北師大版高中數(shù)學(xué)必修五教學(xué)案

列

§1數(shù)列

1.1數(shù)列的概念

睦就EH喇自課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

預(yù)習(xí)課本P3?6,思考并完成以下問題

(1)什么是數(shù)列？數(shù)列的項(xiàng)指什么？

(2)數(shù)列的一般表示形式是什么？

(3)按項(xiàng)數(shù)的多少，數(shù)列可分為哪兩類?

(4)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式有什么關(guān)系？

［新加初源］

1.數(shù)列的概念

(1)定義：按一定次所排列的一列數(shù)叫作數(shù)列.

(2)項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).

(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成。2,。3,…，即…，簡(jiǎn)記為數(shù)列為口數(shù)列的第1

項(xiàng)〃”也稱首項(xiàng);%是數(shù)列的第〃項(xiàng)，也叫數(shù)列的通項(xiàng).

［點(diǎn)睛］

(I)數(shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“一定次序”與“一列數(shù)”.也就是說構(gòu)成數(shù)列的元素是

“數(shù)”，并且這些數(shù)是按照“一定次序”排列的，即確定的數(shù)在確定的位置.

(2)項(xiàng)%與序號(hào)”是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是這個(gè)數(shù)列中的一個(gè)確定的數(shù)，而序號(hào)是指項(xiàng)在數(shù)列中

的位次.

(3)｛斯｝與%是不同概念：｛%｝表示數(shù)列“1,a2,43,…，?n,,?,；而。"表示數(shù)列｛%｝中的第"

項(xiàng).

2.數(shù)列的分類

項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫作有窮數(shù)列，項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫作無窮數(shù)列.

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果數(shù)列｛%｝的第"項(xiàng)％與"之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成%=/("),那么這個(gè)式子叫

作數(shù)列的通項(xiàng)公式.

［點(diǎn)睛］

(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N+或它的有限子集｛1,2,3,…，”｝為定義域的函數(shù)

解析式.

(2)同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

4.數(shù)列的表示方法

數(shù)列的表示方法一般有三種：列表法、圖像法、解析法.

I小斌身手］

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)同一數(shù)列的任意兩項(xiàng)均不可能相同.()

⑵數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,—1是同一個(gè)數(shù)列.()

(3)數(shù)列中的每一項(xiàng)都與它的序號(hào)有關(guān).()

答案：⑴X(2)X(3)7

2.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為即=!一(「則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.1,0,1,0D,2,0,2,0

3.已知數(shù)列｛%｝中，%=2"+1,那么〃2"=()

A.2"+1B.4"-1

C.4"+1D.4”

,

解析：選C'：a,.=2n+\,..a2?=2(2w)+l=4n+l.

4.數(shù)列1,3,6,10,x,21,…中，x的值是()

A.12B.13

C.15D.16

解析：選C—1=2,6—3=3,10—6=4,

x-10=5,

課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

數(shù)列的概念與分類

［典例］下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？

(1)｛0,1,2,3,4｝；(2)0,1,2,3；(3)0』,2,3,4，…；(4)1,-1,1,-1,1,T,(5)6,6,6,6,6.

［解］(1)是集合，不是數(shù)列；

(2)(3)⑷⑸是數(shù)列.

其中(3)(4)是無窮數(shù)列，(2)⑸是有窮數(shù)列.

數(shù)列分類的判斷方法

判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng).若數(shù)列含有限

項(xiàng)，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.

-［活學(xué)活用］

下列說法中，正確的是()

A.數(shù)歹!|0,2,4,6可表示為｛0,2,4,6｝

B.數(shù)列1,3,5,7,9,i的通項(xiàng)公式可記為斯=2"+1

C.數(shù)列2013,2014,2015,2016與數(shù)列2016,2015,2014,2013是相同的數(shù)列

D.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=常黑，則它的第A項(xiàng)是1+訐梟

解析：選D數(shù)列與數(shù)的集合的概念不同，A不正確；當(dāng)"CN+時(shí)，沒有第一項(xiàng)1,所以B不

正確；C中兩個(gè)數(shù)列中數(shù)的排列次序不同，故是不同的數(shù)列，所以選D.

題型二

［典例］分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，數(shù)列的前4項(xiàng)已給出.

―22T3-4一52~1

⑴2'3，4，5，…；

/、、1111

(2)-亍干一五,而，…;

(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,???.

［解］(1)該數(shù)列第1,2,3,4項(xiàng)的分母分別為2,3,4,5恰比項(xiàng)數(shù)多1.

分子中的好不健寸恰是分母的平方，一1不變，故它的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=("：?］L

(2)該數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)是正負(fù)交替變化的，需設(shè)計(jì)一個(gè)符號(hào)因子分子均為1不變，分母

2,6,12,20可分解為1X2,2X3,3X4,4X5,

則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=(-1

(3)0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001,

0.9999=1-0.0001,

而0.1=10-1,0.01=10~20.001=10-3,0.0001=10-4,

，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為〃〃=1—10一”.

woo由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題策略

(1)負(fù)號(hào)用(一1)”與(-1)"+1(或(一1)"7)來調(diào)節(jié)，這是因?yàn)椤昂汀?1奇偶交錯(cuò).

(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)要充分借助分子、分母的關(guān)系.

(3)此類問題雖無固定模式，但也有其規(guī)律可循，主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、

歸納、轉(zhuǎn)化等方法.

［活學(xué)活用］

寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)0,3,8,15,24,…;

(3)1；,2多3習(xí),卷….

解：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0=1—1,3=4—1,8=9—1,15=16—1,24=25—1,…，所以

它的一個(gè)通項(xiàng)公式是%="2—1.

(2)數(shù)列的項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：;，11學(xué)，磊…,

2

所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為

(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,234,…恰好是序號(hào)〃，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)〃的關(guān)系為#p故所求的數(shù)

列的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=〃+不

利用通項(xiàng)公式確定數(shù)列的項(xiàng)

［典例］已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3"2—28".

(1)寫出數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；

(2)—49和68是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？若是，應(yīng)是第幾項(xiàng)？若不是，請(qǐng)說明理由.

|解|(1>%=3〃2—28”,

2

/.a4=3X4-28X4=-64,

2

a6=3X6-28X6=-60.

⑵令3，/-28"=-49,即3M—28"+49=0,

7

解得〃=7,或〃=§(舍).

???一49是該數(shù)列的第7項(xiàng)，

即〃7=—49.

令3〃2—28〃=68,即3，-28〃-68=0,

解得〃=—2,或〃=芋,

；-2陣N+，合N+，.?.68不是該數(shù)列的項(xiàng).

(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第"項(xiàng)％與它的位置序號(hào)"之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的",

就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng).

(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)，需假定它是數(shù)列中的項(xiàng)列方程.若方程的解為正整數(shù)，則是

數(shù)列的項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的項(xiàng).

-［活學(xué)活用］

已知數(shù)列｛斯｝的每一項(xiàng)是它的序號(hào)的算術(shù)平方根加上序號(hào)的2倍.

(1)求這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)與第25項(xiàng)；

(2)253和153是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

解：(1)由題設(shè)條件，知%=g+2”.

.,.04=^4+2X4=10,a25=V25+2X25=55.

(2)假設(shè)253是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則253=5+2”，解得“=121.，253是這個(gè)數(shù)列的第121項(xiàng).

假設(shè)153是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則153=g+2",解得〃=72；,這與“是正整數(shù)矛盾，二153不

是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng).

物韁糅‘國唳摩至知課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

f3〃+l,〃為奇數(shù)，

1,數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=、，七口將則“29等于()

12/1—2,〃為偶數(shù)，

A.70B.28

C.20D.8

3"+1,”為奇數(shù)，

解析：選C由%得畋=2,的=10,所以。2?。3=2().

In—2,〃為偶數(shù)，

2.下列敘述正確的是()

A.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn)

B.數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+的函數(shù)

C.任何數(shù)列的通項(xiàng)公式都存在

D.數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的

解析：選A數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義域是正整數(shù)集N+或它的有限子集，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；并不是

所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；數(shù)列一1,1,一1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成%=(—1)”,也

可以寫成%=(—1)/2,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.

3.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=〃2—〃一50,則一8是該數(shù)列的()

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.非任何一項(xiàng)

解析：選C由50=—8,得"=7或"=-6(舍去).

4.數(shù)列1,—3,5,—7,9,…的■—個(gè)通項(xiàng)公式為()

A.a?=2n~\B.%=(—1)"(1-2")

C.%=(—1)”(2〃-1)D.a,-(-l)n(2n+l)

解析：選B當(dāng)”=1時(shí)，用=1排除C、D;當(dāng)”=2時(shí)，做=-3排除A,故選B.

1j/1—2

5.在數(shù)列一1,0,G，…，卞~,…中，0.08是它的()

A.第100項(xiàng)B.第12項(xiàng)

C.第10項(xiàng)D.第8項(xiàng)

>1—2n-25

解析：選C由,2,合一/=0.08,解得〃=10或〃=3(舍去).

6.數(shù)列1,2,4,8,16,32,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為.

解析：由01=2°,02=2、?3=22,04=2。…易得%=2"L

答案：%=2〃T

7.600是數(shù)歹打X2,2X3,3X4,4X5,…的第項(xiàng).

解析：由題意知，數(shù)列的通項(xiàng)公式%=〃(〃+1),令"〃=〃(〃+1)=600,解得〃=24或〃=—25(舍

去).

答案：24

8.已知曲線yuf+l,點(diǎn)(〃，a〃)(〃￡N+)位于該曲線上，貝!Uio=.

2

解析：???點(diǎn)(〃,%)位于曲線[=/+1上，/.a?=n+l9故4]O=1()2+1=1OL

答案：101

9.根據(jù)下面數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng).

(1)??=2?-1!(2)%=sin詈；(3)%=2"+1.

Q1CQ

解：(1)在通項(xiàng)公式中依次取〃=1,2,3,4,5,得到數(shù)列｛%｝的前5項(xiàng)為0,1,g,y,7

(2)在通項(xiàng)公式中依次取"=1,2,3,4,5,得到數(shù)列｛明｝的前5項(xiàng)為1,0,-1,0,1.

(3)在通項(xiàng)公式中依次取“=1,2,3,4,5,得到數(shù)列｛明｝的前5項(xiàng)為3,5,9,17,33.

10.在數(shù)列｛%｝中，?1=2,017=66,通項(xiàng)公式是關(guān)于"的一次函數(shù).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求。2016；

(3)2014是否為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)？

k+b=2,

解：6設(shè)％=〃"+好。0),則有,r-八“

U7A+〃=66,

解得4=4,b=-2.

:.斯=4〃—2.

(2)僅016=4X2016-2=8062.

(3)令2014=4〃-2,解得〃=504￡N+,

.*.2014是數(shù)列｛%｝的第504項(xiàng).

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.數(shù)列2,0,4,0,6,0,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

A.%=a1+(-1)”|

B.a?=^y^|l+(—1)，，+1]

C.%=?1+(-1)"+1]

D.。“=嚀?1+(-1)"]

解析：選B經(jīng)驗(yàn)證可知B符合要求.

2.已知數(shù)列2,-5,10,-17,26,一37,…，則下列選項(xiàng)能表示數(shù)列的通項(xiàng)公式的是()

A.</?=(—l)n/j2+lB.a?=(—1)"+,(/?2+1)

C.??=(-1)H(?2+1)D.a?=(-l)"+,(n2-l)

解析：選B通過觀察發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)的絕對(duì)值都是序號(hào)的平方加1,且奇數(shù)項(xiàng)是正的，偶數(shù)項(xiàng)是

負(fù)的，.?.通項(xiàng)可以寫成%=(—1rH(/+1).

3.數(shù)列巾,由，2y[2,汨，…，貝!|2m是該數(shù)列的()

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)

C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng)

解析：選B數(shù)列啦，點(diǎn)，2^2,匹，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為-1("GN+),令2小=

-得"=7.故選B.

4-設(shè)%…+±("GN+),那么叫+1一”“等于()

A_>_R^_

人2"+1七"+2

1111

C'2"+l十2"+2D-2n+i_2n+2

解析：選D.?.斯=3工+/+去+~+1?

+++,

..a?+i-H+2+n+3+-2n2n+\2n+2

.__1j11_11

..%+i%-2"+1十2"+2〃+1-2"+12n+l

5.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%="2-4”-12("dN+),貝lj

(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是；

(2)65是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).

解析：（1）由a4=42-4X4-12=-12,得第4項(xiàng)是一12;

(2)由%="2—4〃-12=65,得?=11或"=一7(舍去)，

.?.65是第11項(xiàng).

答案：⑴一12(2)11

6.根據(jù)下列5個(gè)圖形中相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第〃個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn).

①②③④⑤

解析：觀察圖中5個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為1,1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,故第〃個(gè)圖中

點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(〃-+

答案：,J-〃+1

7.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)-3,0,3,6,9,???；

(2)7,77,777,7777,77777,…；

(3)2,0,2,04,0,???；

,八115132961

(4)2，4，8'16'32'64',

解：(l)〃i=-3+0X3,a2=-3+lX3,。3=一3+2乂3,%=一3+3乂3,….

〃“=—3+(〃—1)X3=3〃—6(/i￡N+).

772

(2)ai=gX(10—l),a2=^(10-l),

?3=^(103-1),?4=^X(104-l),

7

-

9

(3)?1=1+1,“2=1—1,的=1+1,々4=1-1,????

.?.%=l+(-l)i("GN+).

小2-322-323-324-3

29

(4)〃i=—―-,a2=2。3=-2?，"4=2：

2W—3

.?.%=(T)"^^("GN+).

|2點(diǎn)選做題

8.寫出數(shù)列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一個(gè)通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證2

563是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).

解：該數(shù)列的項(xiàng)為13+1X2,13+2X3,13+3X4,….故其通項(xiàng)公式可以為??=13+?("+!)(?

EN+).

令13+"("+1)=2563,則n+n=2550.

解得"=50或”=一51(舍去).

，2563是該數(shù)列中的第50項(xiàng).

1.2數(shù)列的函數(shù)特性

■販麗0麗理，深前自主學(xué)習(xí)，基稅才能樓高

預(yù)習(xí)課本P6?8,思考并完成以下問題

(1)什么數(shù)列是遞增數(shù)列？

(2)什么數(shù)列是遞減數(shù)列？

(3)常數(shù)列是什么樣的數(shù)列？

［新知初探］

數(shù)列的單調(diào)性

(1)一個(gè)數(shù)列｛%｝,如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即儂^%,那么這個(gè)數(shù)列叫

作遞增數(shù)列.

(2)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即外"％,那么這個(gè)數(shù)列叫作

遞減數(shù)列.

(3)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列

叫作擺動(dòng)數(shù)列.

(4)如果數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫作賞數(shù)列.

［小就身手］

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“，錯(cuò)誤的打"X”)

(1)一個(gè)數(shù)列，如果它不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.()

(2)數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此其圖像是連續(xù)不斷的曲線.()

(3)可以用判斷函數(shù)單調(diào)性的方法判斷數(shù)列的單調(diào)性.()

答案：⑴義(2)X(3"

2.已知數(shù)列｛斯｝滿足%3=0,則數(shù)列｛。“｝是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.不能確定

解析：選A由條件得%+L%=3>0可知%+］>%,所以數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

3.已知遞減數(shù)列｛%｝中，%=A"(A為常數(shù))，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是()

A.RB.(0,+~)

C.(一8,0)D.(一8,0)

解析：選Ca?+i—a?=k(n+1)—AM=A<0.

4.設(shè)%=—"2+10〃+11,則數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為()

A.5B.11

C.10或11D.36

解析：選D,/a?=-n2+10/?+ll=-(/j-5)2+36,

...當(dāng)”=5時(shí)，％取得最大值36.

字課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

數(shù)列的圖像及應(yīng)用

2

［典例］已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為斯=五、，畫出它的圖像，并判斷增減性.

|解|圖像如圖所示，該數(shù)列在｛1,2,3,4｝上是遞減的，在｛5,6,…｝上也是遞減的.

----QM0利用數(shù)列的圖像判斷數(shù)列的增減性

數(shù)列的圖像可直觀地反映數(shù)列各項(xiàng)的變化趨勢(shì)，從而可判斷數(shù)列的增減性.

［活學(xué)活用］

已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為作出該數(shù)列的圖像并判斷該數(shù)列的增減性.

解：分別取“=1,2,3,…，得到點(diǎn)(1,1),(2,3),(3,5),…，描點(diǎn)作出圖像.如圖，它的圖像是

直線y=2x-l上的一些等間隔的點(diǎn).

由圖像可知該數(shù)列為遞增數(shù)列.

題型二數(shù)列增減性的判斷

［典例］已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式外,=忐，試判斷該數(shù)列的增減性.

［解I%+1-斯-("+］)2+i-小］

1—一〃

=|(n+l)2+1］(//+1)-

因?yàn)椤ā闚+,所以1—〃2—〃<0,

所以%+i—%<0,

即“〃+］<%.故該數(shù)列為遞減數(shù)列.

應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列增減性的方法

(1)作差法，將%+1—%與。進(jìn)行比較；

(2)作商法，將竽1與1進(jìn)行比較(在作商時(shí)，要注意％<0還是??>0).

un

［活學(xué)活用］

23

--

…的通項(xiàng)公式，并判斷它的增減性.

4^7y

解：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=而、,

〃+1

?外尸石下1尸1一而二I

一2

(3"+1)(3〃-2)，

；"GN+,.*.(3?+1)(3?-2)>0,

：.a?+i<a?,J.該數(shù)列為遞減數(shù)列.

一題，取數(shù)列的函數(shù)特性的應(yīng)用

題型三題根展現(xiàn)

題點(diǎn)一：求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)

1.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式%=(〃+1)

"(〃GN+),試問數(shù)列｛%｝有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由.

解：法一：假設(shè)數(shù)列｛%｝中存在最大項(xiàng).

■:%+1-%=("+2)借尸-("+1)借)"=給)",^^'

當(dāng)時(shí)，斯+1—即>0,即。〃+1>%;

當(dāng)〃=9時(shí)，斯+1—%=0,即?！?1=%；

當(dāng)w>9時(shí)，%+］一即<0,即an+i<an.

故〃尸畋^3V…y9=aio>aii>ai2…，

1O10

所以數(shù)列中有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9、10項(xiàng)，且的=由0=〒/.

您2您一19

法二：假設(shè)數(shù)列｛斯｝中有最大項(xiàng)，并設(shè)第A項(xiàng)為最大項(xiàng)，則、對(duì)任意的AWN+且〃22

4.僅A+1

都成立.

卜+1)⑵式臥，

即[(A+1)借卜(A+2)造尸，

陽+1)2,

A+1叫A+2),

解得9WAW10.

又AGN+,

數(shù)列｛%｝中存在最大項(xiàng)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，

H-一駕

且的一。10-]]9?

題點(diǎn)二：由數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)問題

2

2.已設(shè)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為：a?=n+kn(n^+),若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)A的

取值范圍.

解：法一：???數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

:.斯+1-??>0(/?GN+)恒成立.

又；a,,="2+〃"(“eN+),

；.(〃+1y+A(〃+1)—(〃2+A”)>0恒成立.

即2/i+l+QO.

...A>-(2"+l)("eN+)恒成立.

而“GN+時(shí)，一(2〃+1)的最大值為一3("=1時(shí))，

.?.A>-3.即A的取值范圍為(-3,+0°).

法二：結(jié)合二次函數(shù)y=x2+fcv的圖像，要使｛%｝是遞增數(shù)列，只要。產(chǎn)“2即可，

即1+A<4+2A,得A>-3,

所以A的取值范圍為(-3,+8).

題點(diǎn)三：數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用

3.已知函數(shù)/(x)=2"-2數(shù)列｛%｝滿足/Uog2%)=-2".

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列.

解：(1)：於)=2'—2//(log2%)=—2〃，

:.21og2??—2—log2a?=—2n,

.?.%士-2〃，

2

%+2〃。”-1=0,解得a,t=—n^\]n+l.

Van>0,atl=y///+l—n,〃￡N+.

j\Z（/7+1）2+1―（//+1）

(2)證明：

:/干+〃<1.

q（〃+i）2+i+（〃+i）

?。">0,??%+]<%,

數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列.

函數(shù)思想方法在數(shù)列問題中的應(yīng)用

(1)數(shù)列的單調(diào)性是通過比較｛%｝中任意相鄰兩項(xiàng)％與%+1的大小來判定的.某些數(shù)列的最大項(xiàng)

或最小項(xiàng)問題，可以通過研究數(shù)列的單調(diào)性加以解決.

(2)數(shù)列是特殊函數(shù)，一定要注意其定義域是N+(或它的有限子集).

尼的猱'建唳卡苧知課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

i.下列四個(gè)數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()

.,111口.兀.27r.37r

A.1,p『…B.smy,sin萬，sin萬，…

C.—1,—I，—I，—g,…D.L也,小，…,Vil

解析：選CA是遞減數(shù)列，B是擺動(dòng)數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故選C.

fl--1

2.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是％=鬲，那么這個(gè)數(shù)列是()

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

n—12

解析：選A斯=17=1一下7，隨著〃的增大而增大.

n~rIn~rI

3.數(shù)列｛%｝中，%=—"2+""，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()

B.30

C.31D.32

解析：選B4,=-"2+11"=一("—/)+號(hào)，

；"GN+,.,.當(dāng)”=5或6時(shí)，。"取最大值30,故選B.

4.數(shù)列｛%｝中，9=1,以后各項(xiàng)由公式〃1?畋g%=〃2給出，則的+的等于()

25-25

A?5Bl6

925

解析：選C'.“is.....%=，/，2a3=9,ara2=4,.\a3=^.同理。5=正，/.a3+a5

925__6￡

4+16=16,

5.已知數(shù)列｛%｝滿足例>0,且。"+1=V7%,則數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)是()

A.ci\B.的

C.〃ioD.不存在

解析：選AV?i>0JLan+i=?；?/,,芻"■=一/<1,*'?an+\<an9?,?此數(shù)列為遞減數(shù)

n-riann-ri

列，故最大項(xiàng)為41.

6.若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=與

(A>0,且A為常數(shù))，則該數(shù)列是(填“遞增”“遞減”)數(shù)列.

解析：；i=3"+i7=§<L；A>。，,“"〉。，

二｛即｝是遞減數(shù)列.

答案：遞減

7.數(shù)列｛-2/J+9〃+3｝中最大項(xiàng)的值為.

解析：由已知%=—2"2+9/?+3=—2(”一由于“為正整數(shù)，故當(dāng)"取2時(shí)，叫取到

最大值13.

數(shù)列｛-27+9"+3｝的最大項(xiàng)為做=13.

答案：13

2

8.數(shù)列｛%｝中，%=聲下則數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)的值為.

但赤??_("+1)2_/

解析：“"+1%—(“+1A+1"2+1

("+[)2("2+1)—〃2[(〃+[)2+[]__________2〃+1_______

22=22>0

二|(?+1)+1|(W+1)|(W+l)+l|(n+l)-

：.a?<an+i,數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，

，數(shù)列｛%｝的最小項(xiàng)為?i=2?

答案，

9.根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)，并用圖像表示出來,

(l)a?=(-l)"+2；

(2)%=*

解：=畋=3,〃3=1,%=3,。5=1,圖像如圖L

(2)?|=2,02=5,的=§,04=不”5=g?圖像如圖2.

%

44

33

22

11

o12345nO12345?

圖1圖2

10.已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為即=〃2—21〃+20.

(1)〃為何值時(shí)，即有最小值？并求出最小值；

(2)數(shù)列｛斯｝有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)，若沒有說明理由.

=/—21〃+20=(〃一到2一丹可知對(duì)稱軸方程為〃=當(dāng)=10.5.又因wGN+,

解：(1)因?yàn)樵S

故〃=10或〃=11時(shí)，〃〃有最小值，其最小值為1。2—21X10+20=-90.

(2)由(1)知，對(duì)于數(shù)列｛%｝有：=2V…，故數(shù)列｛斯｝沒有最大項(xiàng).

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)/)定義如下表，數(shù)列｛/｝滿足Xo=5,且對(duì)任意的自然數(shù)均有x〃+i=Ax")，則X2

017=()

X12345

f(x)51342

A.1B.2

C.4D.5

解析：選B根據(jù)定義可得出：xi=/(xo)=2,x2=/(xi)=l,X3=/(X2)=5,X4=A^3)=2,…，

所以周期為3,故X2O17=X1=2.

2.對(duì)任意的￡(0,1),由關(guān)系式〃〃+1=7(%)得到的數(shù)列滿足%則函數(shù)y=/(x)的

圖像是()

CD

解析：選A據(jù)題意，由關(guān)系式%+1=八％）得到的數(shù)列｛%｝,滿足％+1>%,即該函數(shù)j，=/（x）

的圖像上任一點(diǎn)（x,y）都滿足y>x,結(jié)合圖像，只有A滿足，故選A.

3.已知數(shù)列｛""｝滿足"1=0,%+1=嗝”f[（"eN+），貝!1。20=（）

A.0B.一于

C.5D.申

解析：選B由m=0,可求做=求瑤=一也,”3=指答=小'"產(chǎn)/第=0,…，

可知周期為3,所以〃20=。2=—6?

4.已知%=昌||，則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是（

A.41，430B.41，。9

C.〃[0,的D?〃10，?30

〃―啊+（啊一匹）遮一啊+]

解析：選CH-*^99^/99'

\[99—\[98

???點(diǎn)（〃，%）在函數(shù)j，=\_｛回+1的圖像上，

ylgg--x/oe

在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)_^=七靖-+1的圖像,

由圖像易知，當(dāng)xG（0,啊）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

:.7V…,

當(dāng)+8）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，???〃10>41]>…>〃30>1.

所以，數(shù)列｛%｝的前30項(xiàng)中最大的項(xiàng)是％0,最小的項(xiàng)是的.

5.已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)%=游/〃，〃，c都是正實(shí)數(shù)），則%與%+1的大小關(guān)系是

an_u

解析：???明b,C均為實(shí)數(shù)，質(zhì)）=d’一在（0,+8）上是增函數(shù)，故數(shù)列斯=

bx+cbn+c"

.

b+TX

GN+時(shí)為遞增數(shù)列，

答案:Q〃+i>a”

(,1A

xI2,X'"""'J

7

6'已知函數(shù)於)="2x-l,l<x<l,若數(shù)列｛%｝滿足“1=j>%+i=/(%)，“GN+，則“2

u—1,x21,

015+a2016=-

解析：?2=/￡)=j-1=|；

。3=周=914

^=Xl)=3+2=6;

%=局=2'114

^=Xi)=2X3-1=3-

即從的開始數(shù)列｛%｝是以3為周期的周期數(shù)列.

。2015+。2016=?5+43=L

答案：1

7.已知函數(shù)/(x)=±l，設(shè)%=/5)(〃eN+),

⑴求證：%<1；

(2)數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

解：(1)證明：a?=/(/0=^^~=,—n<L

(2)數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，理由如下：

???*-%=嚕:『=(1V(T)=品7。,

...｛斯｝是遞增數(shù)列.

我選做題

8.數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式為瓦尸〃。"5>0),問：也,｝是否存在最大項(xiàng)？并說明理由.

解：/??+1—b?=(n+i)a"+'—na"=a"\(n+i)a—n\

=?"[(?—l)n+?].

當(dāng)。>1時(shí),b“+i-b”>0,故?“｝為遞增數(shù)列，無最大項(xiàng)；

當(dāng)。=1時(shí)，b?+i—bn=l,故?"｝不存在最大項(xiàng)；

當(dāng)0<?<1時(shí)，

bn+t-bn=a"(a-l)[>i+-^^=aXa-l)(n—^^.

V0<a<l,/.a\a-1)<0,

即6〃+】一瓦與〃一黃;有相反的符號(hào).

由于〃為變量，而言為常數(shù)，設(shè)A為不大于言的最大整數(shù),

則當(dāng)“WA時(shí)，瓦+i—〃“20；

當(dāng)〃,〃時(shí)，bn+]—bn<09

即有b[〈b2Vb3<…<bk-iWbk,且瓦>瓦+1>…,

故對(duì)任意的自然數(shù)“，bWbk,

.,.0<a<lBf,｛瓦｝存在最大項(xiàng).

§2等差數(shù)列

2.1等差數(shù)列

第一課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

睦就EH喇自課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才,樓高

預(yù)習(xí)課本P10?12,思考并完成以下問題

(1)什么樣的數(shù)列是等差數(shù)列？

(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?

［新扣初探］

1.等差數(shù)列

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同二個(gè)常數(shù)，我們稱這樣的數(shù)列為

等差數(shù)列.稱這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母4表示.

I點(diǎn)睛］

(1)“從第2項(xiàng)起”是指第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與后續(xù)條件中“與前一項(xiàng)的差”相吻合.

(2)“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差”這一運(yùn)算要求是指“相鄰且后項(xiàng)減去前項(xiàng)”，強(qiáng)調(diào)了：①作差

的順序；②這兩項(xiàng)必須相鄰.

(3)定義中的“同一個(gè)常數(shù)”是指全部的后項(xiàng)減去前一項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù)，否則這個(gè)數(shù)列不能

稱為等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是①，公差是“，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是&=，“+(〃-1)4.

［點(diǎn)睛］

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式%=。1+("—"l)”中有4個(gè)變量%,a\,n,d,在這4個(gè)變量中可以''知

三求一”.

［小鍬身手］

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)2,3,4,5,6,7可以構(gòu)成等差數(shù)歹!j.()

(2)常數(shù)列是等差數(shù)列.()

(3)若一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

答案：⑴J(2)V(3)X

2.已知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)e=2,公差"=3,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為(

A.a?=3n~lB.?！?2"+1

C.%=2"+3D.%=3"+2

解析：選Al)d=2+("—1)?3=3"-1.

3.數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式%=2"+5,則此數(shù)列()

A.是公差為2的等差數(shù)列

B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列

D.是公差為"的等差數(shù)列

解析：選A斯=2〃+5=2("—1)+7,首項(xiàng)的=7,公差4=2,故選A.

4.已知等差數(shù)列｛%｝,?1=7,“7=1，則公差"=.

解析：?i=7,“7=1,由%="1+("-1)”得1=7+64,

答案：一1

課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

I典例］已知｛%｝為等差數(shù)列，根據(jù)下列條件分別寫出它的通項(xiàng)公式.

(1)的=5,〃7=13；

(2)前三項(xiàng)為：a,2°—1,3—

［解］(1)法一：設(shè)首項(xiàng)為由，公差為"，則

。3=〃1+21=5,〃1=1,

解得，

。7=。1+6"=13,"=2,

:.%=。1+(〃-l)d=l+(〃-1)X2=2〃-1.

，通項(xiàng)公式是a“=2〃-1.

j。7一。313—