北師大版九年級數(shù)學期末復習知識總結(jié)

目錄

九年級數(shù)學期末復習北師大版....................................................2

第一講實數(shù)..................................................................................8

第二講實數(shù)的運算...........................................................................12

第三講平方根和立方根....................................................................14

第四講二次根式...........................................................................16

第五講幕的運算.............................................................................19

第六講整式的運算..........................................................................21

第七講分式................................................................................23

第八講分式方程...........................................................................26

第九講一元一次方程及其應用................................................................28

第十講一元二次方程.......................................................................30

第十一講一元二次方程的應用...............................................................32

第十二講二元一次方程組....................................................................34

第十三講元一次不等式及其解法..............................................................36

第十四講一次不等式（組）的應用...........................................................38

第十五講函數(shù)..............................................................................40

第十六講一次函數(shù).........................................................................44

第十七講反比例函數(shù).......................................................................46

第十八講二次函數(shù).........................................................................48

第十九講三角形...........................................................................51

第二十講全等三角形........................................................................54

第二H-一講相似三角形.....................................................................57

第二十二講銳角三角函數(shù)....................................................................59

第二十三講平行四邊形.....................................................................62

第二十四講特殊的平行四邊形...............................................................64

第二十五講圓1.........................................................................................................................................................67

第二十六講圓2.........................................................................................................................................................69

第二十七講圓3.........................................................................................................................................................71

第二十八講圖形初步認識....................................................................73

第二十九講相交線與平行線..................................................................76

第三十講圖形的變換.......................................................................78

第三十一講投影與視圖......................................................................82

第三十二講數(shù)據(jù)的收集、整理、描述與分析...................................................87

第三十三講概率初步.......................................................................92

專項訓練一新定義運算.....................................................................97

專項訓練二陰影部分的面積................................................................97

專項訓練三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.....................................................98

專項訓練四幾何圖形為背景的函數(shù)圖象的確定.............................................99

專項訓練五探索規(guī)律...................................................................101

專項訓練六特殊的平行四邊形...........................................................103

專項訓練七銳角三角函數(shù)..................................................................104

專項訓練八圓的切線.....................................................................106

九年級數(shù)學期末復習北師大版

【同步教育信息】

本周教學內(nèi)容：

期末復習

從今天開始我們將進入期末復習，分二部分，今天復習第一、二、三、四章，下次復習剩下的內(nèi)容。

首先來看一下各章的知識體系總結(jié)。

由于第一章和第三章知識有一定的聯(lián)系，所以將第一、三章的知識體系放在一起。

證明(二)(三)，這兩章一共可分為五大部分：

第一部分：通過探索、猜測、計算和證明得到定理。

(1)與等腰三角形、等邊三角形有關結(jié)論。

(2)與直角三角形有關的結(jié)論。

(3)與一般三角形有關的結(jié)論。

(4)與平行四邊形有關的結(jié)論。

(5)特殊平行四邊形有關的結(jié)論。

第二部分：命題的逆命題及其真假。

隔線段的垂直平分線

第三部分:尺規(guī)作

9角的平分線

第四部分我們再來看一下平行四邊形與幾種特殊平行四邊形的關系

最后我們再一起回憶一般四邊形和平行四邊形及特殊平行四邊形的關系：

順次連結(jié)任意四邊形中點得到的四邊形是平行四邊形。

順次連結(jié)對角線相互垂直的四邊形的四邊中點得矩形。

順次連結(jié)對角線相等的四邊形四邊中點得菱形。

順次連結(jié)對角線相互垂直平分且相等的四邊形的四邊中點得正方形。

下面再來看一下第二章：

對于一元二次方程的解法，本章介紹了配方法、公式法和分解因式法。一般來說，公式法對于解任何

一元二次方程都適用，是解一元二次方程的通法，但在解題時，應具體分析選擇適當?shù)姆椒ā?/p>

對于利用方程解決實際問題，關鍵是找到其中的等量關系，解出一元二次方程的根之后，要根據(jù)實際

情況合理的解釋其實際意義，可列出如下的知識體系：

第四章，本章知識分兩大部分：視圖和投影

先看視圖，對于圓柱、圓錐和球的視圖，復習時要分析它們?nèi)晥D的異同；對于直立棱柱和直四棱柱

的視圖。要明確各棱之間的位置關系，并注意三種視圖中虛線的意義。

再看投影，平行投影和中心投影要以回想實例為主，可從舞臺的燈光、臺燈、手電筒、探照燈、皮影、

手影、日號等實例中，體會其中包含的數(shù)學知識。

本章的知識體系如下：

【例題分析】

例1.在AABC中，M是BC的中點，AN平分NBAC,AN_LBN于N,已知AB=10,AC=16,求MN。

分析：在本題中出現(xiàn)了角平分線、中點，于是我們應該聯(lián)想到三角形中位線和角平分線性質(zhì)定理，利

用角平分線的性質(zhì)，可考慮延長BN交AC于D,由AN_LBN,AN平分/BAD可得BN=DN,AB=AD,

再由M、N分別是BC和BD中點得出MN是4BCD的中位線，最后不難得出結(jié)論。

解：延長BN交AC于D

即MN=3

例2.命題“在直角三角形中如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”是

真命題嗎？如果是，請證明它。

分析：此題是讓我們證明命題，證明命題應注意分以下幾步：（1）根據(jù)條件和結(jié)論畫出圖形；（2）

根據(jù)條件并結(jié)合圖形寫出已知，根據(jù)結(jié)論寫出求證；（3）分析題意并寫出證明過程。

此題告訴我們是在Rt△中且結(jié)論中有一個角為30。，所以我們想到另一個角為60°,于是我們就想

到能否利用等邊三角形解決這個問題，所以我們就把已畫出的Rt△補成了一個等邊三角形，再利用等邊三

角形三邊相等和三角都等于60°來解決此題。

解：

證明：延長BC到D使CD=BC,連結(jié)AD

即原命題得證。

例3.如圖，AABC中，BD平分/ABC,ED/7BC,EF〃AC。

求證：BE=FC

分析：要證明BE=FC,但由于BE和FC既不是一個三角形中的兩邊，也不是同一個四邊形中的邊，所以

應設法找另一線段來過渡，觀察圖很容易看出四邊形EFCD是平行四邊形，那么FC=ED,所以ED即為

所找的過渡邊，然后由角平分線定義和平行線的性質(zhì)，可得到ED=BE,問題就很輕松解決了。

證：VED//FC,EF//CD

四邊形EFCD為平行四邊形

；.FC=ED

又：BD平分/ABC,.,.Z1=Z2

又：ED〃BC,；./3=/2

N1=N3,；.BD=ED,；.BE=FC

例4.正方形ABCD中M是BC上一點，N是CD中點，且AM=DC+CM。

求證：AN平分/DAM

分析：已知AM=DC+CM,于是可以把MC延長，同時把AN延長，兩者交于E。利用正方形邊相

等和三角形全等證明AM=ME,從而證明AAME為等腰三角形，得到兩底角相等，進而證明AN平分/

DAMo

證：延長MC交AN延長線于E

是DC中點，；.DN=CN

又：四邊形ABCD為正方形

；.AD=CD,ZD=ZNCE=90°

VAD/7CB,=

在△ADN與Z\ECN中,

又：AM=CM+CD

，AM=CM+CE=ME

.?.△AME為等腰三角形

/.ZE=ZEAM

又；NE=NDAN

/.NDAN=ZNAM,即AN平分NDAM

（說明：此題也可以利用補長AD,利用等腰三角形頂角角平分線與底邊中線重合，證之。）

例5.用配方法解一元二次方程3X2+8X-3=0O

分析：配方法解一元二次方程是解一元二次方程的三種方法中難度最大的一種，其要點是：（1）化

成一元二次方程的一般形式；（2）把常數(shù)項移到等號右邊；（3）把二次項系數(shù)化為1；（4）等號兩邊同

時加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化成的形式；（5）兩邊同時開方，化二次方

程為一次方程；（6）解一次方程。

解：

例6.將進貨單價為40元的商品按50元出售時，每月能賣500個，已知該商品每漲價1元，每月銷售

量就減少10個，為了每月賺8000元利潤，售價應定為多少元，這時應進貨多少個？

分析：本題的主要等量關系是：每件商品的利潤X平均每月銷售該商品的數(shù)量=8000

如果設售價為x元，那么每件商品漲了（x-50）元，每件該商品的利潤即為（x-40）元，平均每月

銷售的數(shù)量為:500-10（x—50）］個，這樣就可以列出一個方程，進而解決問題了。

解：設售價為x元，根據(jù)題意，得：

答：當售價為80元時應進貨200個；當售價為60元時應進貨400個。

例7.畫出如圖所示立體圖形的三視圖（相當于在平放著的一塊磚的中間靠后又立放著一塊磚）

分析：從正面看是一個橫放的較窄長方形，上面中間處貼放著一個豎放的稍寬一點的小長方形，從左

面看一個橫放的窄長方形最左邊的上方貼放著一個豎放的窄長方形，從上往下看，外圍是一個橫放的較寬

的長方形，在此長方形的最上邊靠中間位置處又放著一個橫放的小長方形，由此我們可以畫出這個幾何體

的三視圖。

解：

例&下列兩幅圖形中，左圖表示北方某地中心廣場一角，中間有一路燈，周圍有護欄，請判斷右圖是

左圖在上午、下午，還是晚上的景象？

分析：此題可用排除法解決。

若是上午該護欄的影子應在西方，而右圖中影子是北偏東方向，所以不可能是上午。

若是晚上，護欄的影子應與路燈的底部和該護欄的底部在同一條直線上，而此圖不滿足此要求。所以

答案只能是下午。

解：是下午的景象。

第一講實數(shù)

一.知識梳理：

1.實數(shù)的基本概念

(1)正數(shù)和負數(shù)

定義：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。在正數(shù)前加上符號(負)的數(shù)叫做負數(shù)。0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。

(2)有理數(shù)分類:

正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)。正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。即：

.正整數(shù)(如:1,2,3…)

整數(shù)零(0)

、負整數(shù)(如:1,2,3…)

有理數(shù)

「正分數(shù)(如」，5.3,3.8…)

23

分數(shù)j負分數(shù)(如:-1,-2.3,-4.8…)

I23

(3)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。

常見的無理數(shù)，歸納起來有四類：

a.開方開不盡的數(shù)，如J7,次等；

b.有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等;

JI

C.有特定意義的數(shù)，如圓周率口，或化簡后含有冗的數(shù)，如一+8等；

3

d.某些三角函數(shù)值，如sin60°等

注：小數(shù)是分數(shù)。

(4)實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即：

「正有理外

「有理數(shù)，零》有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實財匚負有理總

r正無理數(shù)

I無理Na無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)”

2.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。(畫數(shù)軸時，原點，正方向，單位長度三要素

缺一不可)

注意：實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的。

3.相反數(shù)：

代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

幾何定義：從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關于原點對稱，若a+b=0oa、b互為相反數(shù)，反

之亦成立.注意：零的相反數(shù)是零

一般地，如果a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.反之亦成立。

4.絕對值

定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值，記作憶|。

①正數(shù)的絕對值是它本身；②負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③0的絕對值是0。即：

a(a>°)ra(a>0)

0(a=0)\a\={

a(a<0)

-a(a<0)

①a=1a|所表示的意義是：一個數(shù)和它的絕對值相等。很顯然，a》0。

②任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，即|a|20。

5.倒數(shù)

定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。

倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。注意：0沒有倒數(shù)。

6.數(shù)的比較大小

法則：正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。

7.科學記數(shù)法

定義：把一個絕對值大于10的數(shù)表示成aXl(T的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是正整數(shù))，這

種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法。

用科學記數(shù)法表示一個絕對值大于10的數(shù)時，n是原數(shù)的整數(shù)數(shù)位減1得到的正整數(shù)。

用科學記數(shù)法表示一個絕對值小于1的數(shù)(aX10-n)時，n是從小數(shù)點后開始到第一個不是0的數(shù)為止的

數(shù)的個數(shù)。

8.近似數(shù)

一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)近似到哪一位，也叫做精確到哪一位。精確到十

分位一一精確到0.1；精確到百分位一一精確到0.01；

9.有效數(shù)字

從左邊第一個不為0的數(shù)開始，到精確的數(shù)位為止，中間所有的數(shù)字都叫做有效數(shù)字。

二.課后練習

1.若收入100元記作+100元，那么支出60元記作元。

2.3的相反數(shù)是,-5的倒數(shù)是,-3的絕對值是o

3.計算：-(-2)=,|-5|=o

4.已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，則

(a+Z>)2012+(cd嚴2=。

5.小明在畫數(shù)軸時，不小心把一滴墨水滴在已經(jīng)畫好的數(shù)軸上。如圖所示，請根據(jù)圖中標出的數(shù)，寫出被

墨水蓋住的整數(shù)：o

6.若a的相反數(shù)是最大的負整數(shù)，b是絕對值最小的數(shù)，則a+b=o

7.光年是天文學中的距離單位，1光年大約是9500000000000km,則這個數(shù)用科學記數(shù)法表示應

為O

8.2.396?(精確到百分位)2.396"(精確到十分位)

9.在記錄氣溫時，若零上5度記作+5℃,那么零下5度記作()

A、5℃B、-5℃C、0℃D、-10℃

10.數(shù)軸上表示-3的點到原點的距離是()

■八1

A、3B、—3C、一1D、——

33

11.在0,-2,1,工這四個數(shù)中，最小的數(shù)是()

2

1

A、0B、-2C、1D、

2

12.如果a的倒數(shù)是-L那么曖】4等于（)

A、-1B、1C、2014D、-2014

13.3的相反數(shù)是（）

1_1

A.3B.—3C..D.

~3

14.-3的絕對值是（）

11

A33C--

B.--3D.3

15.-7的倒數(shù)是()

11

A.7B.~C.—7D.

16.sin60°的相反數(shù)是（)

1

D-盅

-2-

B.4c--f2

ab

17.實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列各式正確的是（）-2-1,61*2

A.a+b<0B.ab>0C.a-b<0D.a|>|b

18.若a與1互為相反數(shù)，則|a+l］等于（）

A.-1B.0C.1D.2

19.在1,-2,0,G這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）

5

A.~2B.0C.-D.1

20.地球上的陸地面積約為149000000平方公里，那么用科學記數(shù)法表示149000000應為（）

A、1.49X106B、1.49X107

C、1.49X108D、1.49X109

21.甲型H1N1流感病毒變異后的直徑為0.00000013米，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示應該是（）

A、1.3Xl（rB、1.3X10-

C、1.3X10-8D、1.3X10「9

22.中國航空母艦“遼寧號”的滿載排水量為67500噸.將數(shù)67500用科學記數(shù)法可表示為（）

A.0.675X105B.6.75X101

C.67.5X103D.675X102

23.近年來，我國大部分地區(qū)飽受“四面霾伏”的困擾。霾的主要成分是PM2.5,是指直徑小于或等于

0.0000025m的顆粒物。那么數(shù)0.0000025用科學記數(shù)法可表示為（）

A、25X10-5B、25X10-6

C、2.5XIO-5D、2.5XIO"

24.釣魚島是中國的固有領土，位于中國東海，面積為440萬m",數(shù)據(jù)440萬用科學記數(shù)法表示為（）

A.4.4X106B.44X105

C.4X106D.0.44X107

25.把2.3649精確到0.01是（）

A.2.3B.2.37C.2.36D.2.35

26.0.002035的有效數(shù)字有（）

A.5個B.5的C.4個D.3個

28.數(shù)21.300精確到（）

A.0.1B.0.01C.0.001D.無法確定

29.把數(shù)3576.635精確到百位是（）

A.3576B.3576.64C.3577D.3600

30.下列實數(shù)中，是無理數(shù)的為（）

1

4-

3.B.3

第二講實數(shù)的運算

一.知識梳理：

1.實數(shù)的加法

(1)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②異號兩數(shù)相加，取絕對值較大

的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；④一個數(shù)同。相

加，仍得這個數(shù)。

(2)加法運算律：①交換律a+b=b+a；②結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。

2.實數(shù)的減法

減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+(-b)o

3.實數(shù)的乘法

(1)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。②任何數(shù)與0相乘，都得0。

(2)乘法運算律：①交換律ab=ba；②結(jié)合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。

4.實數(shù)的除法

除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：=

b

②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

③0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。

5.乘方

(1)定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方。

如：<______/叫做a的乘方，記作a"。讀作a的n次方(幕)，

〃個a

在a”中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。乘方的結(jié)果叫做事。

(2)性質(zhì)：負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)；正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)

次幕都是0。

6.0指數(shù)塞和負正指數(shù)第

(1)0指數(shù)募：一個不為0的數(shù)的0次幕都等于1,即：

a°-1(<2豐0)

(2)負正指數(shù)塞：一個不為0的數(shù)的負整指次塞等于這個數(shù)的倒數(shù)的正整指次幕。即：

a-P=d)P(awO,p是正整數(shù))

a

7.實數(shù)的混合運算

混合運算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內(nèi)

的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。

二.精講點撥：

例1.計算:(―2尸義3+16+[(—3)2x2—(—2)4]

例2.計算：(/-2)°+(§)4cos30°—11^/3|.

三.課后作業(yè)：

1.某天早晨的氣溫是-7℃,中午上升了11℃,那么中午的氣溫是℃o

2.日喀則某天的最高氣溫是10℃,最低氣溫是-8℃,那么這天日喀則的最高氣溫比最低氣溫高()

A、-18℃B、-2℃C、2℃D、18℃

3.計算：(g)-I-1+^3|+2sin60°+(-1-^3)°.

4.計算：（冗一季）°+，1—（一1）2°支一，5=@1160°.

5.計算：(-2)3+.X(2014+n)°—|-1|+tan260°.

6.計算：y[8+(-1)-1—2cos45°一(兀一)°.

7.計算：yj(3)2—(兀-1)°+tan60°+|,\y3—21

第三講平方根和立方根

一.知識梳理：

L平方根

定義1：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方

根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“土工?',讀作“正、負根號a”。a叫做被開方數(shù)。

性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

定義2：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根。記作讀作“根號a”，

性質(zhì)1:正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

性質(zhì)2：算術(shù)平方根、厲的雙重非負性：

①。；②G>0

定義3：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。

2.立方根

定義1：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a,

那么x叫做a的立方根，記作％即X=

性質(zhì)1:正數(shù)有一個正的立方根；負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。

性質(zhì)2：5工=-痣，三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面。

定義2：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方

3.實數(shù)大小的比較

（1）正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

（2）實數(shù)大小比較的幾種常用方法

①作差法：設a、b是實數(shù)，

a-b>O<^>a>b,a-b=Goa=b,

a-b<Oa>a<b.

②作商法：設a、b是兩正實數(shù)，—>1<=>a>b;—=a=b\—<1<=>a<Z?;

bbb

③平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則/,從oavb

④近似值法：記住這些數(shù)值：

V2a1.414；V3x1.732乖~2.236

二.課后作業(yè)

1.9的算術(shù)平方根是一；4的平方根是—o

2.-8的立方根是—；立方根是它本身的數(shù)是

3.衣的算術(shù)平方根是,J石的立方根是一

5.比較大?。?3.14-萬；273372o

6.已知Jx+1+僅一2|+（2—3）2=。,則xyz的立方根是

7.6-正的相反數(shù)是,絕對值是,倒數(shù)是，

8.若代數(shù)式近彳有意義，則x的取值范圍是

X—2

9.已知x、y為實數(shù)，且丫=#*2—9一生9—x?+4,則x—y=.

10.J話的算術(shù)平方根是（）

A.4B.±4C.2D.±2

H.在數(shù),，-72,（V2）2,78,萬2,J萬中，無理數(shù)有（）個。

3

A.3B.4C.5D.6

12.如圖，數(shù)軸上點P表示的數(shù)可能是（）

A.aB.-aJ?_?__._?_

-3-2-10123

C.-3.2D.-A/W

13.估計我的值（）

A、在3到4之間B、在4到5之間

C、在5到6之間D、在6到7之間

14.64的立方根是（)

A.4B.±4C.8D.±8

15.(—3)2的平方根是()

A.3B.-3C.±3D.9

16.化簡：洞=（）

A.3B.-3C.—2D.2

17.下列說法不正確的是（）

A.0的相反數(shù)、絕對值都是0

B.立方等于它本身的數(shù)有3個

C.平方等于它本身的數(shù)有2個

D.倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1個

18.5二1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x<lB.x>lC.xWlD.x》l

第四講二次根式

1.二次根式的定義

形如J7(a20)的式子叫做二次根式。

2.二次根式的基本性質(zhì)

?(Va)2=a(a20)；

-a(a>0)

②=Y

、-a(a<0)

3.二次根式的乘除法

(1)二次根式的乘法：

@4a-4b=4ab(a^O,b^O)；

@4ab=Va-4b(a20,bNO)。

(2)二次根式的除法：

①=E(aN0'b>0)；

②=(aNO,b>0)o

4.最簡二次根式

最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；②根號內(nèi)不含分母；③分母

中不含根號。

5.同類二次根式：

幾根二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就是同類二次根式

6.二次根式的加減法

二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。

7.分母有理化

把分母中的根號化去的過程叫做分母有理化。

二.課后作業(yè)

1.二次根式H萬在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是—。

2.若式子—在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是

x—3

3.計算：(-252=.J(_3)2=___；

4.計算:乖一^\^|==。72x76=o

5.已知a=l+W，b=l一木,則代數(shù)式a。b的值為.

6.列計算第集的是()

A.y/2?事=乖B.木+小=事

C.4小班=2D.yl8=2y2

7.下面計算正確的是（)

A.3+后=3VsB.厲土石=3

C.2>/3=J6D.J4=±2

1

±

o

a-

d則a在兩個相鄰整數(shù)之間，這兩個整數(shù)是（）

A.4和5B.3和4C.2和3D.1和2

9.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

1

B.V8、D、273

C正

10.下列二次根式中與十是最簡二次根式的是（）

A.C.V18D.712

13.計算：V75+V24-V12-V54

15.計算：（乃+1）。一6+卜一6|

16.求代數(shù)式x?+4xy+y2的值，其中％二/§+血，）=/§一夜。

第五講塞的運算

一.知識梳理

(一)代數(shù)式

用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)和字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個

數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

注意：代數(shù)式中不含有“=、＞、＜、W”等符號。

2.代數(shù)式的書寫格式：

(-)整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

①單項式：只含有乘法運算的代數(shù)式叫做單項式。

單項式中，所有字母的指數(shù)之和叫做這個單項式的次數(shù)；

數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式；

②多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

在多項式中，每個單項式叫做多項式的項；

次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。

(三).同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

注意：①同類項有兩個條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù)也相同。②同類項與系數(shù)無關，與字母

的排列順序無關；③幾個常數(shù)項也是同類項。

(四)合并同類項法則：

合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

(五)塞的運算

m+

①同底數(shù)塞的乘法：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：a-a"=a"0

②塞的乘方：哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即：(aT=a皿。

③積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘。即：(ab)"=a"b"o

nmn

④同底數(shù)塞的除法：同底數(shù)募相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即：a^a=a-o

課后作業(yè)

L計算：(-2a2b3c)3=o

2.若單項式2好了"與一5九"V是同類項，則(〃L〃嚴2

3.計算：(-a3)24-a3=。

4.用☆定義■—種新運算：對于任意實數(shù)a、b,都有a^bub'+l,則5+3=。

5.某人設計了一個計算程序，當輸入任意實數(shù)對(a,b)時，會得到一個新的實數(shù)：a2+b+l?如輸入(3,-2)

時，會得到32+(-2)+1=8?，F(xiàn)輸入(-3,4),得到的數(shù)是0

6.科學發(fā)現(xiàn)：植物的花瓣、萼片、果實的數(shù)目以及其他方面的特征，都非常吻合于一個奇特的數(shù)列一一著

名的斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

..........。仔細觀察以上數(shù)列，則它的第11個數(shù)應該是o

7.用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：

第1個第2個

第3個

第n個圖案中白色地面磚有塊。

8.觀察下列一組圖形的規(guī)律：

△△☆▲口△△☆▲口△△☆▲口△△

猜一猜第2014個圖形應該是（)

A.△B.☆C.▲D.□

9.下列計算正確的是()

2.24339358246

AA.X+x二XDn.X,X二XC.x,X二XD.(x)=x

10.下列計算正確的是()

A.a,a3=aB.y3-ry3=yC.3m+3n=3mnD.(x3)2=x6

n.下列運算正確的是()

A.a'!"a'=aB.(a3)4=a7C.2a3+5a3=7a6D.、a4-i-a3=a

12.下列運算正確的是()

AT-)

A.x3+.x3=x6B.x2,x4二x8cC.x12—.x2=x(D.x2-x4=x6

13.計算(a，)2的結(jié)果是()

A.a5B.a6C.a8D.a9

14.下列運算中，結(jié)果正確的是()

A.x3,x3=x6B.3X2+2X2=5X4

C.(x2)3=x5D.(x+y)2=x2+y2

15.一組按規(guī)律排列的多項式：a+b,a2-b3,a3+b5,a4-b7,其中第10個式子是（）

A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21

16.下列運算正確的是()

A.a?a—aB.(ab)3=ab3C.(a2)3=a6D.a104-a2=a5

17.下列運算正確的是()

A.x2+x2=x4B.(a—b)2=a2—b2

C.(-a2)3=-aD.3a2?2a=6a6

第六講整式的運算

一.知識梳理

1.去括號法則：

①括號前面是正號，去掉括號后括號內(nèi)的各項不變號；

②括號前面是負號，去掉括號后括號內(nèi)的各項要變號。

2.整式的加減：幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。

3.整式的乘除運算

①單項式與單項式的乘法：

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積的一個因式。

②單項式與多項式的乘法：

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即：

p(a+b+c)=pa+pb+pco

③多項式與多項式的乘法：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bqo

④平方差公式：(a+b)(a-bAl-b、即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個

公式叫做平方差公式。

⑤完全平方公式：(a+b)2=a，2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2o即：兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方

和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

⑥完全平方式

我們把形如a2±2ab+b”的式子叫做完全平方式

⑦單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含

有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

⑧多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

注：以上公式及法則在分式和二次根式的運算中同樣適用。

3.因式分解

定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫

做把這個多項式分解因式。

因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

222222

完全平方公式：a+2ab+b=(a+b)；a-2ab+b=(a-b)O

二.課后作業(yè)

L分解因式：x-9=；X2+6X+9=；

2.分解因式：2X3+8X2+8X=；a3b-ab3=。

3.分解因式：ax2—ay2=；a-a=

4.分解因式：x3y—2x2y+xy=.2x2—8=.

5.對于實數(shù)a,b,規(guī)定一種運算：affib=a(a—b)+1,貝心—2)十5的結(jié)果為.

6.若x+y=3,xy=l,貝Ux,+y2=.

7.已知a2—a—1=0,則a’一a——a+2015=.

8.計算：(-5a4)?(―8ab2)=

9.計算(12x4y7+20x2y5)+(-4x2y4)的結(jié)果是()

A.3x2y3+5yB.-3x2y3C.-3x2y3-5yD.-3x2y3-5xy

10.若gx'+mxy+l6y2是一個完全平方式，則m的值是()

A.12B.24C.±12D.±24

11.多項式2a2—4ab+2b2分解因式的結(jié)果正確的是（）

A.2(a2—2ab+b2)B.2a(a-2b)+2b2

C.2(a—b)2D.(2a-2b)2.

5

12.已知整式X2—,X=6,則2x?—5x+6的值為()

A.9B.12C.18D.24

13.先化簡，再求值

(3%+2)(3%-2)-5x(%-l)-(2x-l)2,其中1=1。

「ax+y=b[x=l

14.若方程組i的解是,求(a+b)?—(a—b)(a+b)的值.

[x-by=a〔y=l

ix

15.若x+?=3,求的值

第七講分式

一.知識梳理

1.分式的定義

A

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式。即：分母中有字母的

B

代數(shù)式叫做分式。

2.分式有意義的條件：分式的分母不為0

3.分式有意義的條件：在分式的分母不為0的條件下，分子為0.

4.分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

AACAA^C

B~BC；B—B+C°

3.分式的乘除

①乘法法則：±￡=上三。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

bdb'd

②除法法則：=o分式除以分式，把除式的