高中數(shù)學試題：截口曲線問題

3.2截口曲線問題

一、飛機舷窗為什么是橢圓形？

1954年，英國海外航空公司的客機在飛行途中，接連發(fā)生突然爆炸、解體的情況。最

后發(fā)現(xiàn)，導致這一場場災難的罪魁禍首竟然是機艙上

的矩形窗戶。原來，在飛機飛行過程中，機艙內(nèi)需要

加壓，隨著飛行高度的增加，機艙內(nèi)外的壓力差也會

越來越大。機艙內(nèi)的壓力會積壓在矩形窗戶四個鋒利

尖銳的角上，而窗戶經(jīng)受不住壓力的反復沖撞，時間

久了，便會破碎，進而引起飛機爆炸。為了解決這一

問題，飛機設計者把飛機上的窗戶設計成橢圓形。因為橢圓形的舷窗能使壓力均勻分布在圓

弧的每個點上，然后壓力會順利地穿過材料?，保證飛機的飛行安全。

二、橢圓為什么是圓錐曲線之一？

1.生活中的橢圓模型

生活中，陽光照射球體形成的影子、傾斜水杯的水截面邊緣等都給我們以“橢圓”的

印象，那么我們數(shù)學中的“橢圓”到底是什么樣子呢？或者說能不能從實物中抽象出數(shù)

學模型呢？

(1)陽光照射球體形成影子一一單球模型

(2)傾斜水杯的水截面邊緣一一圓柱模型

兩者都有橢圓，其實單球模型進行下列變換就能得到圓柱模型。

圓柱的Dandelin圓柱的Dandelin

單球模型雙球模型

通過圓柱的Dandelin雙球模型，我們就能得出橢圓上的點到兩個定點的距

平面內(nèi)到兩個定點耳、尸2的距離之和等于常數(shù)2a（忻圖＜2a）的點的軌跡

叫做橢圓。這兩個定點不與叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離恒圖叫做焦距。

2.圓錐的截線

從圓柱上可以截得橢圓，那為什么我們稱橢圓為圓錐曲線，而不是圓柱曲線

呢？我們知道用一個平面去截圓錐，當平面垂直于圓錐面的軸時，截線是一個圓。

若將平面逐漸傾斜的過程中：

1.當平面只與二次錐面一側相交，且不過圓錐頂點，結果為橢圓。

2.當平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結果為拋物線。

3.當平面與二次錐面兩側都相交，且不過圓錐頂點，結果為雙曲線（每一支為

此二次錐面中的一個圓錐面與平面的交線）。

我們把這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線。從圓錐入手，可以發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律,

圓柱的Dandelin雙球只是一種特殊情況。圓錐曲線的研究最早出現(xiàn)在古希臘時

期，在求解希臘三大著名幾何問題之一倍立方體問題過程中用到了圓錐曲線。阿

波羅尼奧斯第一個用平面截一個對頂?shù)膱A錐得到了所有的圓錐曲線，在前人成果

的基礎上又增加了自己的創(chuàng)新見解，運用純幾何方法，證明了近500個命題，

這在當時堪稱奇跡，即便是在之后的近2000年內(nèi)也無人能超越。然而，數(shù)學家

們探索的步伐并不會停止……

3.圓錐的Dandelin雙球模型

為什么用平面截圓錐能截出橢圓呢？歷史上，許多人從純幾何角度出發(fā)對這

個問題進行過研究，類比圓柱的Dandelin雙球

模型，你能利用橢圓的定義證明點A的軌跡是

橢圓嗎？

證明：因為過球外一點所作球的切線的長

相等，所以AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC=

常數(shù)。這樣，截口曲線上任意一點A到兩個定

點E,F的距離之和為常數(shù)，即截口曲線是橢圓。

19世紀，法國數(shù)學家Dandelin就用這種方

法證明了截口曲線是橢圓，這就是著名的Dandelin雙球證法。事實上，Dandelin

還利用雙球證明了截口曲線是雙曲線的情形，利用單球證明了截口曲線是拋物線

的情形。有興趣的同學不妨試著利用雙球模型探究拋物線和雙曲線的截線定義。

三、坐標系下的橢圓

在古希臘對圓錐曲線的幾何性質(zhì)己經(jīng)有較深刻的研究，但當時的幾何學都是

靜態(tài)的幾何學，沒有引入坐標系，也沒有把去曲線看成是動點的軌跡。在引進坐

標系后，圓錐曲線有了代數(shù)領域的代言人。

1.橢圓及標準方程

平面內(nèi)與兩個定點耳,B的距離之和等于常數(shù)(大于16鳥1)的點的軌跡叫

作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。

下面推導橢圓的標準方程:

取過焦點A,F2的直線為X軸，線段FR的垂直平分線為y軸?

設P(x,y)為橢圓上的任意一點，橢圓的焦

距是2c(c>0)。

則可(-c,O),F2(C,O),又設M與用工距離之

和等于2a(2a>2c)(常數(shù))

.?.尸=仰明+|尸國=勿｝

又|P"|=yl(x+cY+y2，

J(x+c)~+y~+yj(x—c)~+y2——2a，

移項得

J(x+c)-+y-=2a—yj(x—cy+y1

兩邊平方，整理得

a2-cx=ayl(x-c)2+y2

再一次兩邊平方，整理得

2222

(a-c)x+a2y2=Q2(Q2-C),

兩邊同除以。2(/—/)

由定義2a>2c,，/一,2>0

令"一=匕2代入，得b2x2+a2y2=a2b2,

兩邊同除/〃得「+4=1

二12

此即為橢圓的標準方程。

注意：若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程.

如果橢圓的焦點在y軸上(選取方式不同，調(diào)換工/軸)焦點則變成

瑪(0,-c),工(0,c),只要將方程

y-

22

二+彳=1中的x,y調(diào)換，即可得P「F2\.

22\M/

與+0=1,也是橢圓的標準方程?kry

CTh~

2.方程視角下橢圓與圓的聯(lián)系

圓柱上表面的截口為圓，用手沿著直徑的方向輕輕均勻壓縮后得到的曲線

變成橢圓。

從方程的角度來看，假設圓的方程為/+丁=/，沿著直徑的方向均勻壓縮

后，x'=k{x,y'=k2y,將苫=工,y=工代入，則壓縮后的曲線方程為

k,k、

+(上了=/或?qū)懗?」-)2+(，-尸=1,令。=\廠,6=22，,即：=+5=1.當

匕力網(wǎng)時，得到的曲線為橢圓。

上述方法，應用了解析幾何中的變換知識，揭示了橢圓與圓在代數(shù)方面的內(nèi)

在聯(lián)系，由此得到橢圓可以由圓橫縱方向以不同比例壓縮而得。

3.橢圓方程的其他形式

如果從橢圓標準方程推導中的a2—s=aj（x—c）2+y2兩邊同時除以“得

a-cx=yl（x-c）2+y2

進而得

s］（x-c）2+y2c

a2a

---x

c

由此可得：平面上到定點距離與到定直線間距離之比為常數(shù)的點的集合為橢

圓。（定點不在定直線線上，該常數(shù)為小于1的正數(shù)）

922）

如果將橢圓的標準方程5+3=1化成4=1-5，進而得到

a~b~b~a~

------=-^-（x^±a）

x-ax+aa"

由此可得：平面上到兩定點的斜率之積為常數(shù)的點的集合為橢圓。（除去兩

定點的橢圓，該常