點，是上的一個點，記．（1）若平面，求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）連接，并延長交于點，可求出的值，利用線面平行的性質(zhì)定理可得出，利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）連接，并延長交于點，因為、分別是、的中點，所以點為重心，且為的中點，所以，因為平面，平面平面，平面，所以，所以，又因為，所以；（2）因為，于是，所以，不妨設(shè)，則，且，，平面，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，因此，二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.20.2022年底，新冠病毒肆虐全國，很多高三同學(xué)也都加入羊羊行列．某校參加某次大型考試時采用了線上考試和線下考試兩種形式．現(xiàn)隨機抽取200名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績做分析，其中線上人數(shù)占40%，線下人數(shù)占60%，通過分別統(tǒng)計他們的數(shù)學(xué)成績得到了如下兩個頻率分部直方圖：其中稱為合格，稱為中等，稱為良好，稱為優(yōu)秀，稱為優(yōu)異．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名學(xué)生數(shù)學(xué)平均分（同一組數(shù)據(jù)可取該組區(qū)間的中點值代替）；（2）現(xiàn)從這200名學(xué)生中隨機抽取一名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己?，試分析他是來自線上考試的可能性大，還是來自線下考試的可能性大．（3）現(xiàn)從線下考試的學(xué)生中隨機抽取10名同學(xué)，且抽到k個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?yōu)橹械鹊目赡苄宰畲?，試求k的值．【答案】（1）分；（2）來自線下考試的可能性大，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由直方圖求線上、線下同學(xué)的平均分，進而求所有同學(xué)的平均分；（2）根據(jù)直方圖求出線上、線下成績良好的人數(shù)，進而比較所占比例，即可得結(jié)論；（3）由題意得抽到k個學(xué)生的成績?yōu)橹械鹊母怕?，且，結(jié)合即可求參數(shù)值.【小問1詳解】線上同學(xué)平均分分；線下同學(xué)平均分分；又200名同學(xué)，線上人數(shù)占40%，線下人數(shù)占60%，所以所有200名同學(xué)的平均分分.【小問2詳解】線上同學(xué)成績良好人數(shù)為人，線下同學(xué)成績良好人數(shù)為人，所以抽取數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己?，且，故線下的可能性大.【小問3詳解】由線下成績中等同學(xué)人數(shù)為人，其它同學(xué)人，所以從線下學(xué)生中隨機抽取10名同學(xué)，抽到k個學(xué)生的成績?yōu)橹械鹊母怕剩?，要使最大，則，即，所以，則，故.21.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于A，B兩點，若AB中點的橫坐標(biāo)為．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)，為雙曲線實軸的兩個端點，若過F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，試探究直線與直線的交點Q是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；如不在，請說明理由．【答案】（1）；（2）交點Q在定直線上，理由見解析.【解析】【分析】（1）令雙曲線的方程，由題意有，并聯(lián)立直線應(yīng)用韋達定理得到，即可得雙曲線參數(shù)并寫出方程；（2）討論直線l斜率存在性，并聯(lián)立雙曲線方程，