北師版暑假九年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班講義

北師版九年級(jí)暑假目錄

第一章反比例函數(shù)

1.1反比例函數(shù)及圖象性質(zhì).........2第一章反比例函數(shù)

又注e5!紫液中與工占，=芟與基又Mf.5!期三塔金.上員.第紫二三日，

1.2反比例函數(shù)與一次函數(shù).......8二簿企?茬?TFK出我彩Z號(hào)工已或.

1.3反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合.......15

1.4反比例函數(shù)中k的幾何意義（一）.....20

1.5反比例函數(shù)中k的幾何意義（二）.....26

1.6反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用（一）.......30

1.7反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用（二）.......36

1.8反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用（三）.......40

章節(jié)知識(shí)檢測(cè)

第二章銳角三角函數(shù)

2.1從梯子的傾斜度談起.......47

厚二章銳角三角函數(shù)2.2三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算.......53

2.3三角函數(shù)的應(yīng)用........58

妥―重三與MW占—■立疔三就分壬，傳章節(jié)知識(shí)檢測(cè)

第三章二次函數(shù)

第三章二次函數(shù)

3.1二次函數(shù)所描述的關(guān)系...........65

3.2剎車距離與二次函數(shù).............69

3.3二次函數(shù)丁=加+法+。的圖象.....75

3.4用三種表達(dá)方式表示二次函數(shù).....80

3.5二次函數(shù)中的符號(hào)問(wèn)題...........85

3.6二次函數(shù)與一元二次方程.........90

3.7二次函數(shù)與最值問(wèn)題...........96

章節(jié)知識(shí)檢測(cè)

反比例函數(shù)及圖象性質(zhì)

反比例函數(shù)是中考的重點(diǎn)，主要考查反比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象與應(yīng)用，單獨(dú)命題時(shí)多以選擇

題的形式出現(xiàn)。反比例函數(shù)與一次函數(shù)、相似結(jié)合的綜合題是歷年直升考、會(huì)考和中考的熱點(diǎn)題型，常

以解答題的形式考查.

從本章開(kāi)始，我們將一一為大家剖析反比例函數(shù)的重難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)，大家準(zhǔn)備好了嗎？

一考點(diǎn)一反比例函數(shù)的概念與解析式

（1）定義：形如y=々（左為常數(shù)，且左。0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù).

x

（2）等價(jià)形式：

（3）解析式求法：應(yīng)用待定系數(shù)法求k值，由于k=x-y,故只需已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)，即可求出函數(shù)解

析式.

例1.下列函數(shù)中是反比例函數(shù)關(guān)系的有.

①y=――；?y=—+1；③y=-2?y=1——x2；@y=——；

3xx32x

@xy=—@y=x-1;⑧2=2；@y=—(kHO)

2⑦Nxx

例2.（1）若函數(shù)y=（m2—1）/蘇+，"-5為反比例函數(shù)，則m=

（2）已知（y+1）與（x+加成反比例，y與x成正比例，且比例系數(shù)都是左，若x=—2時(shí)y=3,

求左與b的值。

':練一練

1.在下列函數(shù)表達(dá)式中，表示y是x的反比例函數(shù)的是(請(qǐng)?zhí)钊胄蛱?hào))

(1)y=-Y(2)y=三3(3)p=±1(4)y=上2

5x2x-1

(5)y=—(6)y=(7)y=-2x-1(8)j;=--(aw5,a是常數(shù))

3xxx

2.若y=(k2+Q/2*3是反比例函數(shù)，則左的值為.

3.(2014?名師學(xué)案)已知y=%+%，/與1成正比例，為與匯成反比例，并且當(dāng)％=2和％=3時(shí)，y

的值都等于10,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

')考點(diǎn)二反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)

反比例函數(shù)y=是常數(shù)，人中0)的圖像是雙曲線，如圖所示:

k

反比例函數(shù)y=—(kwO)

X

%的符號(hào)k>Qk<Q

JkJ

圖象十'

①函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別

①函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第

在第一、第三象限二、四象限

性質(zhì)

②在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大

②在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增

而增大

大而減小

-找想-『

（1）反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，那它是軸對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱軸是什么？

（2）反比例函數(shù)y=（,當(dāng)左>0時(shí)，左值越大，圖象會(huì)發(fā)生什么變化？若Z<0呢？

例4.（1）若反比例函數(shù)y=lz也，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，則正整數(shù)m的值為.

X

k

（2）若反比例函數(shù)y=—^的圖象位于第一、三象限內(nèi)，正比例函數(shù)y=（2左-9）左的圖象經(jīng)過(guò)第二、

x

四象限，則左的整數(shù)值是.

例5.（1）若反比例函數(shù)丁=—工的圖象上有兩點(diǎn)A（1,%）,B（2,%），則%______乃（填

X

或“二”或“V”）.

（2）若點(diǎn)%）,（了2，%），（當(dāng)，為）都是反比例函數(shù)y=—2的圖象上的點(diǎn)，并且占

X

則下列各式中正確的是（）

A.%<為<%B.%<%<%C.D.%<%<%

-25）在函數(shù)y=-2的圖像上，則下列關(guān)系正確的是

（3）已知點(diǎn)（X1,1）,（%2，..-）,（

X

()

A.xY<x2<x3B.xY>x2>x3C.x1>x3>x2D.<x3<x2

、.練二練

4.（2013?翠園周測(cè)）反比例函數(shù)y=——的圖象分布在第二、四象限，那么左的取值范圍是（）

x

A.k<3B.k>-3C.k>-3D.k<-3

_k2_?

5.（2014?實(shí)驗(yàn)班培優(yōu)）在函數(shù)y=-------（左為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（-2,%）,（-1,%），

x

（；,為），函數(shù)值X，%，%的大小為.

I''考點(diǎn)三反比例函數(shù)的解析式

反比例函數(shù)的解析式求法：待定系數(shù)法求左值，由于左=故只需已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)，即可求

出函數(shù)解析式.

k

例6.已知函數(shù)丁=--的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,3）,那么下列各點(diǎn)在函數(shù)y二丘—2的圖象上的是（）

x

13

A.（4,1）B.（-,-1）C.（——，-11）D.（-3,-21）

22

例7.（2014?競(jìng)賽通用教材）反比例函數(shù)y=幺的圖象上有一點(diǎn)P（m,n）,其坐標(biāo)是關(guān)于。的一元二次方

X

程/—3/+左=0的兩根，且P到原點(diǎn)0的距離為,則反比例函數(shù)的解析式為.

、練一練

rn_1

6.（2012?平谷區(qū)二模）已知反比例函數(shù)y=—圖象的兩個(gè)分支分布在二、四象限內(nèi)，且關(guān)于x的一

x

元二次方程/一4%+機(jī)2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)的解析式為.

7.反比例函數(shù)y=A的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（心勿，且為是一元二次方程尤2+依+4=。的兩根，那么

X

k=，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，到原點(diǎn)的距離為.

精選精練

1.（2012.福建漳州）矩形面積為4,它的長(zhǎng)y與寬％之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為（）

A.B.C.D.

2.若函數(shù)y=人的圖象在第二、四象限，則函數(shù)y=3的圖象過(guò)（）

龍

A.第二、三、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、二、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限

3.（2010?山東青島）函數(shù)y=a與y=@（aWO）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

4.函數(shù)y二一3圖象的大致形狀是（）

x

A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）B.圖象在第一、三象限

C.當(dāng)x>l時(shí)，0<y<lD.當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而增大

6.（2012?荊門）已知多項(xiàng)式cf-履+1是一個(gè)完全平方式，則反比例函數(shù)y=k-f}的解析式為（）

「32

K.y=—B.y----C.y=—或y=一D.y=—或y=——

xxXxXX

7.若反比例函數(shù)y=（4—BQ/?j-7,當(dāng)%>o時(shí)，y隨1的增大而減小，則左=.

62I_3

8.若y=,為反比例函數(shù),且當(dāng)無(wú)<0時(shí)，y隨x的增大而增大，則M等于

/ml+2m-2/--------------------

Ji

k

9.（2013?新疆烏魯木齊）已知點(diǎn)4-1,%）,3（1,為），。（2,乂）在反比例函數(shù)'=2伏<0）的圖象上，則

x

乃，為，內(nèi)的大小關(guān)系為.（用“<”或“〉”連接）

10.若4—3,弘），8（-2,%），c（l,%）三點(diǎn)都在反比例函數(shù)>的圖像上，則%,%，%的大小關(guān)系

X

是.（用連接）

11.設(shè)反比例函數(shù)y=--,（再，%），（%2,%）為其圖像上的兩點(diǎn)，若石<工2<0時(shí)，則上的取

x

值范圍是.

12.（2010?鄂州）已知反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)尸（根,〃），m+n=5,試寫出一個(gè)滿足條件的反比例函

數(shù)的解析式.

13.反比例函數(shù)y=±（kW0）的圖象上有一點(diǎn)P（相,“），且辦”是一元二次方程無(wú)2—4x+3=0的兩根,

貝|」左=.

k,、1_

14.如圖，第四象限的角平分線0M與反比例函數(shù)y=一（%/0）的圖象交于點(diǎn)A,已知Q4=3j5,則該函

x

數(shù)的解析式為（）

A.1n3c99

B.y=—C.y=—D.y=一—

XxxX

%與爐成反比例,并且當(dāng)％=1時(shí),

15.已知y=yi-y2^%與1成正比例，

y=-2；當(dāng)％=-1時(shí)，y=-6,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

反比例函數(shù)與一次函數(shù)

反比例函數(shù)是中考的重點(diǎn)，主要考查反比例函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象與應(yīng)用，單獨(dú)命題時(shí)多以選擇

題的形式出現(xiàn)。反比例函數(shù)與一次函數(shù)、相似結(jié)合的綜合題是歷年直升考、會(huì)考和中考的熱點(diǎn)題型，常

以解答題的形式考查.

上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念，解析式及其圖象的基礎(chǔ)性質(zhì)，開(kāi)始簡(jiǎn)單的接觸了反比例

函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，本節(jié)我們將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的其它題型，請(qǐng)大家注意哦！

專座二小例函數(shù)與正比例函數(shù)

例1.（2009?湖南益陽(yáng)）如圖，反比例函數(shù)y=K（左＜0）的圖象與經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線/相交于A、B兩點(diǎn)，已

X

知A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,1），那么B點(diǎn)的坐標(biāo)為.

尸'找一找想一想

由上題，你可以從中獲得怎樣的信息？大家不妨討論一下.

3

例2.（2012?湖北恩施）已知直線丁=履（左＞0）與雙曲線丁二—交于A（九1，%）,^（/，為）兩點(diǎn)，則

x

%%+%2%的值為（）

A._6B.-9C.0D.9

、練一練2

1.（2010?哪州市）如圖，直線y=左＜0）與雙曲線丫=一一交于

x

4再,％）,5（＞2,02）兩點(diǎn)，則3匹為一8%乃的值為（）

A.-5B.-10C.5D.10

2.(2011?黔東南州)如圖所示，反比例函數(shù)y=&的圖象與經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)

X

點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C,若4ABC的面積為3,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為

IC考點(diǎn)二反比例函數(shù)與一次函數(shù)

k

例3.已知反比例函數(shù)丫=一與一次函數(shù)y=-x+Z?的圖象交于A,B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A(-2,4).

-x

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;

(2)求B點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)求AAOB的面積.

例4.如圖，一次函數(shù)，=左左+人的圖象與反比例函數(shù)丫=一的圖象交于A、B兩點(diǎn).

x

(1)利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

Q

例5.如圖，反比例函數(shù)y=——與一次函數(shù)y=-x+2的圖像交于A、B兩點(diǎn).

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)求AAOB的面積.

I練一練

3.如圖，在直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)y=左逮+6的圖象與反比例函數(shù)y=2的圖象交于A(l,4),

B(3,m)兩點(diǎn).

A(l,4)

(1)求一次函數(shù)的解析式;

B(3,m)

(2)求△498的面積.

4.已知A(—4,n),B(2,—4)是一次函數(shù)y=Ax+b的圖象和反比例函數(shù)y=—的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及AAOB的面積;

(3)求方程左x+6——=0的解(請(qǐng)直接寫出答案)；

rn

(4)求不等式左x+6——<0的解集(請(qǐng)直接寫出答案).

_______________

聯(lián)系拓廣

a入

例6.已知直線y=-％+4與雙曲線丁=——的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(〃,6),則一+3=.

xab

例7.(2009?荊州)如圖，D為反比例函數(shù)丁=幺(k<0)圖象上一點(diǎn)，過(guò)D作DCJ.y軸于C,DEJ.X軸

X

于E,一次函數(shù)丁=—x+加與y=-#x+2的圖象都過(guò)C點(diǎn)，與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)。若梯形DCAE

的面積為4,求雙曲線的表達(dá)式.

、練一練

211

5.設(shè)函數(shù)y=—和函數(shù)y=x—l的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(。力)，則——=.

xab

6.(2013?羅外單元測(cè)驗(yàn))如圖，直線y+6與反比例函數(shù)丁=占(x>0)圖象交于A(1,6),

尤

B(?,3)兩點(diǎn).

(1)求仁，42值；(2)直接寫出匕x+b—勺〉0時(shí)的％的取值范圍；

x

(3)如圖，等腰梯形OBCD,BC〃OD,OB=CD,OD邊在x軸上，過(guò)點(diǎn)C作CEJ_OD于點(diǎn)E,CE和反比例函數(shù)

圖象交于點(diǎn)P,當(dāng)梯形面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

精選精練

1.（2010?廣西桂林）若反比例函數(shù)》=月的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3,2）,則左的值為（）.

X

A.16B.6C.-5D.5

4

2.（2010?廣東清遠(yuǎn)）下列各點(diǎn)中，在反比例函數(shù)p=—的圖象上的是（）

x

A.（-1,4）B.（1,-4）C.（1,4）D.（2,3）

2

3.如圖，已知點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=—的圖象在第一象限

x

內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，且0A=0B,那么AAOB的面積為（）

A.2B.---C.V2D.2^/2

2

rn

4.如圖，反比例函數(shù)；y=—的圖象與一次函數(shù)y=Ax+Z?的圖象交于點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,3）,

x

點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-1,根據(jù)圖象信息可得關(guān)于犬的方程一=區(qū)+人的解為（）

x

2/1

5.如圖，函數(shù)%=%-1和函數(shù)%=—的圖象交于點(diǎn)M（2,加），N（-l,n）,若/＞為，則x的取值范

x

圍是（）

A.xv—1或0cx<2B.xv-l或％>2

C.—IvxvO或0<x<2D.—IvxvO或％>2

6.（2013?深外單元測(cè)驗(yàn)）已知反比例函數(shù)丁二人與一次函數(shù)y=履+用的圖象有一個(gè)交點(diǎn)（-2,1）

x

則它們的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是.

7.(2012?泰安)如圖，一次函數(shù)y=Ax+Z?的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=—

x

的圖象在第二象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C,CD1.X軸，若0B=2,0D=4,AAOB的面積為L(zhǎng)

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出當(dāng)x<0時(shí)，履+)—生>0的解集.

X

8.如圖，已知雙曲線y=±(k>0)與直線y=交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限.

(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),則上的值為,a的值為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)若點(diǎn)A(m,m-l),P(m-2,m+3)都在雙曲線的圖象上，試求出機(jī)的值；

(3)如圖，在(2)小題的條件下：

①過(guò)原點(diǎn)0和點(diǎn)P作一條直線，交雙曲線于另一點(diǎn)Q,試證明四邊形APBQ是平行四邊形；

②如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)P,A,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求出點(diǎn)M

和點(diǎn)N的坐標(biāo).

反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

上一節(jié)課研究了雙曲線與直線結(jié)合的情況，同學(xué)們還能回憶起有哪些題型嗎？不妨和你的同桌討論

一下。今天，我們將繼續(xù)上次課的步伐，試一試較為綜合和復(fù)雜的題型，你準(zhǔn)備好了嗎?

I考點(diǎn)一段例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

例1.如圖，已知一次函數(shù)y=左％+6(左W0)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)

y=—(m0)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸,垂足為D,若0A=0B=0D=l,

x

(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

(2)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

、練一練

1.如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn).如果A

點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C、D分別在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD,試求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析

式.

')考點(diǎn)二反比例函數(shù)中的存在性問(wèn)題

例2.已知反比例函數(shù)〉=工和一次函數(shù)y=2%-1,其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(a,b),(a+1,匕+左)兩點(diǎn).

*2x

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求A點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)利用(2)的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P,使AAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P

點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

、練一練

2.如圖，一次函數(shù)y=+b的圖象與反比例函數(shù)y="的圖象交于M、N兩點(diǎn).

X

(1)利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△MOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

I')考點(diǎn)三反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題

1〃

例3.(2013?深外月考)如圖，已知直線丁二—九與雙曲線y=—(左＞0)交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫

2x

坐標(biāo)為4.

(1)求左的值；

(2)若雙曲線丁=七(左＞0)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求AAOC的面積；

x

(3)過(guò)原點(diǎn)0的另一條直線/交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限)，若由點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)組成的

四邊形的面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

—練

1"

3.已知如圖1,直線y=—九與雙曲線y=—(左＞0)交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,m).

3x

(1)求雙曲線y=A的解析式；

X

(2)點(diǎn)C(n,4)在雙曲線丁=月上，求△A0C的面積；

x

(3)過(guò)原點(diǎn)0作另一條直線/交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，且P點(diǎn)在第一象限，若由點(diǎn)A,P,B,Q為頂點(diǎn)組成

的四邊形的面積為20,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

精選精練

1.如圖，第四象限的角平分線0M與反比例函數(shù)）的圖象交于點(diǎn)A,已知。4=3我，則該函

數(shù)的解析式為（)

33

A.>=一B.y=一—

XX

99

C.y=一D.y=——

X

2

2.（2013?錦州二模）如圖，直線］與反比例函數(shù)y,

xX

A為y軸上的任意一點(diǎn)，則aABC的面積為

3.（2008?荊州市）如圖，一次函數(shù)y=；x—2的圖象分別交x軸、

y軸于A、B,P為AB上一點(diǎn)且PC為

△A0B的中位線，PC的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)丁=生（左＞0）的圖象于Q,SAO8=—,則左的值和Q點(diǎn)的坐

x2

標(biāo)分別為

1〃

4.如圖，正比例函數(shù)y=—九的圖象與反比例函數(shù)y=—（左。0）,在第一象限的交點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作工軸

2x

的垂線，垂足為M,已知A。4M的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果B為雙曲線在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一

點(diǎn)P,使得PA+PB最小.

5.如圖，直線y=；x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、C,P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PB，x軸，B

為垂足，5AA"「=9.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(2)設(shè)點(diǎn)R與點(diǎn)P的同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R在直線PB的右側(cè)，作RT，x軸，T為垂足，當(dāng)

△BRT與AAOC相似時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo).

反比例函數(shù)中k的幾何意義

上一節(jié)課研究了雙曲線與直線結(jié)合的情況，涉及到交點(diǎn)、面積、相似與存在性問(wèn)題，難度較大，大

家一定要好好理解和消化，這對(duì)于我們后面的學(xué)習(xí)非常重要。另外，反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)中，k的幾

何意義，也是中考和直升考的重點(diǎn)，這類題型出現(xiàn)的頻率更高，我們將在這一節(jié)，為大家詳細(xì)介紹。

考點(diǎn)一反比例函數(shù)中K的幾何意義

如圖，過(guò)雙曲線上的一點(diǎn)A,作x軸，y軸的垂線AB、AC,得矩形ABOC的面積

S=AB-AC=|y|-|%|=|xy|.

k7

y-—xy=k

x

S=\k\,即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作了軸、y軸的垂線，所得的矩形面積為網(wǎng),

若連接得尺"。和RtAAOC.顯然S^=S^3

AO,5OBoc_2U矩形A60c—2

例1.如圖，A,C是函數(shù)y=4圖象上關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，AB,

CD垂直于x軸，垂足分別為B、D,設(shè)四邊

x

形ABCD的面積為S,則（）

A.0<s<2B.S=3

C.S=2D.S=4

2

例2.如圖，過(guò)反比例函數(shù)y=—（x>0）圖象上任意兩點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,

x

垂足分別為C,D.連接OA,0B,設(shè)AC與0B的交點(diǎn)為點(diǎn)E,A0E與梯形ECDB的

面積分別為H，S2,比較它們的大小可得（）

A.5]>S2B.S]<S2

C.5]=S2D.S],S2大小關(guān)系不能確定

42

例3.（2011?陜西）已知反比例函數(shù)丁=——和丁=—,過(guò)y軸正半軸上任意一點(diǎn)P,作1軸的平行線,

XX

分別交雙曲線于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)C為x軸上任意一點(diǎn),連接AC,BC,則AABC的面積為（

A.3B.4C.5D.6

尸*找二找想一想

從例題中，你學(xué)到了什么？對(duì)于雙曲線中左的幾何意義，我們?cè)诮忸}時(shí)，常規(guī)的思路和應(yīng)用技巧，你

掌握了嗎？

［練:練

k

1.如圖所示，A、B是反比例函數(shù)y=—（左>0）上的兩點(diǎn)，AC_Lx軸于點(diǎn)C,BD_Ly軸于點(diǎn)D,AC>BD交

x

于點(diǎn)E,則AADE與A3CE的面積關(guān)系（）

A?^AADE>SgCE=S^cE

SMDE<S帖CED.不確7E

k

2.如圖，直線y=痛與雙曲線》=《交于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)A作AMLx軸，垂足點(diǎn)為點(diǎn)M,連接BM,若S^BM=1,

則左的值是（）

A.1B.m—1C.2D.m

13

3.（2012?黑河）如圖，點(diǎn)A在雙曲線丁=—上，點(diǎn)B在雙曲線丁=—上，

xx

且AB〃x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為.

‘）考點(diǎn)二利用K的幾何意義求多個(gè)陰影部分的面積

k

例4.（2011?山東省東營(yíng)市）如圖，直線/和雙曲線y=—（左＞0）交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB上的點(diǎn)（不

x

與A、B重合），過(guò)點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別為C、D、E,連接0A、OB、0P,設(shè)△AOC的面

積為S1,AB0D的面積為S2,AP0E的面積為名，則它們面積之間的大小關(guān)系式（）

A.Sl<S2<S3B.Sx>S2>S3

例5.（2010?四川瀘州）在反比例函數(shù)y=—（尤＞0）的圖象上，有一系列點(diǎn)4、&、&…、4、

若4的橫坐標(biāo)為2,且以后每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2.現(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)A、4、4…、

4、4+1作X軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個(gè)矩形如圖所示,將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為航、

邑、S3、Sn,則，=,S1+S2+S3+…+S”（用n的代數(shù)式表示）

、"練_練

4.（2010?廣西南寧）如圖所示，點(diǎn)A、4、人3在X軸上，且=44=&&，分別過(guò)點(diǎn)4、4、

Q

A3作y軸的平行線，與反比例函數(shù)y=—（%＞0）的圖像分別交于點(diǎn)用、當(dāng)、鳥(niǎo)，分別過(guò)點(diǎn)用、斗、B

x3

作1軸的平行線，分別與y軸交于點(diǎn)G

C2>C3,

之和為?

精選精練

k

1.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=勺的圖象上，AB垂直于x軸，若SZU°B=4,那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式

x

為.

2.如圖，A是反比例函數(shù)y=—圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB_Ly軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，已

x

知AABP的面積是2,則上的值是.

3.如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)y=-工的圖象交于A、B兩點(diǎn)，AC平行于y軸，BC平行于x軸，則

x

V-

°AABC-------------------'

4.反比例函數(shù)y=9與y在第一象限的圖像如圖所示，作一條平行于x軸的直線分別交雙曲線于A、B

兩點(diǎn)，連接OA、0B,則AAQB的面積是.

73

5.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=—（x〉0）的圖象上任意一點(diǎn),AB〃x軸交反比例函數(shù)丁=的圖像于點(diǎn)B,

xx

以AB為邊作口458,其中C、D在x軸上，則SMCO為

21

6.如圖，直線x=，（t>0）與反比例函數(shù)y=*,y=-上的圖像分別交于B、C兩點(diǎn)，A為y軸上任意一點(diǎn),

xx

則AABC的面積為

57

7.（2013?寶應(yīng)縣二模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線丁二一上，點(diǎn)B在雙曲線丁=一上，且AB〃x軸，C、D

xx

在工軸上，若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積為

xx

點(diǎn)P在G上，PCIX軸于點(diǎn)C,交C2于點(diǎn)A,PD1y軸于點(diǎn)D,交Q于點(diǎn)B,則四邊形PA0B的面積是（）

A.k、—k[B.左]+k]C.k\KD.

k2

64

9.（2012?鄭州模擬）如圖，雙曲線y=—與y=—在第一象限內(nèi)的圖象依次是機(jī)和〃，設(shè)點(diǎn)P在圖象機(jī)

xx

上，PC垂直于x軸于點(diǎn)C,交圖象”于點(diǎn)A,PD垂直于y軸于D點(diǎn)，交圖象”于點(diǎn)B,則四邊形PA0B的面

積為.

4

10.（2011?廣西桂林）雙曲線％,%在第一象限內(nèi)的圖象如圖，乂=—，過(guò)%上任意一點(diǎn)A作x軸的平

行線，交為于點(diǎn)。若5AA°B=1，則%的解析式為.

3

11.（2009?甘肅蘭州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線y=—

x

（%>0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，AQ43的面積將會(huì)（）

A.逐漸增大

B.不變

C.逐漸減小

D.先增大后減小

一k

12.(2009?福建寧德)如圖，已知點(diǎn)A、B在雙曲線>=一(x>0)上，AC，x軸于點(diǎn)C,BD，y軸于點(diǎn)D,

X

AC與BD交于點(diǎn)P,P是AC的中點(diǎn)，若4ABP的面積為3,則左的值是.

2

13.如圖，在反比例函數(shù)y=—(%>0)的圖象上，有點(diǎn)48,月，舄，它們的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,分別

x

過(guò)這些點(diǎn)作九軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為號(hào),$2,S3,則

S]+邑+S3—.

反比例函數(shù)中k的幾何意義

上一節(jié)課研究了雙曲線與直線結(jié)合的情況，涉及到交點(diǎn)、面積、相似與存在性問(wèn)題，難度較大，大

家一定要好好理解和消化，這對(duì)于我們后面的學(xué)習(xí)非常重要。另外，反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)中，k的幾

何意義，也是中考和直升考的重點(diǎn)，這類題型出現(xiàn)的頻率更高，我們將在這一節(jié)，為大家詳細(xì)介紹。

‘考點(diǎn)一反比例函數(shù)中K的幾何意義的應(yīng)用

例1.如圖，已知雙曲線y=一(x>0)經(jīng)過(guò)矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,且四邊形OEBF的面積

X

為2,貝！)左=

2

例2.如圖，雙曲線y=—(x>0)經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C,ZABC=90°,0C平分0A與x軸正半軸

x

的夾角，AB〃x軸，將4ABC沿AC翻折后得到AAB'C,B，點(diǎn)落在0A上,

是

例3.