高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：第八節(jié)函數(shù)的圖像

第八節(jié)函數(shù)的圖像

考綱解讀

1.掌握描繪函數(shù)圖像的兩種基本方法——直接描點(diǎn)法(列表描點(diǎn))和圖像變換法.

2.會(huì)利用函數(shù)圖像進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程和不等式中的問題.

3.會(huì)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分析解決數(shù)學(xué)問題.

命題趨勢(shì)探究

基本初等函數(shù)的圖像是高考中的重要考點(diǎn)之一，是用來研究其他圖像問題的基礎(chǔ)，是研究函

數(shù)性質(zhì)的重要工具.

解決此類問題的重要思路是要利用函數(shù)性質(zhì)與圖像之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系去比照，如定義域、單調(diào)

性、奇偶性、特殊點(diǎn)等.

高考中總是以幾類基本初等函數(shù)的圖像為基礎(chǔ)來考查函數(shù)圖像，往往結(jié)合函數(shù)行之一并考

察，題型主要是選擇題與填空題，考查的形式主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換(平移

變換、對(duì)稱變換)以及靈活地應(yīng)用圖像解題，屬于每年必考內(nèi)容之一

知識(shí)點(diǎn)精講

一、掌握基本初等函數(shù)的圖像

(1)一次函數(shù)；(2)二次函數(shù)；(3)反比例函數(shù)；(4)指數(shù)函數(shù)；(5)對(duì)數(shù)函數(shù)；(6)三

角函數(shù).

二、函數(shù)圖像作法

1.直接回

①確定定義域；②化簡(jiǎn)解析式；③考察性質(zhì)：奇偶性(或其他對(duì)稱性)、單調(diào)性、周期性、

凹凸性；④特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)、與橫/縱坐標(biāo)交點(diǎn)；⑤特殊線(對(duì)稱軸、漸近線等).

2.圖像的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+。)(。>0)的圖像是把函數(shù)y=f(x)的圖像沿x軸向左平移。個(gè)單位得到

的；

②函數(shù)y=f(x—a)(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸向右平移a個(gè)單位得到

的；

③函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(%)的圖像沿y軸向上平移a個(gè)單位得到

的；

④函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數(shù)y=/(x)的圖像沿y軸向下平移a個(gè)單位得到

的；

(2)對(duì)稱變換

①i:函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

ii：函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；

iii：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-x)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱；

②i：若函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于直線x=。對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)/(x)=/(2a-x)(實(shí)質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=a對(duì)稱的兩點(diǎn)

連線的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為a,即”LX)+(“+“=”為常數(shù));

2

ii：若函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,。)對(duì)稱，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有

/(x)-2b-f(2a-x)^f(a—x)--2b-f[a+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數(shù)/(x)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分

關(guān)于x軸對(duì)稱翻折上來得到的(如圖2-21(a)和圖2-21(b))所示

④y=/(可)的圖像是將函數(shù)/(%)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像

關(guān)于y軸對(duì)稱得到函數(shù)y=/(W)左邊的圖像即函數(shù)y=/(|x|)是一個(gè)偶函數(shù)(如圖2-2i(c)

圖2-21

注：|/(x)|的圖像先保留了(尤)原來在X軸上方的圖像，做出X軸下方的圖像關(guān)于X軸對(duì)稱

圖形，然后擦去X軸下方的圖像得到；而/(國(guó))的圖像是先保留/(x)在y軸右方的圖像，

擦去y軸左方的圖像，然后做出y軸右方的圖像關(guān)于>軸的對(duì)稱圖形得到.這兩變換又叫翻

折變換.

⑤函數(shù)>=/7(處與〉=/(幻的圖像關(guān)于〉=%對(duì)稱.

(3)伸縮變換

①y=4/U)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短

(()<A<1)到原來的A倍得到.

②y=f(coxXco>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(0<啰<1)或

縮短｛co>1)到原來的-倍得到.

3

題型歸納及思路提示

題型31由式選圖（識(shí)圖）

思路提示

利用函數(shù)的性質(zhì)（如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點(diǎn)等）排除錯(cuò)誤選項(xiàng),

從而篩選出正確答案

例2.70函數(shù)y=2、的圖像大致是（）

變式1函數(shù)y=Ineos工一5的圖像是（）

ABCD

變式2在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=log.x,y=優(yōu),y=x+。的圖像，可能正確的是()

變式3函數(shù)y=ax2+與y70,同w網(wǎng)在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能

是()

AB

ABCD

題型32函數(shù)圖像的應(yīng)用

思路提示1

利用函數(shù)圖像判斷方程解的個(gè)數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對(duì)象的圖像，利用圖像的直觀性得

到方程解的個(gè)數(shù).

例2.71函數(shù)/(x)=21logo,5M—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A1B.2C.3DA

—x22

變式1已知函數(shù)，(x)={x'-，若關(guān)于x的方程/(x)=Z有兩個(gè)不同的實(shí)根,

(x-l)3,x<2

則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

變式2直線y=l與曲線丁=/一國(guó)+。有4個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是

變式3函數(shù)/(x)=21nx的圖像與函數(shù)g(x)=/-4x+5的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A3B.2C.lD.0

變式4設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)=[旭K-則關(guān)于X的方程

0(%=1)

[/(尤)]2+妙(*)+。=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是()

也<0且c>08。>0且c<0

C￡<0且c=020且c=0

S〔T—Ifr>01

變式5設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)=l，，若關(guān)于x的方程

x2+4x+4(x<0)

[/(%)]"-2mxf(x)+m2=。有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則〃2=

思路提示2

利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所研究對(duì)象的圖像，求出它們的

交點(diǎn)，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案

12T—l(x<0)

例2.72設(shè)函數(shù)/(X)=1，若則X。的取值范圍是()

>0)

A(-1,D8(-1收)

C.(—8,2)U(0,W1D(F,-1)U(L+8)

變式1(2010新課標(biāo)全國(guó)卷理24)設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-4|+l,若不等式的解集非

空，求。的取值范圍.

“+4x(x>0)若不等式/Q一/)>,則實(shí)數(shù)&的取值范圍

變式2已知函數(shù)/(x)=.

4x-x(x<0)

是()

A、(-8,-l)u(2,+oo)B、(―1,2)C、(―2,1)D、(—oo,—2)(1,4-00)

2

變式3(2012福建理15)對(duì)于實(shí)數(shù)。和b,定義運(yùn)算“*”：，設(shè)

b~-ab,a>b

/W=(2X-1)*(x-1),且關(guān)于X的方程/(x)=m(meH開合有3個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1

,x2,x3,則X|X2X3的取值范圍是.

|lgx|(0<x<10)

變式4已知函數(shù)/(x)=<1/、，巷a,"c互不相等，且/(a)=/[)=/(c),則

-]X+6(x>10)

的取值范圍是()

A、(1,10)B、(5,6)C、(10,12)D、(20,24)

思路提示3

利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先做出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對(duì)函數(shù)的要求，從

圖像上尋找取得最值的位置，計(jì)算出結(jié)果，這體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想。

例2、73用min{〃,dc}表示三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)/(x)=min{2*,x+2J0-x}

(x>0),則/(x)的最大值為()

A、4B、5C、6D、7

變式1設(shè)/（x）=1—2/,g（x）=/-2x,若p（x）=，（x）；g（x）-：（x）；g（",則F（x）

的最大值為.

Q

變式2已知兩條直線4:y=初和4：y=f1（，〃〉O）4與函數(shù)〉=|log2M的圖像從左

到右相交于點(diǎn)A,8,4與y=|bg2X的圖像從左到右相交于點(diǎn)C。，記線段AC和30在

x軸上的投影長(zhǎng)度分別為。,江當(dāng)加變化時(shí)，2的最小值為（）

a

A、1672B、872C、8^4D、4^4

最有效訓(xùn)練題

1、若點(diǎn)(。力)在y=igx圖像上，則下列點(diǎn)中也在此圖像上的是()

A、B、C、(旦力+1]D、(a2,2b)

2、為得到函數(shù)y=log2的圖像，可將函數(shù)y=bg2X的圖像上所有點(diǎn)的()

A、縱坐標(biāo)縮短到原來的,，橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

2

B、縱坐標(biāo)縮短到原來的,,橫坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

2

C、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

3、函數(shù)y=/(x)的圖像如圖2—26所示，則函數(shù)y=log]/(x)的圖像大致是()

4,函數(shù)y=xln(-x)與y=xlnx的圖像關(guān)于()

A、直線y=x對(duì)稱B、x軸對(duì)稱C、y軸對(duì)稱D、原點(diǎn)對(duì)稱

5、若函數(shù)y=滿足f(x+2)=f(x),且xe(-時(shí)，/(%)=國(guó).則函數(shù)

y=/(x)的圖像與函數(shù)y=bg4W的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A、3B、4C、6D、8

6、函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像分別如圖2—27(a)(b)所示.則函數(shù)

y=/(x)-g(6的圖像可能是()

⑷圖2-27(勿

7、把函數(shù)y=bg2(-2x+3)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像.

8、指數(shù)函數(shù)y=的圖像如圖2—28所示，則二次函數(shù)y=的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)

圖2-28

9、若a>1,則函數(shù)